[Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

[invite2220c077]

Montrer que le nombre peut s'exprimer comme le produit de deux entiers naturels dont l'un d'eux est strictement supérieur à

[invite2220c077]

Pour les impatients, j'ai posté ma solution ici : http://forums.futura-sciences.com/thread174211.html

Mais essayez de ne pas la regarder desuite, cet exercice vaut vraiment le coup d'être trouvé tout seul . Je précise qu'on a pas besoin d'être en T°S Spé Math (2°-1°S suffit) pour le résoudre car aucune connaissance en Arithmétique n'est demandée, seulement de la manipulation algébrique (et de la réflexion) sont requises.

[bubulle_01]

Dans ta démonstration, tu insinues que
Soit .
Cela fausse tout ^^

[invite2220c077]

Ah non, je n'ai pas écrit ça.

 Cliquez pour afficher

Remarquons que le nombre en question est de la forme avec :

avec et non . Puisque , alors on a bien

[A voir en vidéo sur Futura]

[bubulle_01]

Non non non !
Faute d'inatention ^^

[invite2220c077]

Euh non, attention, on a des puissances "en escalier" :

ce n'est pas égal à mais , d'où le résultat.

[invite2220c077]

Sinon je me suis trompé dans la mise en forme, je voulais plutôt écrire :

[bubulle_01]

Ah d'accord, j'avais une incompréhension au niveau de la notation, je pensais que la puissance reprenait à chaque fois le tout.
Autant pour moi

[invite2220c077]

Pas de soucis.

[invite1237a629]

Plop,

J'ai trouvé une démonstration, mais je n'y trouve aucune subtilité alors ça m'énerve un peu... En gros, c'est juste, mais ce n'est pas la bonne réponse

(ça a été beaucoup plus simple pour moi de l'écrire plutôt que de le taper...)



(Version plus grande)

[invite35452583]

Plop,

J'ai trouvé une démonstration, mais je n'y trouve aucune subtilité alors ça m'énerve un peu... En gros, c'est juste, mais ce n'est pas la bonne réponse

(ça a été beaucoup plus simple pour moi de l'écrire plutôt que de le taper...)



(Version plus grande)

J'ai à peu près la même méthode mais en majorant autrement (j'attaque le même terme qui est le plus grand de manière évidente)



Donc

[invite35452583]

Sinon dans la manipulation de puissances successives, je connais celui-ci (plus difficile, je ne le crains) :
On considère des tours : a, a^a, a^(aa), a^(a(aa))
On note le premier de la liste a⁽¹⁾, puis a⁽²⁾, a⁽³⁾, a⁽⁴⁾...
Bref, a⁽ⁿ⁺¹⁾=a^a(n) avec a⁽¹⁾=a.
9⁽¹⁰⁰⁾ est un grand nombre mais pas infini donc pour n assez grand on a 3⁽ⁿ⁾>=9⁽¹⁰⁰⁰⁾.
Question : quel est le plus petit entier n pour lequel 3⁽ⁿ⁾>=9⁽¹⁰⁰⁰⁾ ?

[invitea9351d88]

Bonjour,
j'ai essayé de résoudre le problème qu'a posé homotopie, je ne sais pas si c'est juste.

On a :

Pour prouver que , on montrera par récurrence que

Pour on a bien:

Pour on obtient: et
Or,
Donc,
On en déduit que,
C'est à dire que :

Au final on obtient que :

Donc le plus petit entier n pour lequel est:

Vous en pensez quoi niveau rédaction et tout si ya des trucs pour mieux présenter et déjà si c'est juste.

P.S: homtopie, je pense que tu as fait une erreur dans l'énoncé au lieu de 1000 tu as écris 100.