Spé Maths Terminale S Exercices

[invite787dfb08]

Bonjour

Deuxième rubrique qui pourrait être importante, pour rassembler tous les exos, DM, DS concernant la spe maths en TS. Merci de poster les énoncés ainsi que les réponses et détaillants celles-ci un maximum. Pour ne pas surcharger le fil, éviter de poser trop de question quant à un exo, ou encore d'en donner à résoudre, créer d'autres fils pour ça .
Ce fil doit être plutot un rassemblement de plusieurs exercices résolus que chacun peut consulter et compléter, mais pas un fil de résolution d'éxercice...

Merci de l'aide...

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[invite2220c077]

Pensez aussi à numéroter les exercices, précisez le(s) notion(s) à utiliser, et si possible, présentez-les en LATEX et de cette manière par exemple :

EXERCICE N°1 :

Notion clé à utiliser : Théorème de Bézout

Soit un réel. Montrer que si et sont des rationnels, alors est aussi un rationnel.

 Cliquez pour afficher

D'après le théorème de Bézout, puisque 7 et 12 sont premiers entre eux, alors il existe des entiers et vérifiant



Puisque et sont des rationnels, alors leur produit l'est aussi. Ce qui conclut.

[invite2220c077]

EXERCICE N°2 :

Notions clé à utiliser : Propriétés élémentaires sur la divisibilité - Lemme de Gauss

Résoudre dans N* l'équation :

 Cliquez pour afficher

On a alors :

- Si , alors et donc , , avec k € N*

- Si , alors :



Pour , on a , ce qui donne les solutions (2,1,2) ; (2,2,6) ; (2,3,18) pour respectivement , et .

Pour , on a . Or, , ce qui implique que y est pair. Ainsi la seule solution est (3,2,9).

Pour , on a .
Si , alors . Or et donc d'après le lemme de Gauss, ce qui est impossible.
Finalement, si , on a les solutions (l,2,3l) avec l € N* et .

En conclusion, l´ensemble des solutions est formé des triplets :
(x,y,z) = {(2,1,2) ; (2,3,18) ; (1,2k,3k) ; (l,2,3l)} avec k € N* et l € N avec

[inviteea5db5e2]

Un autre exercice qui peut être intéressant, et qui est assez rigolo :

EXERCICE N°3

Notion clé à utiliser :Divisibilité

Soit p un nombre entier naturel impair. Montrer que la somme de p entiers naturels consécutifs est un multiple de p.

 Cliquez pour afficher

On pose p = 2q + 1, puisqu'il s'agit d'un nombre impair.
Deux méthodes pour résoudre s'offrent à nous :

Première méthode : La méthode buldozer
On considère un premier entier naturel a.
La somme de 2q+1 entiers consécutifs s'écrit :

car il s'agit de la somme des 2q premiers termes d'une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1


Deuxième méthode : La classe et l'efficacité

On appelle b l'entier naturel au "milieu" de la somme
Alors : Il faut que tous ces entiers soient naturels.
Le symétrisme de l'écriture et la simplification sautent aux yeux :



On a donc montré de deux manières différentes que la somme de p entiers naturels consécutifs était divisible par p si p était impair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite05d0a348]

EXERCICE N°4

Notions clé à utiliser :Divisibilité ou congruence

Soit n un entier relatif et . Montrer que est divisible par 3

 Cliquez pour afficher

1ere méthodes : congruence
Les reste de la division de n par 3 soit 0,1 ou 2
Etude par disjonction de cas:
-si le reste de la division de n par trois est 0 on peut écrire:
donc alors et
-si le reste de la division de n par trois est 1 on peut écrire:
donc alors et soit
-si le reste de la division de n par trois est 2 on peut écrire:
donc alors et soit

Donc dans tous les cas donc est divisible par 3

2eme méthode: divisibilité et recurrence
On démontre que est divisible par 3 par récurrence :
Initialisation :
Pour n=0, on a: et 0 est divisible par 3
Donc la propriété est vraie pour n=0
Hérédité:
On suppose qu'a un rang p, est divisible par 3
On démontre qu'alors, au rang suivant (p+1), on a : est divisible par 3
dem






or est divisible par 3
et est divisible par 3
Donc est divisible par 3 CQFD
Conclusion :
est divisible par 3 (pour tout n entier relatif)


PS: il existe une 3eme methode avec la divisibilité par disjonction de cas que je ferais quand j'aurais le temps ...

[invite787dfb08]

ouais bien joué, c'est exactement ça l'idée
Je posterai quand j'aurai un peu plus de temps

[invite787dfb08]

Un type d'exercice fréquent qu'il faut savoir faire...

EXERCICE 5

Notion clé à utiliser : congruence

Montrer que

 Cliquez pour afficher

on remarque que
Donc
Donc
Donc
or
Donc

DONC :

or

Donc

[invite2220c077]

EXERCICE 6

Notion clé à utiliser : Propriétés arithmétiques élémentaires

Montrer qu'il existe un unique entier naturel tel que soit un carré parfait.

Je rappelle qu'un entier naturel est dit "carré parfait" si il existe un entier tel que . De même, un entier est dit "cube parfait" si il existe un entier tel que . Et plus généralement donc, un entier est dit "puissance parfaite" s'il existe un entier tel que .

 Cliquez pour afficher

L'énoncé nous incite à résoudre cette équation, avec un entier naturel :







De l'unicité de cette factorisation, on en déduit qu'il existe des uniques entiers naturels et vérifiant :

, ,


D'où à résoudre :



Puisque est impair, alors il s'ensuit que nous avons forcément et , ce qui nous donne , et finalement, , qui est bien unique.

[invite787dfb08]

DM n°1

Divisibilité

Le premier DM et sa correction... Pistes, divisibilité, congruence...

[invite787dfb08]

EXERCICE 7

Notion à utiliser : un certain théorème qui simplifiera tout, sinon, divisibilité...

Montrer que la fraction est toujours irréductible...

 Cliquez pour afficher

Si on remarque que 3(14n+3)-2(21n+4)=1, alors d'après le théorème de Bézout, cela signifie que 14n+3 et 21n+4 sont premiers entre eux. Donc il est évident que la fraction est irréductible....

[invite2220c077]

Olympiade Internationale de Mathémétiques 1959, exercice n°1, ton exercice ...

EXERCICE 8

Notions à utiliser : Principe des tiroirs, Congruence

On se donne entiers . Prouver qu'il existe un sous-ensemble de {} dont la somme des éléments est divisible par .

Principe des tiroirs : Si objets sont placés dans tiroirs, alors au moins un tiroir contiendra au moins objets.

Note : Si n'est pas divisible par , alors prendre la partie entière supérieure de la division.

 Cliquez pour afficher

On pose :


Si l'un des est divisible par , c'est fini. Sinon considérons les restes de la division euclidienne des par . On dispose alors de restes à placer dans tiroirs. Ainsi, le principe des tiroirs nous permet d'affirmer qu'il existe deux sommes et , , qui ont le même reste modulo . Par conséquent,

[invite787dfb08]

EXERCICE 9

Notion à utiliser : Nombres premiers...

Soit n = , trouver le nombre de diviseurs de n, et calculer la somme de ces diviseurs.

 Cliquez pour afficher

Nombre de diviseurs :

Il éxiste une formule qui est :
si

Ainsi on peut conclure que
Si on ne connait pas cette formule, on peut trouver d(n) avec un arbre, en essayant de représenter toutes les formes que peut prendre n, c'est à dire en faisant varier les indices a et b, on aura donc un arbe ayant (a+1) branches principales, au bout desquelles partent (b+1) branches secondaires à chaque fois...

Somme des diviseurs (D(n))

D(n) est donc égale, d'après la question précédente, à :



Que l'on peut écrire :



que l'on peut factoriser par :



S'agissant de deux sommes de suites géométriques de raison facilement identifiables, on peut écrire :

[invite787dfb08]

Juste pour signaler que dans la correction de l'exercice précédent, ce n'est pas une somme, mais un produit dans la dernière ligne de la réponse. Désolé de cette petite erreur...

[invite2220c077]

EXERCICE 10

Notion à utiliser : Récurrence

Soit un entier naturel. Trouver toutes les racines du polynôme

 Cliquez pour afficher

a comme racine -1.

a comme racine -1 et - 2.
Intuitivement, on peut penser que a racines qui sont -1, -2, ..., -n. Montrons-le par récurrence.

Le cas est vrai. Supposons que cela soit vrai au rang . Alors, avec le coefficient de .
En analysant les premières expressions de , on en déduit que , d'où .

Maintenant, observons que :







qui a bien racines qui sont -1, -2, ..., -(n + 1). Ce qui achève la démonstration par récurrence.

[invite2220c077]

EXERCICE 11

Notion à utiliser : Théorème d'Euler

Soit un entier naturel impair. Montrer que

Théorème d'Euler (généralisation du petit théorème de Fermat) :

Si et sont premiers entre eux, alors ,

où , avec les nombres premiers dans la décomposition de , la fonction d'Euler qui désigne le nombres d'entiers naturels non nuls inférieurs ou égal à et premiers entre eux avec lui.

 Cliquez pour afficher

D'après le théorème d'Euler, . Or, puisque représente le nombres des entiers tels que et alors et donc. Il s'ensuit que , d'où le résultat.

[invite787dfb08]

EXERCICE 12

Notion à utiliser : Nombres premiers.

Soit n un entier tel que
Exprimer le nombre des diviseurs positifs de n, la somme de ces diviseurs, et le produit de ces diviseurs.

 Cliquez pour afficher

Nombre des diviseurs :

Même cas que l'éxercice 9. La réalisation d'un arbre ou alors l'application directe de la formule donne :



Somme des diviseurs :

Il parait évident que la somme D(n) s'exprime par :









Produit des diviseurs

On note P(n) le produit des diviseurs, de la même façon, on l'exprime sous la forme :

















Remarque : Il s'agit dans les deux cas de bien repérer les suites géométriques ou autres pour pouvoir exprimer les sommes...

[invite787dfb08]

EXERCICE 13

Nombres de Mersenne : pistes : nombres premiers et logique mathématique.

On considère les nombre de la forme : dits nombres de Mersenne.

1) Montrer que sont premiers.
2) Montrer que si d est un diviseur de n, alors est divisible par . En déduire que si est premier alors n est premier.
3) Etudier la réciproque.

 Cliquez pour afficher

1) Montrer que les premier Mn sont premiers






Il est évident que 3, 7 et 31 sont premiers, 127 l'est aussi puisqu'il n'y a aucun nombre premier compris entre 1 et qui divise 127

2)Montrer que si d est un diviseur de n, alors est divisible par . En déduire que si est premier alors n est premier.

tel que

et est donc de la forme

Remarquant que 1 est une racine évidente, on peut facoriser par :

ou Q est un polynome de degré inférieur.

Donc si , alors , et donc

Il s'agit maintenant de monter que si Mn est premier alors n est premier. On peut le faire en utlisant un raisonement logique : rappel de notation de logique :

"P" et "Q" sont des propositions. On note la proposion "non P"

Soit la proposition P = "d divise n"
et la proposition Q = "

On a montré précédement que
On peut donc en déduire, d'après les notions fondamentales de la logique que :

Or se traduit par "d ne divise pas n"
et se traduit par " ne divise pas "


implique que n soit premier puisqu'il n'a comme diviseur que lui même et 1.

implique que est premier car est impair, ce qui implique qu'aucun nombre impair premier ne divise , et il est évident que 2 ne divise pas non plus .

Ainsi, quand est premier, n est premier, car

Ce qui conclut pour la question 2.

3) Réciproque

Qu'en est-il de la réciproque ? On constate que :

or 2047 n'est pas premier (23*89), la réciproque est donc fausse...

[invite2220c077]

EXERCICE N°14 :

Notion clé à utiliser : Aucune

Montrer que le nombre peut s'exprimer comme le produit de 2 entiers naturels dont l'un d'eux est strictement supérieur à .

 Cliquez pour afficher

Remarquons que le nombre en question est de la forme avec :





Or,
. Ce qui démontre que le nombre considéré s'exprime comme le produit de deux nombres entiers, puisque est entier.

De plus,

[invitec811222d]

Salut tout le monde je voulais dire que je trouve super cette rubrique ! Voila un éxo un peu long j'en conviens .
Exerice 15

Notions à utiliser: Divisibilité,congruences et numération.

1.) Démontrer que, pour tout entier naturel , est un multiple de 7(on pourra utiliser un raisonnement par recurrence).
En déduire que est un multiple de 7 et que est un multiple de 7.

2.) Déterminer les restes de la division euclidienne par 7 des puissances de 2.
3.)Le nombre étant un entier naturel, on considère le nombre
entier

a) Si , quel est le reste de la division de par 7 ?

b) Démontrer que si , alors est divisible par 7.

c)Etudier le cas où

4) On considère les nombres entier a et b écrits dans le système binaire(base 2):

et

Vérifier que ces deux nombres sont des nombres de la forme .
Sont-ils divisibles par 7.

 Cliquez pour afficher

1.) On a:


et d'où
.

Par ailleurs:

or donc

soit .

2) D'après ce qui précède on deduit que :
Si alors le reste de la division euclidienne de par 7 est 1
Si alors le reste de la division euclidienne de par 7 est 2
Si alors le reste de la division euclidienne de par 7 est 4

3)
a) Si , or on a:

d'où et .

Finalement soit .Le reste de la division euclidienne de par 7 est 3.

b) Si , .

De la meme manière on a donc et .

or
donc .
est divisible par 7.


c) Si , .


en procédant de la meme manière on a :


or
.

4)

donc a est de la forme avec et donc .a n'est pas divisible par 7.

donc b est de la forme avec et donc .b est divisible par 7

[invite1237a629]

Exercice 16

Notions à utiliser : raisonnement par l'absurde/utilisation de la contraposée, propriété d'un nombre non premier

Soit n un entier positif.



Montrer que si est un nombre premier, alors n est premier.

Rappel :
Soit la proposition :
Sa contraposée est :

 Cliquez pour afficher

Si n n'est pas premier, alors il peut s'écrire sous forme d'un produit de deux entiers positifs p et q.
n=pq




Le premier terme est la somme des termes de la suite géométrique de raison , le second celle des termes de la suite géométrique de raion 3.
Donc ce sont des nombres entiers (on ajoute des puissances successives d'un nombre entier, donc la somme sera un nombre entier).

Donc peut s'écrire sous forme de produit de deux entiers. Donc n'est pas premier.

CQFD.

[invite2220c077]

Exercice 17

Notion clé à utiliser : Définition d'une suite arithmétique

Montrer que les racines cubiques de trois nombres premiers distincts ne peuvent pas être trois termes (non nécessairement consécutifs) d'une progression arithmétique.

 Cliquez pour afficher

Raisonnons par l'absurde et supposons qu'une telle suite arithmétique existe. Alors on a

, , , avec , , des nombres premiers distincts et , des entiers.

Nous obtenons,



ou encore,



et après élévation au cube,



Finalement, nous obtenons,



Mais puisque les nombres premiers sont supposés distincts, alors le membre de gauche est irationnel tandis que le membre de droite est rationnel.

Contradiction. Ce qui conclut.

[invite787dfb08]

Exercice 18

Notion à utiliser, PGCD, PPCM, divisibilité

Trouver tous les couples (a,b) de naturels vérifiants : ppcm(a,b) = 40 et a+b=60

 Cliquez pour afficher

On pose : d= a^b et m = ppcm(a,b)
On peut donc noter : a=da' et b=db' avec a' et b' des naturels premiers entre eux...

de plus, avec la propriété md=ab, on obtient en remplaçant : md=d²a'b'
d'où : m=da'b', or m = 40 d'où da'b' = 40

Et, sachant que a+b = 60, on peut remplacer et obtenir d(a'+b') = 60

Donc, sachant d(a'+b')=60 et da'b'=40 on peut dire que d|40 et d|60. On cherche donc les diviseurs communs à 40 et 60, et on trouve :
d appartient à l'ensemble {1,2,4,5,10,20}

On essaie ensuite toutes les possibilité de d, dans le système : d(a'+b')=60 et da'b'=40

* d=1
a'+b'=60 et a'b' = 40. Partant de la seconde conditions, les couples (a',b') possibles sont (1,40) ; (2,20) ; (4,10) ; (5,8), et toutes leurs permutations. Or aucun de ces couples ne satisfait la première conditions. Donc, pour d=1, aucune solution n'est satisfaisante...

* d=2
2(a'+b')=60 et 2a'b' = 40. --> a'+b'=30 et a'b'=20 Partant de la seconde conditions, les couples (a',b') possibles sont (1,20) ; (2,10) ; (4,5), et toutes leurs permutations. Or aucun de ces couples ne satisfait la première conditions. Donc, pour d=2, aucune solution n'est satisfaisante...

* d=4
4(a'+b')=60 et 4a'b' = 40. --> a'+b'=15 et a'b'=10 Partant de la seconde conditions, les couples (a',b') possibles sont (1,10) ; (2,5), et toutes leurs permutations. Or aucun de ces couples ne satisfait la première conditions. Donc, pour d=4, aucune solution n'est satisfaisante...

* d=5
5(a'+b')=60 et 5a'b' = 40. --> a'+b'=12 et a'b'=8 Partant de la seconde conditions, les couples (a',b') possibles sont (1,8) ; (2,4), et toutes leurs permutations. Or aucun de ces couples ne satisfait la première conditions. Donc, pour d=5, aucune solution n'est satisfaisante...

* d=10
10(a'+b')=60 et 10a'b' = 40. --> a'+b'=6 et a'b'=4 Partant de la seconde conditions, les couples (a',b') possibles sont (1,4) ; (2,2), et toutes leurs permutations. Or aucun de ces couples ne satisfait la première conditions. Donc, pour d=10, aucune solution n'est satisfaisante...

* d=20
20(a'+b')=60 et 20a'b' = 40. --> a'+b'=3 et a'b'=2 Partant de la seconde conditions, les couples (a',b') possibles sont (1,2) ; (2,1). Ces deux couples satisfont la première conditions, ils sont donc solution.

Ensuite, sachant que a=20a' et b=20b', on en conclut que tous les couples (a,b) solutions sont (20,40) et (40,20).

[invite787dfb08]

Exercice 19

Notion à utiliser : pgcd

Montrer que si , alors

 Cliquez pour afficher

Supposons tout d'abord que a^b=d et (a²+b²)^ab=d', avec d' différent de 1

Par définition, d'|ab.

Soit k un nombre premier apparaissant dans la décomposition en facteurs premiers de d'. On rappelle que 1 n'est pas un nombre premier, par conséquent k est différent de 1.

k|d', or d'|ab k|ab, et k étant premier, k|a ou k|b.
Et, k|a²+b² et k|ab, donc k divise toutes combinaisons linéaire de a²+b² et de ab.
Donc, k|a²+b²+2ab , k|(a+b)² (entre autre), et k étant premier, alors k divise necessairement a+b
On a donc, k|a ou k|b, et k|a+b
* Si k|a, alors k|a+b-a, k|b (entre autre)
* Si k|b, alors k|a+b-b, k|a (entre autre)

Donc dans les deux cas, on a : k divise a et b. Donc k divise le pgcd de a et b (propriété du cours), c'est à dire k|d. Donc d est nécessairement différent de 1.

On a donc montré que la proposition : "a²+b²^ab=d' avec d' différent de 1" implique la proposition : "a^b=d avec d différent de 1".

Or,

En conclusion, par contraposition,

[erff]

Exercice 20

Notions à utiliser : Principe des tiroirs, divisibilité

Soit n un naturel impair,
Montrer que parmi (n-1)²+1 entiers, il en existe n dont la somme est un multiple de n

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Appelons X cet ensemble :

- Soit il existe n nombres qui ont tous des restes différents modulo n : notons les x1,..,xn


car n-1 est pair donc est un entier

Donc


- Soit ce n'est pas le cas, c'est à dire qu'il nous manque un reste modulo n

Nous disposons donc de n-1 restes parmi (n-1)²+1 entiers
Or

D'après le principe des tiroirs, il existe au moins n entiers qui ont le même reste (noté r) modulo n. Notons ces entiers :



Ce qui termine l'exercice

[invite787dfb08]

Exercice 21

Notions à utiliser : à vous de voir

Montrer que

 Cliquez pour afficher

Cet éxercice est similaire au n°19

Supposons que a^b²=d', avec d' différent de 1. Supposons ensuite que a^b=d.

Soit k un nombre premier apparaissant dans la décomposition en facteurs premiers de d'.

On sait k|d', et d'|b², donc, k|b², et k étant premier, k|b nécessairement.
De plus, k|d', d'|a, donc k|a.

Donc, si k|a, k|b, alors nécessairement d est différent de 1, puique k divisant a et b, il divise toute combinaison linéaire de a et de b, donc entre autre leur pgcd. Donc k|d, ce qui implique que d soit différent de 1...

On a donc montré que a^b²=d' avec d' différent de 1 implique a^b=d avec d différent de 1. Donc par contraposition, a^b=1 implique que a^b²=1.

[invite130b38e4]

Bonsoir j'ai une question Hors-sujet, comment ce fait-il que lorsque on clique sur "Cliquez pour afficher" que la réponse apparaisse, j'aimerais savoir comment vous faites.

Merci

[invite1237a629]

Salut,

Balises [SPOILER] (à fermer avec son équivalent : [ /SPOILER]), ce qui permet de ne pas afficher d'emblée la réponse et laisser durer un tantinet le suspense

[invite787dfb08]

Exercice 22

Notions à utiliser : similitudes planes

Soit le plan complexe muni d'un repère orthonormal , unité 1 centimètre.
On donne les points A et B d'affixes respectives 12 et 9i et l'application f de dans qui, au point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe Z, définit par :



a) Démontrer que f admet un point invariant de coordonnées
Démontrer que f est un similitude directe plane d'angle et de rapport .

Quel est son centre ?

b)Quelles sont les images par f de A et O ?
Montrer que est un point communs aux cercles C1 et C2 de dimaètres respectifs [OA] et [OB].
Etablir que est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle AOB et montrer que :



Représenter les points et les deux cercles sur une figure...

 Cliquez pour afficher

On sait :

avec :

a) Déterminer les coordonées du points invariant (centre) de f :
Il suffit de résoudre




En multipliant le dénominateur par le conjugué, on obtient :


Et donc, est bien invariant par f.

Rapport de f Dans ce cas on utilise la formule toute bête du cours, connaissant l'écriture complexe de f : soit k le rapport de f :




Angle de f : même chose, soit l'angle de f :
= et étant un imaginaire pur négatif, alors on conclut immédiatement :
=

Centre de f : f étant une similitude directe, elle admet un unique point invariant qui est son centre, donc est le centre de f.

b) Images de A et O par f
Il suffit de remplacer les affixes de A et O dans :

Ce qui donne :



et donc

Montrons que est un point communs à C1 et C2.
Montrons d'abord que appartient à C1 :
On sait :

et

D'où : , ce qui implique que appartient au cercle de diamètre OA, le triangle OA étant rectangle en .
Donc,
On peut ensuite démontrer de la même manière que et conclure ou procéder de la manière suivante :

Sachant que , alors on peut dire que , et donc tout point M appartenant à C1 sera transformé en un point M' appartenant à C2, donc, étant sur C1, il sera transformé en un point sur C2, mais il est le centre de f et est donc invariant par f, il est donc nécessairement sur C1 et C2. Or les deux cercles ont deux intersection dont une est O, or O n'est par invariant par f, ce qui conclut que représente le deuxième point d'intersection de C1 et C2.

Montrons que .
On peut calculer les distances par des modules et conclure, mais il y a beacoup plus rapide :
Il suffit de remarquer que f étant une similitude, le rapport entre les distances et les "distances images" sont égales. Donc, si :
, alors on peut dire :


Ce qui conclut ensuite : .

Maintenant pour la figure il ne devrait plus y avoir de problèmes...

[invite787dfb08]

EXERCICE 23

Notion à utiliser : divisibilité

Partie A

Soit E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Déterminer les paires {a;b} d'entiers distincts de tels que le reste de la division euclidienne de ab par 11 soit 1.

Partie B
1) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
a) L'entier (n-1)! + 1 est il pair ?
2) Pourver que l'entier (15-1)! + 1 n'est pas divisible par 15.
3) L'entier (11-1)! + 1 est-il divisible par 11 ?


Partie C

Soit p un entier naturel non premier (p>2).
1) Prouver que p admet un diviseur q (1<q<p) qui divise (p-1)!.
2) L'entier q divise-t-il (p-1)! + 1 ?
3) L'entier p divise-t-il l'entier (p-1)! +1 ?

 Cliquez pour afficher

Partie A

Je propose une méthode (un peu longue) :



Soient

On sait et
Donc
On cherche les paires de a et b telles que

or , où k est un relatif. Travaillant dans E, on peut dire que :

ab {1,12,23,34,45,56,67,78,89,100 }

ensuite on essaie tout :
* ab = 1, S=(1,1), or a et b doivent être distincts, donc S = ensemble vide...
* ab = 12 S = (2;6), (6,2), (3,4), (4,3)
etc...

On obtient ainsi tous les couples solutions :

S = {(2,6)(3,4)(4,3)(5,9)(6,2)(7,8 )(8,7)(9,5)}

On aurait pu utiliser l'identité de Bézout, c'est à dire former tous les couples constitués de nombres premier avec 11...

Partie B

1) a) On sait n>3, d'où (n-1)>2
Ainsi, (n-1)! contient au moins une fois le facteur 2 ((n-1)! = 1x2x...x(n-1)), donc (n-1)! est pair.
Ainsi, (n-1)!+1 est impair...

b) (15-1)!+1 = 14! + 1

et :

on étudie ensuite séparément les congruences de chacun de ces facteurs :







donc finalement :

or

d'où :



Donc :

L'entier (15-1)!+1 n'est donc pas divisible par 15....

c) on procède de même avec (11-1)! + 1 = 10! + 1

On décompose 10! en facteurs premiers :





d'où :



Donc 11 divise (11-1)!+1

Partie C

1)p est non premier et p>2
Soit q un entier tel que 1<q<p
Soit la proposition : "il n'éxiste aucun q tel que q divise p"
Soit la proposition : " P est premier "

On est d'accord que :
et donc par contraposition :

Ce qui se traduit par : Si p est non premier, alors il éxiste un réel q tel que 1<q<p qui divise p.

Cet entier q étant inférieur à p, alors il apparait obligatoirement dans 2*3*
...*(p-1), soit dans (p-1)!, et donc q|(p-1)!

2) On sait (p-1)! est pair (voir questions précédentes)
On sait q|(p-1)!, donc q est pair.....

Donc q ne divise pas (p-1)! + 1, qui est impair....

3) p divise-t-il (p-1)! + 1 ?
Il suffit de reprendre l'exemple de la partie B, avec 15 :
"L'entier (15-1)!+1 n'est donc pas divisible par 15...."

Ce qui conclut, un contre exemple étant suffisant....

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Exercice 24

Notion à utiliser : divisibilité

n désigne un entier naturel

1) Démontrer que n²+5n+4 et n²+3n+2 sont divisibles par (n+1)

2) Déterminer l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n²+15n+19 est divisible par n+1

3) En déduire que quel que soit n, 3n²+15n+19 n'est pas divisible par n²+3n+2

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1)Bon facil, on fait péter delta et on cherche les racines, puis on factorise :
n²+5n+4 = (n+4)(n+1)
n²+3n+2 = (n+2)(n+1)
Les deux sont bien divisibles par n+1...

2) On sait :
(n+1)|(n+1) donc (n+1)|(n²+2n+1)...
Supposons maintenant que (n+1)|(3n²+15n+19)...

Alors, (n+1)|(3n²+15n+19)-3(n²+2n+1), entre autre
d'où : (n+1)|(9n+16)
et ensuite, (n+1)|(9n+16)-9(n+1), entre autre
d'où : (n+1)|7

donc, (n+1) {-7,-1,1,7}
donc, n {-8,-2,0,6}
n étant un naturel, n {0,6}

Donc, (n+1)|(3n²+15n+19) n {0,6}

3)
* Soit n {0,6}
Il n'y a que deux cas, on les essaie pour conclure que n²+3n+2 ne divise pas 3n²+15n+19...

* Pour les autres valeurs de n, c'est à dire n R - {0,6} :
On sait (n+1)|(n²+3n+2), raisonnons par l'absurde, en supposant que
(n²+3n+2)|(3n²+15n+19)...

Alors on aurait : (n+1)|(3n²+15n+19), ce qui est contradictoire puisque n R - {0,6}

il est donc absurde de noter que (n²+3n+2)|(3n²+15n+19) pour n R - {0,6}


Ainsi on peut conclure : , (n²+3n+2) ne divise pas (3n²+15n+19)