Spé Maths Terminale S Exercices

[-Zweig-]

Exercice 33

Valuation p-adique

Soient et des entiers naturels tels que pour tout entier naturel . Montrer qu'alors

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Soit la valuation p-adique de l'entier naturel .

D'après les propriétés des valuations p-adiques nous obtenons :




Comme , nous avons :



Ainsi,

[-Zweig-]

Exercice 34

Equation diophantienne

Soient , et des entiers naturels premiers. Résoudre :

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Clairement, et ne sont pas tous les deux impairs car alors la somme serait paire et on voit que ne donne aucune solution dans les nombres premiers. Ainsi, l'une des deux variables est forcément paire et puisque ce sont des nombres premiers, alors elle est égale à 2. Puisque la somme est symétrique en ses variables, on peut toujours supposer sans perte de généralité .

Nous somme alors ammené à résoudre

Or, et pour ainsi la somme est divisible par 3. Or la somme est un nombre premier, d'où l'unique valeur de satisfaisant les conditions. On remarque très facilement que cette équation n'admet aucune solution dans les nombres premiers.

lorsque . Or la seule valeur de telle que soit premier est , ce qui nous donne et .

[loweekee]

Exercice 33

Valuation p-adique

Soient et des entiers naturels tels que pour tout entier naturel . Montrer qu'alors

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Soit la valuation p-adique de l'entier naturel .

D'après les propriétés des valuations p-adiques nous obtenons :




Comme , nous avons :



Ainsi,

Heu je devais dormir profondément, mais la valuation p-adique j'ai jamais entendu parler de ça en Term (ni en 2 ans de prépa d'ailleurs)...

[-Zweig-]

Ce n'est effectivement pas au programme de T°S et de prépa (à part peut être la formule de Legendre qu'on voit en MP il me semble qui se démontre avec les valuations) mais c'est du niveau de Terminale quand même : c'est dans le prolongement de la décomposition en facteurs premiers d'un entier. Pour ça, va voir mon PDF il y'a un "cours" sur les valuations

[-Zweig-]

Bon, les deux exos que j'ai mis sur les valuations p-adiques, c'est plutôt pour ceux qui veulent faire du hors programme hein, puisque l'on est sur un topic de T°S spé Math (même si cet exo peut être résolu avec des connaissances de T°S, mais j'avais la fleimme de la rédiger )

[-Zweig-]

Exercice 35

Principe des tiroirs (voir PDF)

Soit un entier naturel. On choisit, parmi l'ensemble , nombres de manière arbitraire. Montrer que quelque soit le choix de ces nombres, on peut toujours en trouver deux tel que que l'un divise l'autre.

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Chaque élément de peut être écrit de manière unique sous la forme avec un entier naturel et un entier naturel impair. Puisqu'il n'existe que entiers impairs entre 1 et , on construit les ensemble disjoints suivants :






de sorte que et impair pour tout . Nous obtenons alors ensembles disjoints et nombres à répartir. D'après le principe des tiroirs, il existe deux nombres appartenant au même ensemble. La conclusion s'ensuit alors.

[-Zweig-]

J'ai oublié de le préciser, mais le problème ci-dessus est dû à Paul Erdos, pour les connaisseurs .

[-Zweig-]

Exercice 36

Principe des tiroirs (voir PDF)

Soit un entier naturel. On choisit, parmi l'ensemble , nombres de manière arbitraire. Montrer que quelque soit le choix de ces nombres, on peut toujours en trouver deux qui soient premiers entre eux.

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L'ensemble peut être partionné en ensembles disjoints à deux éléments. Dans notre cas, il faut donc choisir nos ensembles de sorte que les deux éléments soient premiers entre eux. L'idée la plus simple est de les choisir consécutifs. Nous disposons alors de ensembles à deux éléments et de nombres à répartir. Le principe des tiroirs permet de conclure.

[bubulle_01]

Salut !

Beau travail Zweig pour tout ces exercices
Néanmoins, je ne pense pas que l'utilisation des valuations p-adique soit nécessaire dans celui ci :

Exercice 33

Valuation p-adique

Soient et des entiers naturels tels que pour tout entier naturel . Montrer qu'alors

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En prenant on a donc non ?

Voilà, j'avais juste cette remarque à faire, sinon c'est très bien

[Weensie]

bien vu! bubulle_01

[-Zweig-]

Certes, sauf que la proposition doit être vérifiée pour tout entier naturel n. Enfin, là tu ne montres que pour n = 1.

Sinon le PDF est bientôt fini !

[loweekee]

Je crois que bubulle_01 a raison:
"pour tout n", c'est l'hypothèse, donc libre à nous d'utiliser les n qu'on veut, ici n = 2

edit: à moins que l'énoncé ne soit:
"...
montrer que, pour tout naturel n, a^n | b^n "

auquel cas...

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une récurrence devrait pouvoir se mettre en place

[bubulle_01]

Certes, sauf que la proposition doit être vérifiée pour tout entier naturel n. Enfin, là tu ne montres que pour n = 1.

Arf, là je ne comprends plus ...
Le point à démontrer est indépendant de , libre à nous d'utiliser les données de départ de n'importe quelle manière, non ?

[-Zweig-]

Exercice 37

Triplet de Pythagore

Montrer que si le rayon du cercle inscrit d'un triangle à côtés entiers est 1, alors ce triangle est rectangle.

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Lemme : On note l'aire du triangle ABC, son demi-périmètre et le rayon de son cercle inscrit. Nous avons la relation suivante :

Démo : On note P, Q et R les projetés orthogonaux respectivement de I sur [BC], [AB] et [AC]. Nous alors avec I le centre du cerle inscrit au triangle ABC. Clairement,



D'après la formule de Héron : . Nous sommes alors ammené à résoudre l'équation : , avec .

En posant , , , l'équation se réécrit : . Puisque l'équation est symétrique en ses variables, on peut toujours supposer . Alors . On vérifit que parmi les différents couples possibles, seul convient. On en tire alors . Il nous reste alors le système suivant à résoudre :





qui fournit le triplet . La réciproque du théorème de Pythagore permet d'affirmer que ce triangle est rectangle.

[Weensie]

Fidèle à ses coutumes , Zweig nous poste encore une brillante démonstration .

PS: l'orthographe n'est cependant pas toujours au rendez vous !!