Spé Maths Terminale S Exercices

[invite2b14cd41]

Merci soukou
-----

[invite1862204a]

Résolvez dans Z l'équation diophantienne :



(trouver sur internet avec la consigne et la personne précisait: "que c'est un exercice du chapitre sur les équations diophantiennes".
Donc Notion à utiliser : divisibilité, pgcd...

SALUT
Je ne sais pas utiliser LATEX mais voila l'essentiel:
soit d=pgcd(x;y) et m=ppcm(x;y)
on a:x=d.a et y=d.b ou a et premiers entre eux
de plus:x.y=d.m ......alors:d.a.b=m
la première expression est:y(y=x)=x^2(y^2.z-1) et encore (db+da)=d^2.a^2(d^2.b^2.z-1) et par suite:b(b+a)=a^2(d^2.b^2.z-1) et encore:b^2=a(a.d^2.b^2.z-a-b)
de l'expression ci-dessus:a/b^2 et pgcd(a;b)=1 donc a=1 ou a=-1
1 cas a=1
fais tes calculs et attention au cour ,tu trouveras:a=b=d=1 c à d:x=y=1 et z=3
2 cas a=-1
......(x=1;y=-1 et z=1) et(x=-1;y=1 et z=1)
conclusion:(x,y,z)=(1,1,3)ou(1 ;-1;1) ou(-1,1,1)
.............................. .............................. .............
soukou de Marrakech

[invite2b14cd41]

Pour les pro:
Notions mises en jeu : arithmétique, polynomes, formules d'Euler...

Un théorème de joachimsthal :

Soit une ellipse (E) d'équations paramétriques:
x=a*cos(t)
y=b*sin(t)
avec t réel
Démontrez que 4 points A1 , A2, A3 et A4 cocylciques et qui appartiennent à cette ellipse équivaut à t1+t2+t3+t4=0 (mod 2*pi)
ou t1, t2, t3 et t4 sont les paramètres respectifs de A1,A2,A3 et A4.

Solution :
http://pagesperso-orange.fr/gilles.c...achimsthal.pdf

[invite54ae9c79]

Yo,

Bon, j'ai commencé à rassembler tous le sproblèmes avec leur solution dans un PDF, pour plus de clarté. Ce n'est pas encore fini, loin d elà, donc patience ! Y'a un petit formulaire (et des références) à la fin aussi avec des résultats qui permettent de résoudre certains exos (le smiens en fait surtout ) Il sosnt donnés sans démo ... Laissées au lecteur .. Non en fait je les donnerais quan dj'aurais tout fini, ça ne presse pas !

Le PDF en question

Salut mec ! Premièrement, ce fil est très interressant pour ceux qui aiment bien l'arithmétique, et ça montre avec vos exos bien qu'on peut passer du relativement simple au très compliqué ! Enfin bon, j'envoie un petit message pour savoir si tu pourrais remettre ton pdf, qui doit être bien bien interressant, puisque le lien ne marche pas, j'crois :s ! A bientôt

[inviteec0ba75a]

EXERCICE N°14 :

Notion clé à utiliser : Aucune

Montrer que le nombre peut s'exprimer comme le produit de 2 entiers naturels dont l'un d'eux est strictement supérieur à .

 Cliquez pour afficher

Remarquons que le nombre en question est de la forme avec :





Or,
. Ce qui démontre que le nombre considéré s'exprime comme le produit de deux nombres entiers, puisque est entier.

De plus,

Quel nombre ????? Il manque l'énoncé.

[Seirios]

En regardant la correction, il doit s'agir de .

[invite4a5d28cc]

Bonjour à tous,

Voilà, j'ai un exercice à faire en Spé Maths mais je ne comprends pas l'énoncé (en pièce jointe).

J'aimerais savoir à quoi correspond E.

Merci d'avance.

[invite2b14cd41]

Bonjour à tous,

Voilà, j'ai un exercice à faire en Spé Maths mais je ne comprends pas l'énoncé (en pièce jointe).

J'aimerais savoir à quoi correspond E.

Merci d'avance.

C'est la partie entière

[LuchoGonzalez]

Voilà j'ai une correction d'un exercice type BAC de spé maths mais je ne comprend pas comment on fait pour trouver.

Voici le corrigé : http://mathdaudet.free.fr/docterm/BBfevrier07_4.pdf

C'est la question 4:
2006 = 2 x 1003 + 0 = 3 x 668 + 2 = 6 x 334 + 2.
Nous en déduisons :
2^2006 = 2 ^3 x 668 + 2 = (2 ^3)^668 x 2^2 congru à 4 modulo 7

Je ne comprend pas pourquoi cela est congru à 4, d'où il vient ce 4 ?

Merci d'avance !

[invite39d4c2c3]

Bonjour,

il est congru a 4 modulo 7 puisque 2^3*668 est congru a 1 modulo 7 et que 2^2 est congru a 4 modulo 7 par multiplication on a 1*4 =4

[LuchoGonzalez]

MERCI AMPLEMENT !!!!! C'était donc ça merci !

[invite39d4c2c3]

Je ne comprend pas la résolution de l'exercice 3 avec la suite de nombre et p impairs.
si quelqu'un pouvait m’explique sa m'arrangerait.
Merci

[LuchoGonzalez]

Bonjour,

il est congru a 4 modulo 7 puisque 2^3*668 est congru a 1 modulo 7 et que 2^2 est congru a 4 modulo 7 par multiplication on a 1*4 =4

Bonsoir, votre explication ne marche pas pour 3², comment on trouve 3², 4² ... ?

[invite39d4c2c3]

Mais la valeur ne varie pas !
Avez vous une idée pour la question que j'ai posé?

[LuchoGonzalez]

Partie B
On admet que 250 507 n'est pas premier.
On se propose de chercher des couples d'entiers naturels (a ; b) vérifiant la relation
(E) : a² −250507 = b².
1. Soit X un entier naturel.
a. Donner dans un tableau, les restes possibles de X modulo 9 ; puis ceux de x² modulo 9.
b. Montrer que les restes possibles modulo 9 de a sont 1 et 8.

Or dans ma correction mon prof nous dit que les restes possibles d'après le tableau des congruences de a² sont 0,1,4 et 7. Sauf que moi je trouve ça et en plus je trouve 5 comme reste possible. En effet pour la premiere question je trouve :

restes possibles modulo 9 de X : 0,1,2,3,4,5,6,7,8
Restes possibles modulo 9 de X² : 0,1,4,0,5,7,0,4,1

Vous voyez bien que 4² = 1 x 9 + 5
Donc le reste de 16 modulo 9 est 5 .

Pourquoi les restes possibles de X² sont 0,1,4 et 7 seulement ?

Merci .

[invite39d4c2c3]

Non les restes possibles sont bien 1;4;7;0
1² congru a 1 mod 9
2² """""" a 4 """" 9
3² 0 9
4² 7
... Jusqu’à 9² et après la" boucle " redémarre

[invite4a5d28cc]

Bonjour à tous,
Voilà, j'ai un exercice à faire mais après plusieurs essais en vain, je n'y arrive toujours pas !
L'énoncé est le suivant:
x et y désignent 2 entiers naturels non nuls. Résoudre le système suivant :
* PPCM(x;y) = 12 PGCD(x;y)
* x+y = 105 ; x <ou= y
Pouvez-vous me donner des pistes svp ?
Merci d'avance !

[invite1862204a]

x.y=pcgd(x;y).ppcm(x;y)
poser d=pcgd(x;y),il existera a et b premiers entre eux verifiant x=da et y=db
x+y=105 donnera d=1:3;5;7;15;21:35 ou105
discuter suivant les valeurs de d(raisonement par disjonction des cas)
bonne chance

[invite254042f9]

On note (Sn)n∈N∗ la suite d´efinie par Sn = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + . . . + n × (n + 1)


On peut aussi ´ecrire que Sn =
Xn
k=1
k(k + 1)

1. D´emontrer que ∀n ∈ N
∗
, Sn+1 = Sn + (n + 1)(n + 2)
2. D´emontrer par r´ecurrence que ∀n ∈ N
∗
, Sn =
n(n + 1)(n + 2)
3
3. Calculer S245

[darkpseudo]

@j.datalis : pose x=dx' et y=dy' alors d=PGCD et dx'y'=PPCM tu aura donc .
d(x'+y')=105 et x'y'=12 remarque aussi que 105=5*3*7 ensuite le reste est facile .

[invite20afc7ff]

darkpseudo,soukou : bonne réponse
@donaldsmith:
1-on a Sn=1X2+2X3+3X7+...+nX(n + 1)=sum(k(k+1), k = 1 .. n): pour info : sum=sigma
pour n+1 on a : Sn=sum(k(k+1), k = 1 .. n+1)=sum(k(k+1), k = 1 .. n)+(n+1)(n+1+1))
donc Sn+1=Sn+(n+1)(n+2) : mais on utilise celle la souvent comme donnée on n'a souvent pas a la démontrer
2- ta deuxième relation n'est pas vérifiée pour x=1!!! donc éronée : S1=1*2=2 et selon TA relation S1=1*2*3=6 donc c pas la bonne relation

[inviteb10dce1f]

Bonjour à tous,

j'ai un DM TRES URGENT à faire et je bloque sur cet exercice (récurrence)
" Démontrer que 3^(2n+1) +2 *4^(3n+1) est divisible par 11 pour tout entier naturel n "

J'ai fait déjà fait l'initialisation mais je n'arrive pas à faire l'hérédité,
Pourriez vous m'aider à le résoudre ??

[invite20afc7ff]

on suppose que pour tout n appartenant a N 3^(2n+1) +2 *4^(3n+1) est divisible par 11
et on prouve que 3^(2n+3) +2 *4^(3n+4) est divisible par 11
pour n=0 on a 0=0*11 donc 11 divise donc c vérifié pour n=0
pour n+1:
3^(2n+3)+2*4^(3n+4)=9*3^(2n+1) +2*(4^3)*4^3n+1=11*3^(2n+1)-2*3^(2n+1)+66*2*4^3n+1-2*2*4^3n+1=11(6*2*4^3n+1+3^(2n +1))-2*11k=11k' (11k=3^(2n+1) +2 *4^(3n+1))
donc pour tout n appartenant a n 3^(2n+1) +2 *4^(3n+1) est divisivble par 0
(un petit merci ne ferais pas de mal )

[inviteb10dce1f]

Merci!! je ne m'attendais pas à une réponse si rapide !

[invite20afc7ff]

je t'en pries je suis a ta disposition pour n'importe quelle autre question

[invitef8781758]

comment démontrer que que chaque fonction périodique et continue est limité ?

et merci d'avance

[Tryss]

Il suffit de montrer qu'elle est bornée sur un intervalle de la longueur de sa période.

Par exemple tu as une fonction T périodique, si tu montre qu'elle est bornée sur [0,T] alors elle serra bornée sur R tout entier (à justifier quand même ^^).

[invite20afc7ff]

on prend ne fonction f et limitée dont la période est T:
pour tout xϵ[k;k+T] on a f est continue sur [k,k+t]
∀ xϵ[k;k+T] ∃(m:M)ϵℝ^2: f([k:k+T])=[m:M] (m=min(f(x)ϵ[k;k+T] , M=max(f(x)) xϵ[k;k+T])
ce qui veut dire que : m<f([k:k+T])<M
et comme f est périodique : on a f(k:k+T)=f(ℝ) c'est a dire que
m<f(ℝ)<M
donc f est limitée pour tout x appartenant à ℝ

[invitef8781758]

un autre ex :
Déterminer les limites continues sur ℝ sachant que :
- f(2009)= 2009 à la puissance 2008
- ∀(x,t) ϵℝ² f(x+t) = f(x) + f(t)

[invite20afc7ff]

grbatig il s'agit de l'exercice 65 page 42 non?? la questions portent sur toutent les fonctions qui vérifient cette relation non??