Spé Maths Terminale S Exercices

[GalaxieA440]

Un ch'ti classique oui mais dans mon bouquin de terminale en spe l'exo à quand même 2 étoiles et est guidé (quoi que je ne suis pas sur que ce soit la même démo ^^) donc je pense que c'est bien que la relève se familiarise avec cette belle démo qui se généralise facilement en plus

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[Weensie]

Oui .
Une petite question : Démontre l'irrationnalité de 2 avec le théorème de la borne sup .

[GalaxieA440]

Connait pas ce théorème, mais je chercherai

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[Weensie]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...up%C3%A9rieure

[Thorin]

Démontre l'irrationnalité de 2 avec le théorème de la borne sup .

Tu peux donner une solution ?

[Universus]

Pour démontrer l'irrationalité de , je tiens à préciser que je m'inspire d'un exercice donné dans un certain livre^[1] de géométrie vectorielle. La solution n'étant néanmoins pas donnée dans le livre, il s'agit vraiment de ma réponse.

Soient . On choisit et de telle sorte que soit une approximation de ; cette approximation peut être supérieure ou inférieure à , mais dans ce qui suit, nous la supposerons supérieure (la même démarche tient dans le cas inverse).

Ainsi peut-on dire que , puisque .

Considérons à présent le quotient, toujours élément des rationnels, suivant :



On a :



À partir de ce résultat, on a :



Étant donné que et sont tous deux positifs, on en déduit que :



L'opération fournit donc une meilleure approximation de ; cette opération pouvant être répétée indéfiniment sans jamais obtenir d'égalité, on en conclut l'irrationalité de .

______________________
[1] ALRIC, Guy et al.. Géométrie vectorielle. Compagnie McGraw-Hill, Montréal, 1969, p.22.

[Universus]

Pour les intéressés, je voudrais noter une chose sur la méthode que j'ai montrée ci-dessus.

Considérons que nous voulions déterminer, à l'instar de ce que nous l'avons fait précédemment, l'irrationalité de la racine carrée d'un nombre rationnel . Ainsi, pouvons-nous définir de la même façon qu'au message précédent :



Considérant l'opération (définie comme suit) :



de et , on obtient toujours :



On peut donc définir et déterminer la valeur suivante :



En regardant du côté de



on se rend compte d'une caractéristique très importante avec cette méthode :

Si , alors pour que (condition nécessaire pour que l'opération fournisse une meilleure approximation de ), il faut avoir un quotient relativement grand. Pour mieux comprendre, supposons une valeur du quotient qui soit infiniment près de la valeur de , de telle sorte qu'on se demande si :



Si , alors et donc on peut bien utiliser la méthode présentée, pour autant que les approximations initiales ne soient pas trop élevées pour (donc cette méthode n'est pas à privilégier quand n tend vers 4).

Si , alors et donc . Ceci est contradictoire puisque cela signifie une perte (ou aucun changement) de précision de notre estimation, alors que nous supposions déjà avoir atteint une bonne précision par cette méthode. Ainsi la méthode présentée ici ne peut s'appliquer si .

De plus, remarquons que si et , alors . Ainsi ne faut-il pas conclure trop rapidement à l'irrationalité d'une racine. Ou plutôt, faut-il savoir ou avoir de bons indices que la racine dont on cherche l'irrationalité est bien irrationnelle, sans quoi cette méthode peut être trompeuse.

Amicalement

Universus

[invite2220c077]

Une petite question d'arithmétique issue d'un oral de l'Ecole Normale Supérieure de la rue d'Ulm à Paris dans le cinquième arrondissement (quartier très sympa) à proximité du Panthéon et de l'épicier Normal'Sup :

Déterminer tous les couples d'entiers tels que

Voir ma solution qui généralise cet exercice : http://forums.futura-sciences.com/thread174211-3.html, message #44

[Universus]

Bonjour à tous,

Je viens de remarquer une bête erreur dans mon message précédent qui affecte beaucoup mes conclusions.

On a plutôt :



Sinon, pour une approximation de , on peut se demander quelle est la relation d'ordre entre et , où exprime la précision de l'approximation r.

Il faut s'assurer que . Ainsi, si , alors . Donc il faut . Ainsi peut-on estimer la racine de n'importe quel rationnel n supérieur à 1 dans un bon intervalle d'approximation (approximation initiale, mais on voit bien qu'il n'a pas besoin d'être énormément précis...).

Désolé d'avoir pris tant de place sur ce fil.

Universus

[invitea6e1823f]

Bonjour,
j'ai un devoir de spé maths et je me demandais si vous pourriez m'aider à le résoudre?Mon exercice a été évoqué lors de l'exercice 28
Citationans le même genre, on pourrait étudier les nombres de Mersenne (Prouver que les nombres de la forme 2^n-1 ne peuvent être premiers que si n est premier).
Si ce n'est pas le bon lieu pour ce genre de résolution je vous prie de m'en excuser d'avance(je n'ai pas trouver de règle interdisant de poster un problème dans cette rubrique).

Enoncé:
question préliminaire: x et y étant des réels quelconques et n un entier naturel non nul quelconque, vérifier l'égalité 1 : x^n-y^n= (x-y) (somme partant de k=0 arrivant à n-1)x^(n-1-k) y^k.

1. a et b étant des entiers naturels non nuls quelconques, montrer à l'aide de l'égalité 1 que 2^ab -1 est divisible par 2^n-1
2.Soit n un entier naturel.Démontrer que , si 2^n-1 est premier alors n est premier.
3.Réciproquement, si n est premier, 2^n-1 est t-il nécessairement premier?

Merci d'avance et j'avoue que l'idée de faire un résumé d'exos de spé est une très bonne idée.

[Thorin]

Autant mettre la réponse sous forme d'exo supplémentaire :

Exercice 38

Les nombres de Mersenne, une condition nécessaire pour la primalité.

Montrer que si un nombre de la forme est premier, alors, est premier.

Démonstration :

 Cliquez pour afficher

Rappelons tout d'abord un résultat fondamental :
soient x, y des réels, n un entier naturel.
Alors,
Ceci se démontre simplement en observant que est une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison et de premier terme . Il suffit d'appliquer la formule.

Venons-en maintenant à la démonstration proprement dite du résultat attendu.
Raisonnons par l'absurde, en supposant que n n'est pas premier. Ainsi, , avec a, b, des entiers naturels différents de n et de 1.
Ainsi, on a premier.
Or, .

Or, ce nombre est premier, et comme on vient de le mettre sous une forme factorisée de nombres entiers, on a forcément ou . Donc, les seules solutions sont a=1 ou b=1.
Or, on a supposé au départ que a et b étaient différents de 1.
On arrive donc à une contradiction, et on conclut que n doit être premier.

Petit contre-exemple de la réciproque :
si l'on prend n=6, alors, n n'est pas premier, et , or, 63 n'est pas un nombre premier.

[Thorin]

heu n=11 marche mieux

[Thorin]

Exercice 31

Divisibilité

Soient et des entiers premiers entre eux. Montrer que et sont aussi premiers entre eux.

Soit et . On veut montrer que .

Puisque alors , et d'où

Puisque alors et , d'où , c'est-à-dire ou encore . On montre d'une manière analogue que . On en déduit que , et puisque nous avons montré que , on en tire alors . Ainsi, et sont premiers entre eux.

Ceci est faux.
on ne peut pas conclure que d'|y juste parce que d'|y^2
Pour y remédier, on peut faire appel à bézout, ou encore, de manière plus générale, montrer que :
si a et b sont premiers entre eux, alors, pour tout c :

Et se servir du fait que :
avec a et b premiers entre eux...

[invite85d7799a]

Salut galaxie jai l 'impression qu'il y a une petite erreur dans l'exercice 25 (critere de divisibilité par 13) N' commence par a_nx10^n-1 et non a_nx10ⁿ

[inviteec581d0f]

Ah la relève ^^ que c'est beau que c'est mignon

[GalaxieA440]

Lool ouais la relève, j'espère qu'elle fera durer un peu ce fil et surtout qu'elle se fera plaisir avec de beaux exos de spe maths

Je n'ai pas vérifié l'exercice mais oui une erreur s'est peut être glissée dans ma correction, mes excuses

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[GalaxieA440]

Essaye l'exercice 12 de ce fil, du même genre, un cas peut être un peu plus général et assez sympa

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[invite2220c077]

Exercice 39 : Congruence

Soient et des entiers naturels. Déterminer le minimum du nombre

 Cliquez pour afficher

Clairement, le minimum est 7. On pose . Il est évident que . Ainsi n'est ni divisible par 2 ni divisible par 3. Ainsi A ne peut valoir 2, 3, 4 ou 6.
D'un autre côté, . Ainsi A n'est pas divisible par 5, donc A ne peut valoir 5. Par suite, soit soit . Afin d'exclure , il suffit de remarquer que , on aurait donc , impossible. D'où le minimum recherché, atteint lorsque

[invite2220c077]

J'ai oublié de préciser, mais ça coule de source : m et n des entiers naturels non nuls.

[beloboy]

coucou salut à tout le monde .....merci pour ton sujet mon pote

[Vishnu]

Bonjour à tous,

Mon bac approchant et ayant accumulé beaucoup de retard dans beaucoup de discpline, j'ai juste une question:
Pensez vous qu'un exercice approfondi (du genre plus de 3 point sur les 5 que donne les Spés) sur les paraboloides hyperboliques ait la moindre chance de tomber ?

[invitef1b93a42]

Peu d'exercices sont jusqu'à maintenant tombés en spécialité mathématiques au bac S, je te laisse interpréter comme il te semble bon.

[Seirios]

Bonjour,

Mon bac approchant et ayant accumulé beaucoup de retard dans beaucoup de discpline, j'ai juste une question:
Pensez vous qu'un exercice approfondi (du genre plus de 3 point sur les 5 que donne les Spés) sur les paraboloides hyperboliques ait la moindre chance de tomber ?

Uniquement sur les paraboloïdes hyperboliques, non, mais pourquoi pas sur les sections en générale (cela dit, ce serait ingrat par rapport à l'arithmétique et aux similitudes).

[mx6]

Le problème avec cette leçon, c'est que quand ça tombe elle fait mal ! Bac Inde 2004 par exemple ! Faut toujours être prudent ! Mets toi au travail ^^

[invite57daf81a]

Ce peut très bien tombé !
j'ai encore fais il y a 1 semaine, deux types bac qui commencent par de la géométrie et qui se terminent avec de l'arithémtique ( PGCD, PPCM, congruence, fermat ... ).

[invite1862204a]

EXERCICE 7

Notion à utiliser : un certain théorème qui simplifiera tout, sinon, divisibilité...

Montrer que la fraction est toujours irréductible...

 Cliquez pour afficher

Si on remarque que 3(14n+3)-2(21n+4)=1, alors d'après le théorème de Bézout, cela signifie que 14n+3 et 21n+4 sont premiers entre eux. Donc il est évident que la fraction est irréductible....

les numérateur et dénominateur sont premiers entre eux
en effet:
3(14n+3) -2(21n+4)=1
c'est BEZOUT!.............
la fraction est donc irréductible.
.............................. .............................. .............................. .............................
Marrakech

[invitef8661968]

Résolvez dans Z l'équation diophantienne :



(trouver sur internet avec la consigne et la personne précisait: "que c'est un exercice du chapitre sur les équations diophantiennes".
Donc Notion à utiliser : divisibilité, pgcd...

[Flyingsquirrel]

@AimericB : ce serait bien de donner la solution de l'exercice, comme indiqué dans le premier message (c'est moi qui souligne) :

Deuxième rubrique qui pourrait être importante, pour rassembler tous les exos, DM, DS concernant la spe maths en TS. Merci de poster les énoncés ainsi que les réponses et détaillants celles-ci un maximum. Pour ne pas surcharger le fil, éviter de poser trop de question quant à un exo, ou encore d'en donner à résoudre, créer d'autres fils pour ça .
Ce fil doit être plutot un rassemblement de plusieurs exercices résolus que chacun peut consulter et compléter, mais pas un fil de résolution d'éxercice...

Si tu ne sais pas résoudre l'exercice que tu donnes, tu peux créer un nouveau fil, mais pas le poster ici.

[invite2b14cd41]

Salut je prépare deux bacs spé maths cette année (bac français et bac libanais) et je me demandais si vous pouviez poster des exercices sur les coniques (inclus dans le programme du bac libanais).
SVP, c'est urgent, j'ai un examen la semaine prochaine et je ne trouve rien sur internet ...
(Des exercices liant coniques et arithmétique seraient la bienvenue également)
Merci d'avance, cordialement, pol.

[invite1862204a]

SALUT CETTE FOIS-CI VOILA UNE SERIE

pagesperso-orange.fr/gery.huvent/pdfbaggio/exosptsi/Coniques_eno.pdf