Spé Maths Terminale S

[GalaxieA440]

Bonjours

J'ouvre ce fil suite à une discussion sur un autre concernant la spe maths. Je posterai mes résumé et méthodes de spe, en espérant que certains d'entre vous en feront autant. Ca pourrait permettre à pas mal de monde de suivre un peu plus, et pourquoi pas de concurrencer un peu Zweig qui risque d'avoir le monopole des sujets de spe sur ce forum .
N'importe qu'elle technique est la bienvenu, car beaucoup d'exo d'arithmétiques sont à résoudre selon une certaine méthode. Donc merci d'envoyer tout ce que vous jugez utile, sans pour autant copier le cours (on a tous le même, et au pire, il y en a plein sur internet...)

Merci de l'aide
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[GalaxieA440]

DIVISIBILITE

RESOLUTION DES EXERCICES LES PLUS COURANTS

Pas eu le temps de taper sur ordi ni en tex. Je pense que c'est quand même lisible ^^

++

[-Zweig-]

Pour ceux et celles qui voudraient aller plus loin en Arithmétique, je ne peux que leur conseiller cet excellent cours avec plus de 150 exercices de haut-vol corrigés !

[Electrofred]

Bonsoir,

Très bonne idée ! Il y a tellement de types d'exos en spé maths qu'à mon avis ca servira a tout le monde.

Un petit quelque chose sur les congruences pour déterminer le reste de la division euclidienne d'un grand nombre par un autre nombre : http://www.imagup.info/images/06/119...gruences_1.jpg .
C'est assez classique mais comme personne ne l'a encore posté j'en profite .

Si j'ai d'autres idées je poste ca ici.

A+

[GalaxieA440]

Pour ce qui est du reste d'un grand nombre ; je procède pas exactement pareil.

ex : 3174^249, en travaillant modulo 11

on sait que 3174 congrue 6 modulo 11

on recherche donc des 6^n dans les premiers n qui congruent à 1 modulo 11

on arrive vite à 6^10 congrue 1 mod 11 (cet exemple est bourrin, d'habitude n est plsu petit ...)

donc comme 3174 congrue 6 mod 11
3174^249 congrue 6^249 mod 11

6^249 = (6^10)^20 + (6^10)^4 + 6^9
donc 6^249 congrue 6^9 donc congrue 2 mod 11

donc 3174^249 congrue 2 mod 11

il s'agit en fait au début de lister les congruences des premiers 6^n pour en trouver un qui congrue à 1, et exprimer ensuite le grand nombre que l'on étudie en fonction de celui la...

[A voir en vidéo sur Futura]

[-Zweig-]

DIVISIBILITE - CRITERES DE DIVISIBILITE :

Dans ce qui suit, on considèrera des nombres écrits en base a. Supposons que nous cherchions un critère de divisibilité par un nombre entier b, et que nous ayons trouvé un entier n tel que b divise .
Soit alors un entier N écrit en base a, et soient , les nombres obtenus en découpant l'écriture du nombre N en tranches de n chiffres à partir de la droite. Nous avons alors le théorème suivant :

Théorème des critères de divisibilité :

N est divisible par b si et seulement si est divisible par b.

[GalaxieA440]

CONGRUENCE

Déterminer une inconnue dans une congruence

Déterminer des restes avec des puissances

Montrer une divisibilité

Y'en aura d'autre sur la congruence je pense ^^
Zweig merci pour le lien vers le cours, j'en avais un qui est quand même moins complet, je le rajoute (ça peut aider pour les maths aussi) :

http://xmaths.free.fr/TS/cours/index.php

++

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[GalaxieA440]

DIVISION EUCLIDIENNE

C'est assez incomplet, si quelqu'un pouvait apporter des choses... Avec ça j'arrive pas à faire beaucoup d'exos...

[Gaara]

Discussion Importante faudrait qu'elle soit mise avec les autres discussions importantes (it has to be stickied )

Je contribuerai à ma façon


PS: On peut poster des programmes pour les calculatrices TI-89? je promets que c'est très très utiiiile en spé

hihi

[GalaxieA440]

ouais ouais envoyé aussi tous les programmes

Je posterai des sources de programmes pour CASIO, genre décomposition en facteurs premiers, division euclidienne, reconnaitre un nombre premier. Envoyez les sources au format texte, les programmes tout prêt faut les envoyer en format zip.

A suivre, mais c'est vrai que ce serait pas mal que ça passe en discussion importante, voir avec la modération.

++

[Gaara]

Bon le Premier Programme que j'ai fait pendant un devoir ^^ :

c'est sur les congruences

PROGRAM:DIVE
ClrHome
Disp "A=F (MOD B)"
Prompt A
Prompt B
iPart(A/B)->D
Disp D
(A-DB)->F
Disp "F=",F

Bien sûr j'ai ajouté quelques petits trucs

[Gaara]

Il y a aussi ceux là qui sont pas mal,


MATH Plus v2.04

http://www.ti83plus.online.fr/fichier.php?id=1271

Maths spe v1.0 :

http://www.ti83plus.online.fr/fichier.php?id=1473



A utiliser que si vous savez ce que vous faites sinon ...

Rien de mieux que d'apprendre :

http://odin.prohosting.com/mjs2k/tutorials/index.htm

Tuto en anglais ^^



PS: ce n'est pas moi qui les ai fait, les crédits reviennent à leurs auteurs respectifs

J'en poste d'autres plus tard

[mystik_57]

Bonne initiative

[GalaxieA440]

PROGRAMMES POUR CASIO

Division Euclidienne
Donne le quotient et le reste d'un nombre divisé par un autre

Facteurs premiers
Décompose en nombre en produits de facteurs premiers

Premier
Vérifie si un nombre est premier

Le division euclidienne c'est moi qu'il est écrit donc il est assez limité. Quand le nombre a (dividende), exprimé sans puissance fait plus de 9 chiffres, il fait n'importe quoi, donc il faut se limiter à des "petits nombres"

Les programmes sont en compressés, ils sont tout prêts, reste à les transférer sur la caltos...
Je détaille les sources plus tard pour ceux qui savent pas faire ^^

[Gaara]

xD Galaxie tu as oublié les liens

[GalaxieA440]

ouais c'est le pc qui viens de me faire 3 beug consécutifs la

Donc Programmes :

DIV = division euclidienne

FACT PRM = décomposition en facteurs premiers

PREM = reconnaitre si un nombre est premier

[GalaxieA440]

Division euclidienne, source

"A"
?->A
"B"
?->B
"Q"
Int(A/B)
"R"
A-(Int(A/B))xB

Si quelqu'un a mieu je prend

+ Sources des autres programmes, aussi pour les TI

[Gaara]

Je suis impatient pour les sources de TI ^^ et je vais essayer de réparer ma casio pour voir ce que çà donne

[Universmaster]

Bonne idée GalaxieA440,

Par contre pour ceux qui postent des programmes, ça serait bien que vous indiquiez à quoi ils servent merci ^^

[Gaara]

Désolé Universmaster,

PROGRAM:DIVE
ClrHome    // efface l'écran
Disp "A=F (MOD B)" // affiche A=F (MOD B)
Prompt A          // demande à l'utilisateur d'entrer une valeur A
Prompt B          // demande à l'utilisateur d'entrer une valeur B
iPart(A/B)->D        //prends la partie entière de A/B et l'enregistre dans D
Disp D                  // Affiche D
(A-DB)->F             // Fait l'opération A-DB et l'enregistre dans F
Disp "F=",F   // Affiche F= (valeur de F)

NB: F = reste...

Voilà j'espère que çà réponds a ton attente

[GalaxieA440]

Bonjour

Je serais intéressé par une méthode pour résoudre les problèmes de congruences avec des exposant négatifs :

Genre montrer que 3^(6n-4) - 2 est divisible par 7.

J'exprime (3^6)^n * 3^-4 - 2, le problème est pour trouver la congruence de 3^-4.

Merci de donner une méthode pour résoudre ce genre de problème

[Ledescat]

Bonsoir.

Il doit y avoir nécéssairement une condition sur n, à savoir 6n-4>=0. Car l'arithmétique dans Z a un sens, alors que dans Q elle n'en a pas.
La justification en 2 mots: tout le monde divise tout le monde dans IQ, et tout le monde est multiple de tout le monde dans Q (avec exceptions pour le 0), donc aucune étude intéressante à faire.
Bref, tout ça pour dire que les exposants négatifs n'ont en règle générale rien à faire dans l'arithmétique dans Z.
On veut en général se ramener à des exposants positifs, et à priori (c'est en tout le cas ici), on peut le faire.

Donc dans ce genre de cas, on peut par exemple jouer avec les notations. Déjà écrire 3^(6n-4)=9^(3n-2)=2^(3n-2) [7]
Mais un nombre qui s'écrit 3n-2 peut toujours s'écrire 3k+1 (tu n'es pas obligé d'expliciter le k, mais pour ne pas apparaître comme un résultat hasardeux, il suffit d'écrire 3n-2=3n-2+3-3=3(n-1)+1).

Ce qu'il y a ,c'est que tu peux te permettre de séparer les exposants lorsqu'ils sont positifs évidemment (d'après ma remarque précédente). Donc en général, on se ramène par un jeu d'écriture à des exposants positifs.

Maintenant, finir l'exercice avec 2^(3k+1)-2 est un jeu d'enfant .

Cordialement.

[GalaxieA440]

Salut !

3^(6n-4)=9^(3n-2)=2^(3n-2) [7]

Je vois bien comment passer à cette écriture, mais je ne vois pas comment un nombre qui s'écrit 3n-2 peut toujours s'écrire 3k+1. Je suis ton explication qui suit, mais est-ce qu'on pourra s'en sortir de la même façon dans d'autres cas ?

Faut il considérer séparément les n pairs et impairs ??

Merci d'éclaircir juste ce dernier petit point

++

[-Zweig-]

EXERCICE N°1 :

Soit un réel. Montrer que si et sont des rationnels, alors est aussi un rationnel.

 Cliquez pour afficher

D'après le théorème de Bézout, puisque 7 et 12 sont premiers entre eux, alors il existe des entiers et vérifiant



Puisque et sont des rationnels, alors leur produit l'est aussi. Ce qui conclut.

[GalaxieA440]

Aie aie aie, dur dure

Je crois que je vais me mettre à ton cours niveau olympiades. J'ai eu DS de spe aujourdd'hui je pense avoir pas mal réussis, alors j'suis motivée

[-Zweig-]

Bonne chance !

[Gaara]

Salut,


Euh désolé Zweig, mais c'est quoi cette question je ne comprends pas.. Montrer que la différence de deux nombres rationnels est rationelle ? Je crois que c'est évident non ? parce que la différence de deux nombres rationnels donne toujours un nombre rationnel, forcément.
Bref j'ai ptet rien compris mais explique Toi ^^

Merci

correct me if i'm wrong

[Gaara]

Ah !!! ######### je retire ce post qui sert à rien je viens de piger dsl

 Cliquez pour afficher

fallé 5 minutes pour relire

[mystik_57]

Pour GalaxieA440 : Est ce que tu pourais mettre ton 1er post à jour avec toutes les méthodes deja données ??
J'aimerais en donner une ou deux mais j'arrive pas a bien voir ce qui a deja été fait ...

PS: on pourait aussi creer un topic pour mettre des exercices qui nous on plus ou un peu plus dur que le normale ?! nn?

[GalaxieA440]

Alors à ce jour sur ce fil il y a des méthodes sur :

* La divisibilité
* la division euclidienne
* Les congruences

Dans ces trois cas il s'agit surtout de résolutions d'éxercice particuliers et courants...

Des programmes pour CASIO et TI permettant :

* de trouver à quoi congrue un nombre modulo un autre
* le reste dans une division euclidienne (même chose)
* de reconnaitre si un nombre est premier
* de décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

L'essentiel est la. Tu peux jeter un oeil rapide aux résumés pour voir plus précisément ce qu'ils contiennent.

Je pense que le partie sur la division euclidienne peut être compléter, parce qu'il y a en tout 10 lignes de cours à savoir, et un max d'exo difficiles à résoudre. Donc si tu as

Sinon il n'y a encore rien sur les nombres premiers, etc.... les critères de divisibilités....

Voila voila Merci de contribuer... Pour ce qui est de la partie exo, je vais en créer une prochainement, c'est vrai que ça peut servir pour les révisions...