Spé Maths Terminale S

[invite2220c077]

etc.... les critères de divisibilités....

Oué l'aute hé ! Mon théorème que j'ai donné sur la divisibilité généralise ces critères de divisibilité à un nombre écrit en base a . Avec mon théorème tu retrouves tous les critères de divisibilité connus.
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[Hamb]

Je veux pas fourrer mon grain de sel n'importe ou (bien que je sois parti pour le faire ), mais je pense pas que ca soit d'une extraordinaire utilité d'autant s'entrainer pour la spécialité maths, a mon avis il est plus utile en terminale de s'entrainer à calculer et raisonner vite que d'essayer d'apprendre par coeur tous les exercices et toutes les méthodes abordées en terminale.

[GalaxieA440]

Certes

c'est d'ailleurs pour ça que j'ai mis critère de divisibilité, parceque ce théorème que tu as donné généralise tous les critères de divisibilité
Mais c'est du cours, pas de la méthode ...
Désolé de t'avoir offensé

[invite05d0a348]

'faut que je me mette au Latex ^^

[GalaxieA440]

Hello

D'abord merci a martini_bird d'avoir passer ce fil en discussion importante

Ensuite, Zweig, aurais tu le liens vers la deuxième partie de ton cours d'arithmétique, parce que je l'ai cherché, mais pas moyen de le trouver....

Merci ++

[invite2220c077]

Normal, il n'existe pas ...

[GalaxieA440]

Pour ce qui est (encore!!) des exposants négatifs, dans une congruence :

ex :

La méthode de Ledescats postée plus haut marche à merveille dans ce cas :
on note :


avec dans ce cas, k=n-1, ce qui déja nécessite une condition dans l'énnoncée concernant n, genre n >=1.

Le problème c'est que cette méthode ne fonction que pour les :, avec a>b, (si j'ose noter ça comme ça parceque je n'ai rien démontrer, simple constatation...)

Quelqu'un aurait il des "trucs" pour résoudre des problèmes genre : congrue 0 modulo 7 (ou n'importe quoi...), avec cette fois a<b, et donc la méthode ci dessus ne supprime pas les exposants négatifs.

Je me doute bien que dans ce genre de question, l'énoncé est fait pour nous arranger, mais quand même, je suis intéressez par des techniques.

A noter aussi une propriété intéressante, qui peut se réveler utile dans certains, exos :

FACTORISATION DE POLYNOME


ou X est un polynôme de degré inférieur (n-1)

Peut sembler basique mais on ne pense pas souvent à l'utiliser, et ça peut être utile pour montrer des divisibilité, ce fil en est un bon exemple : http://forums.futura-sciences.com/thread176947.html

[invite2220c077]

Plus précisément :

FACTORISATION DE POLYNOME :

Pour tout (a;b) € Z² et tout (n;k) € N² on a :

[GalaxieA440]

Petite question au sujet du théorème de Bézout : (cité plus haut par Zweig)

La réciproque est-elle vrai ? Peut on montrer que a et b sont premiers entre eux car ils éxistent deux u + v tels que au+bv=1 ??

Je pose la question parceque je me suis rendu compte sur quelques exos que ce théorème gagnait vraiment à être connu...

Merci ++

[invite1237a629]

C'est uniquement dans le cas où au + bv = 1 qu'on peut dire que le pgcd est égal à 1.

Dans le cas où au + bv est égal à un nombre différent de 1, on ne pourra pas dire que ce nombre est le pgcd de a et b.

[GalaxieA440]

Ok donc la réciproque est vrai : puisque si au + bv =1 alors pgcd(a,b) = 1 donc a et b premier entre eux...

[invite1237a629]

La réciproque n'est vraie que si c'est égal à 1.

Le théorème de Bezout permet également d'écrire :

Il existe u, v appartenant à Z, tels que au + bv = d, si (et pas si et seulement si) d est le pgcd de a, b

Et dans ce cas, la réciproque est fausse.

[GalaxieA440]

Ah d'accord, je ne connaissais pas cette forme du théorème... Donc on est d'accord...

Merci en tout cas...

[invitea250c65c]

Bonjour,

D'ailleurs c'est cette forme du théorème qu'on utilise pour démontrer le théorme dans un sens; si a et b sont premiers entre eux alors PGCD(a;b)=1 alors d'apres l'identité de Bezout il existe u et v tels que au+bv=PGCD(a;b)=1.
On parle d'identité de Bezout dans le cas ou PGCD(a;b) 1 et alors "ca ne marche que dans un seul sens" et le théorème de Bezout lui ne convient que pour des cas ou PGCD(a;b)=1 mais est plus interessant car il "marche dans les deux sens" et en pratique c'est beaucoup plus interessant (par exemple pour montrer que n et n+1 sont premiers entre eux tu remarques simplement que 1(n+1)-1(n)=1 (u=1;v=-1)).



Voici une autre méthode, mais il faut connaitre Bezout et Gauss.

EQUATIONS DIOPHANTIENNES DE LA FORME ax+by=c.
Il y a un exemple et le cas général (le cas général est beaucoup moins parlant que l'exemple, le seul interet est de faire la distinction : a et b premiers entre eux ou non). J'espère que c'est lisible, il va surement falloir un peu zoomer.


Pour les programmes, je pensais à un programme qui permette de déterminer des coefficients de Bezout, mais c'est pas évident à faire parce qu'il faut connaitre le nombre d'itérations dans l'algorithme d'Euclide donc si vous avez une idée ... .



Edit : Pour GalaxieA440, désolé mais je n'arrive pas a t'envoyer de MP : je me souviens que sur le forum de physique tu cherchais l'angle qu'il fallait faire avec l'horizontale de facon à ce que la portée d'un projectille soit maximale (calculs balistiques). J'ai déterminé une formule (et je retrouve bien 45° si la hauteur initiale est de 0) qui donne cet angle, désolé ca fait longtemps mais je viens de tomber sur ma feuille et il me semble que je ne te l'avais pas envoyée. Si tu veux je peux te l'envoyer.
Si un modérateur pouvait supprimer ca quand GalaxieA440 aura répondu, merci d'avance.

[GalaxieA440]

ENSEMBLES DE DIVISEURS

Soit d(n) le nombre de diviseurs positifs de n, comment calculer ce nombre ?

Si la décomposition de n en produit de facteurs premiers est :



alors

Exemple : Combien y a t il de diviseurs positifs de 50 ? on peut noter 50=2*5², il y a donc (1+1)(2+1) = 6 diviseurs positifs (qui sont 1,2,5,10,25,50).


==> Utilie pour vérifier si on a rien oublié...

Il est aussi possible de déterminer tous ces diviseurs :

Si la décomposition de n en produit de facteurs premiers est :



alors les diviseurs positifs de n sont de la forme



avec

Cette seconde méthode semble longue, mais quand on l'a bien comprise, alors elle est bien plus rapide que de bidouiller avec la calculatrice.... et on au moins on n'oublie rien....

[invite7059d252]

salut a tous! je vois qu'il y a des "têtes" ici et j'espère que l'une d'entre elle pourra m'éclairer..
voilà j'ai un exos à faire en spé et j'ai beau essayer les méthodes du cours (avec les modulos) je n'y arrive pas.
donc quitte a passer pour une nouille si quelqu'un pouvait m'aider:

sachant que n désigne un entier naturel démontrer que n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 congrus 0 modulo 10 si et seulement si (n+1)^2 congrus 6 modulo 10.
j'ai exprimé la premiere expression en fonction de la deuxieme ce qui m'a donné 3(n+1)^2 -1 et j'ai essayé de travailler avec les congruences mais j'arrive à un 7 modulo 10 alors je ne comprends rien...

merci d'avance

[invite7059d252]

au fait j'ai oublier de vous dire que ce fil etait une idee génial et que tous vos conseils vont me servir..
bon allez vive les maths!

[GalaxieA440]

Hello Mahtmoizelle

Le problème c'est que comme précisé dans le post 1, ce fil n'est destiné qu'à rassembler des méthodes et astuces permettant de mieux gérer la spe maths, et pas de résoudre des éxercices. Post dans un nouveau sujet sur le dil de maths et tu trouvera toute l'aide que tu veux, mais on va essayer de ne pas surcharger ce fil, pour qu'il ne rassemble que des méthodes que l'on puisse consulter facilement...

Merci et bonne chance (je me pencherai sur l'exo si j'ai le temps avant la rentrée...)...

++

[invite91c0034e]

peux-tu expliquer comment résoudre un système de deux inconnus, avec des congru modulo s'il te plait. J'en ai un pour demain, et ta rubrique est super interressante pour les maths spé, mais je ne sais pas comment faire.. Merci d'avance ^^

[invite05d0a348]

Bonjour,

Je cherche un programme de décompostion d'un nombre en facteur de nombres premiers et sur l'algorithme d'Euclide ...

Si quelqu'un en a un je suis prenneur

[GalaxieA440]

Hello

Pour ce qui est du programme de décomposition en facteurs premiers, j'ai déja posté les sources casio et texas dans un message page 1 ou 2 , sur une feuille pdf...

Voila voila

[GalaxieA440]

Résoudre des sytèmes de congruences

Je reprend l'exemple de Jdou : Résoudre :



Il faut comme dans un système normal réussir à exprimerx ou y congrue quelques chose modulo 6

Ici, on doit utiliser la propriété :



On aura ainsi : en sommant les deux membres...

On résoud ensuite par un classic talbeau de congruence :
x congrue a 0,1,2,3,4,5 [6]
et donc 4x congrue 0,4,2,0,4,2 [6]

ce qui implique que si et seulement si ou

et il s'agit maintenant d'insérer ces deux possibilités dans le système et de résoudre la seconde :

a)



b)



Sauf erreur de ma part...

Enfin la méthode est la, c'est presque pareil que de résoudre un système d'équation normale. Il fait juste essayer les différentes possibilités... A noter que la méthode se complique un peut quand les deux termes du système congrue a des choses à différents modulo...

[invite05d0a348]

Hello

Pour ce qui est du programme de décomposition en facteurs premiers, j'ai déja posté les sources casio et texas dans un message page 1 ou 2 , sur une feuille pdf...

Voila voila

Désolé j'ai pas précisé c'est pour un TI 83+

[GalaxieA440]

Résoudre les congruences du type

Dans ce types d'équation, seul n est inconnue...

Je propose une méthode qui fonctionne très bien pour un petit modulo, elle sera en revanche problématique pour un grand modulo, si quelqu'un à des méthodes qu'il peut résumer, ça m'intéresse.

Il s'agit de faire donc pour un petit modulo de calculer les premières puissances de n pour mettre en évidence une périodicité, ce qui aidera forcément à conclure...

Ex :






... on a bien une périodicité...

et donc :

Il est évident que la même question modulo 2000 ne pourra pas être traitée de cette façon...

[invite1237a629]

Ca y est, je crois que j'ai trouvé.

Si b aussi est premier avec c, alors tu peux le passer de l'autre côté :



Pourquoi b doit être premier avec c ? Parce que cela signifierait que b peut être inversible dans ... l'anneau Z/cZ (un peu compliquée comme notion...)

Donc en gros, on cherchera b' tel que .

Donc

Et là, cas particulier si b' = a...mais il faut que j'aie d'autres chiffres pour le faire :s

[invite2220c077]

Théorème d'Euler (généralisation du petit théorème de Fermat)

Si et sont premiers entre eux, alors , où est la fontion d'Euler dénombrant le nombres d'entiers inférieurs ou égal à et premiers avec lui.

Propriétés :

- Si est un nombre premier, alors

- Si , où est un nombre premier, alors

- La fonction d'Euler est multiplicative, i.e, pour tout couple d'entiers naturels et premiers entre eux, on a :

- Soit un entier naturel et sa décomposition en produits de facteurs premiers. On a alors :

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Exercice d'application ici

[invite1237a629]

Bon, mon dernier post est à oublier, ça n'a aucun sens...

[GalaxieA440]

Ouais donc c'est quand même assez tendu, et hors programme TS... Je pense qu'on ne risque pas tro pde tomber la dessus au bac... enfin j'espère

[invite1237a629]

Ah mais tout ça, c'est du hors programme total hein ^^

J'ai juste une pensée pour Zweig qui nous prépare ces olympiades

[inviteec581d0f]

Juste un coucou pour dire bravo ( ^^ )