Spé Maths Terminale S

[invite7bf72704]

bonjour ,
je vient parce que j'ai comme un énorme souci (je demande pas forcement de resoudre l'exercice mais de donner une piste )
j'ai f(x) = -2lnx+4x²-6x+1 sur ]0:3]
je determine le ta
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[invite7bf72704]

dsl j'ai fait une faute de frappe ...je reposte

bonjour ,
je viens parce que j'ai comme un énorme souci (je demande pas forcément de resoudre l'exercice mais de donner une piste )
j'ai f(x) = -2lnx+4x²-6x+1 sur ]0:3]
je détermine le tableau de variation bon ca descent ca remonte , rien de magique .
Mais ils me demandent de montrer que l'équation f(x)=0 a deux solution , et ensuite de donner des valeurs approché des deux valeurs .
2 solutions s'offrent a moi
-je dis que c'est positif puis négatif puis positif sur ]0:3] donc = à 0 deux fois et je fait une approximation graphique (thx calculatrice graphique)
ou alors
-y'a un calcul magique a faire (auquel cas je comprend pas pasque le "ln" m'enpeche d'utilisé les formule d'équation 2 degrés)

[invitefd754499]

dsl j'ai fait une faute de frappe ...je reposte

bonjour ,
je viens parce que j'ai comme un énorme souci (je demande pas forcément de resoudre l'exercice mais de donner une piste )
j'ai f(x) = -2lnx+4x²-6x+1 sur ]0:3]
je détermine le tableau de variation bon ca descent ca remonte , rien de magique .
Mais ils me demandent de montrer que l'équation f(x)=0 a deux solution , et ensuite de donner des valeurs approché des deux valeurs .
2 solutions s'offrent a moi
-je dis que c'est positif puis négatif puis positif sur ]0:3] donc = à 0 deux fois et je fait une approximation graphique (thx calculatrice graphique)
ou alors
-y'a un calcul magique a faire (auquel cas je comprend pas pasque le "ln" m'enpeche d'utilisé les formule d'équation 2 degrés)

Bonjour,
La première proposition me semble parfaitement acceptable.

Cdlt,

[invite06287e0f]

Bonjour, j'ai un problème avec les équations diophantiennes en général, je vais vous les illustrer par deux exemples :

Exemple 1 :

3x - 4y = 2
Une solution particulière : x0 = 2, y0 = 1. Je vous passe les péripéties, on en arrive donc à 3 ( X - 2 ) = 4 ( Y - 1 ) et donc 3 | Y - 1 donc y = 3k + 1; 4 | X - 2 donc X = 4k + 2.
Mais si j'avais pris la solution particulière X0 = - 2 et Y0 = -2, ( -6 + 8 = 2 ), mon ensemble solution aurait été X = 4k - 2 et Y = 3K - 2... et je ne vois pas où est mon erreur, ailleurs qu'à la toute fin bien sur...

Exemple 2 :

AX + BY = C Je trouve deux solutions X0 ey Y0
AX + BY = AX0 + BY0 = C
Manuel : AX - AX0 = BY - BY0
A ( X - X0 ) = B ( Y - Y0 ) A^B = 1 donc Gauss
AK + X0 = X
BK + Y0 = Y

Et pourquoi pas : AX0 - AX = BY - BY0
A ( X0 - X ) = B ( Y - Y0 )
-AK + X0 = X
BK + Y0 = Y
Et là encore, l'ensemble solution n'est pas le même, et je ne comprends pas où est l'erreur...

Merci d'avance

[invite90942d5b]

Tiens ça faisait longtemps que je m'étais pas plongé là dedans, merci pour la ptite révision.

Exemple 1 :

3x - 4y = 2
Une solution particulière : x0 = 2, y0 = 1. Je vous passe les péripéties, on en arrive donc à 3 ( X - 2 ) = 4 ( Y - 1 ) et donc 3 | Y - 1 donc y = 3k + 1; 4 | X - 2 donc X = 4k + 2.
Mais si j'avais pris la solution particulière X0 = - 2 et Y0 = -2, ( -6 + 8 = 2 ), mon ensemble solution aurait été X = 4k - 2 et Y = 3K - 2... et je ne vois pas où est mon erreur, ailleurs qu'à la toute fin bien sur...

Ton erreur, c'est juste de ne pas remarquer que ces deux ensembles n'en définissent qu'un unique .
Pense que X= 4k-2 est valable pour tout k entier, donc avec k'=k-1, tu retrouves X= 4k'+2. Les écritures sont multiples mais l'ensemble solution unique.


Quelque chose me paraît étrange dans ton deuxième exemple en revanche. Dans l'écriture aX+bY=c, il me semble que pour conserver l'égalité vraie X doit se balader par saut de b tandis que Y doit varier par saut de a. Un truc du genre X=bk+cte et Y=ak+cte' me paraît plus cohérent, non?

[invite06287e0f]

Oui désolé, l'ensemble solution devient donc X = X0 - BK et Y = AK - Y0
Mis dans l'exemple 1, j'en arrive donc à x = 2 - 4k et y = 3k - 1...

Pour l'exemple 1 en lui même, je pense que j'ai compris.
J'ai aussi une troisième question : comment justifier que le k dans x et le k dans y sont les mêmes ?

[invite90942d5b]

Mis dans l'exemple 1, j'en arrive donc à x = 2 - 4k et y = 3k - 1...

J'ai aussi une troisième question : comment justifier que le k dans x et le k dans y sont les mêmes ?

Pour 3x - 4y = 2,
tu ne peux pas avoir deux signes opposés en coefficient de k dans tes solutions et tu peux le vérifier assez rapidement:
Le résultat doit être vrai pour tout k=n donc si tu accrois k d'une unité, avec ta solution en citation tu modifie la valeur du résultat final de 3*(-4) (variation du terme en x) et tu y rajoutes une variation de (-4)*3 (variation du terme en y)...

Soit 24 unités de différence entre chaque solution de ton équation!!!!! Donc attention aux erreurs de signe.

Pour ta troisième question ça découle de la démarche:
à un moment donné t'as (pour faire simple) l'équation ⁽¹⁾
aX=bY
avec a^b=1 donc a divise Y. Soit donc Y=k.a
Tu pourrais rajouter l'hypothèse b divise X mais il ne faut surtout pas, car elle ne fait qu'ajouter une inconnue k' inutile et peut te mener à des confusions, car ici k' ne serait pas forcément égal à k justement.

La méthode que tu utilises pour déterminer X ne fait pas introduire d'autres inconnues, on remplace Y par sa valeur dans l'équation ⁽¹⁾
donc X.a=b.k.a
c'est le même k que précédemment; X=k.b, tu n'as plus qu'à tenir compte des solutions particulières.

NB: à propos de solutions particulières tu as fais une erreur dans l'exemple 2 qui pourrait avoir des répercussions assez catastrophiques par contre, méfies toi encore une fois:

AX + BY = AX0 + BY0
[donc] AX - AX0 = BY - BY0

Je t'engage à vérifier, et s'il s'agit effectivement de ce qu'il y a écrit sur ton manuel... pends le

[invite06287e0f]

Tout est de ma faute pour ce problème de factorisation, le livre écrit bien -b ( y - y0 ).
J'ai essayé ce que tu disais avec k', ça y est, j'ai enfin compris^^
Merci beaucoup

[invite90942d5b]

Tout est de ma faute pour ce problème de factorisation, le livre écrit bien -b ( y - y0 ).
J'ai essayé ce que tu disais avec k', ça y est, j'ai enfin compris^^
Merci beaucoup

Ah okay, tu avais écris, "B(Y-Y0)" au lieu de "-B(Y-Y0)" plus haut.
De rien avec plaisir, ça m'a remémoré le bon vieux temps des problèmes que j'arrivais à résoudre .

[invitea27206f8]

Jeter un coup d’œil sur un logiciel important qui s’intéresse aux :
*Nombres premiers inférieurs à un entier donné jusqu'à 1000000000.
*Détermine si un entier donné est premier ou non.
*Division Euclidienne et Algorithme d'Euclide.
*Décomposition d'un entier en facteurs premiers

Voici le lien http://www.sigmaths.co.cc/arithmetique.php

[invite705d0470]

Petit défi (Olympiades Canadiennes 1989)

Outil conseillé: Un brin d'intuition et un peu de réflexion

On définit la suite par son premier terme , et pour , la donnée comme la somme des chiffres de .

Quelles est la valeur de ?

 Cliquez pour afficher

Meilleure méthode (la mienne)

Tout d'abord, observons que 1989 est un multiple de 9: en effet, 1989=9x13x17. De même,
On peut alors utiliser le critère de dividibilité par 9: "Un nombre est divisible par 9 si est seulement si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9", soit, si ce nombe s'écrit en base 10 ,



On sait donc que est un multiple de 9, et que la somme de ses chiffres est aussi un multiple de 9. Or, par énoncé, cette somme correspond au terme suivant de la suite, c'est à dire à !



La suite étant définie de façon récurrente (en même temps ...), on a, .

Conjecture: On sait que est un multiple de 9. De plus, par construction la suite est décroissante, on peut donc conjecturer (inutile d'en faire plus) que , et même, puisque que la vitesse de convergence de cette suite semble rapide, que .

Qu'en est il en réalité ?

Intéressons nous au nombre de chiffre de .
P'tite astuce: en majorant par des puissances de 10, on connait une majoration du nombre de chiffres qui composent le nombre majoré: si , alors le nombre de chiffres de est inférieur ou égal à

2000=2x1000 donc
est trop grand pour être calculé par une calculette, mais .
Or donc
On a alors:


Ainsi, on a pu obtenir la majoration :
Comme je l'a dit plus haut, cette majoration a pour but de majorer le nombre de chiffres de , que l'on note , et non pas !
Ainsi on sait que

On a alors car, au maximum, est composé uniquement de 9.
Donc , ce qui signifie qu'au maximum, il est égal à 59472.
Attention: Celà ne signifie pas que ! En effet, si l'on suppose , alors on aurait

Qu'en conclure pour ? Qu'il est inférieur ou égal à 45 (5x9). Puisqu'il est divisible par 9, il peut donc prendre les valeurs 45, 36, 27, 18, ou 9.
Ainsi, quel que soit , on a !

Alors, on en conclut que

Cette démonstration, basée sur les majorations successives, n'est efficace que parce que la suite décroit TRES rapidement !

Si quelqu'un à une autre démonstration, je serai curieux de la voir !

Pour ceux qui cherchent avant de regarder, bonne chance

[invite06287e0f]

Bonjour,
J'ai une question concernant les similitudes : une propriété du cours dis qu'elles conservent le contact. Qu'est-ce que le contact ? Les recherches que j'ai fais sur internet m'ont mené à des sites de rencontres...
Merci d'avance

[invitea27206f8]

Bonjour

Une similitude conserve le contact: c-à-d
Si f est une similitude et D une droite tangente à un cercle (c) en un point A (A c'est le point de contact entre le cercle et la droite) et si A'=f(A), (c')=f((c)) et D'=f(D) alors D' est tangente à (c') en A' (A' est le point de contact entre D' et (c').

Pour approfondir votre étude sur les similitudes vous pouvez suivre le lien suivant http://www.sigmaths.co.cc/series/Sim...imilitude0.php
Il y'a 20 exercices corrigés sur les similitudes

[invite06287e0f]

Merci beaucoup !

[invite06287e0f]

Bonjour,
Désolé de poser des questions mais je n'ai pas trouvé de corrigé à cette question : comment démontrer que la surface décrite par une fonction à deux variable a l'origine du repère comme centre de symétrie ? Le principe valable dans la plan avec une courbe vaut-il dans l'espace avec une surface ?
Est-il déterminant que f ( -x ; -y ) = - f ( x ; y ) ?

[Seirios]

La surface est constituée des points (x,y,f(x,y)) ; or le symétrique de ce point par rapport à l'origine est (-x,-y,-f(x,y)). Comme ce point doit appartenir à la surface, si elle admet l'origine pour centre de symétrie, donc on doit avoir f(-x,-y)=-f(x,y).

[invite3cc91bf8]

Petit défi (Olympiades Canadiennes 1989)

Outil conseillé: Un brin d'intuition et un peu de réflexion

On définit la suite par son premier terme , et pour , la donnée comme la somme des chiffres de .

Quelles est la valeur de ?

Regarde aussi cette discussion, et remarque la longueur de la démonstration : http://forums.futura-sciences.com/ma...lympiades.html. Par contre, est-ce que Snowey s'en satisfera ?

[invite705d0470]

Ahah
Je suis content de voir que cette méthode de résolution est correcte (et rédigée plus succinctement, mais c'est uniquement parce que j'ai voulu expliciter les calculs et les choix que j'ai faits ^^)
Merci, RuBisCo

[invite3cc91bf8]

Très belle discussion, mais il faudrait faire un peu le ménage .
J'essayerais bien de mettre la correction de l'exercice de SPE du bac de cette année, il y a plus qu'à.

[invite3cc91bf8]

Voilà la première partie : je ferais pas la démonstration du théorème de Gauss que tout le monde connait (enfin j'espère), intéressons nous à la deuxième question :

2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux.
Déduire du théorème de Gauss que, si a est un entier relatif, tel que a ≡ 0 [p] et a ≡ 0 [q], alors a ≡ 0 [p q].

 Cliquez pour afficher

On a d'après le théorème de Gauss :

[invitefd754499]

Salut,

Sans Gauss, la démo suivante est-elle correcte ?

 Cliquez pour afficher

p|a et q|a

Puisque p et q sont premiers entre eux, ils apparaissent nécessairement tous deux dans la décomposition en facteurs premiers de a.
Donc pq|a.

Cdlt,

[invite3cc91bf8]

Le mot "nécessaire" est assez mal vu : cela sous entend qu'on a pas que ça à faire et on veut faire passer quelque chose comme trivial alors qu'une démonstration s'impose.
Dans l'absolu, c'est vrai, mais il faudrait faire cela rigoureusement. D'où Gauss (en plus, la consigne demandait Gauss, donc tu n'aurais pas eu tous les points)

[invite3cc91bf8]

Voilà la seconde partie :

On se propose de déterminer l’ensemble des entiers relatifs vérifiant le système :

1. Recherche d’un élément de
On désigne par un couple d’entiers relatifs tel que .
a. Justifier l’existence d’un tel couple .
b. On pose .
Démontrer que appartient à .
c. Donner un exemple d’entier appartenant à .

2. Caractérisation des éléments de
a. Soit un entier relatif appartenant à .
Démontrer que .
b. En déduire qu’un entier relatif appartient à si et seulement si il peut s’écrire sous la forme où est un entier relatif.

3. Application
Zoé sait qu’elle a entre 300 et 400 jetons.
Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.
Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.
Combien a-t-elle de jetons ?

 Cliquez pour afficher

1-a) On remarque que , on reconnait alors le théorème de Bezout. Ce théorème nous dit qu'il existe au moins un couple vérifiant cette équation.
Sinon, on peut même faire remarquer que (-2;7) est solution de l'équation, donc il existe des solutions à celle-ci.

1-b) Soit un couple vérifiant . On a

1-c) On a vu que un couple possible était (-2;7). Il suffit de remplacer et dans l'expression de . Ainsi, un exemple de est 213.

2-a) est solution de , cela veut dire que :

En utilisant l'énoncé et le théorème prouvé en première partie, on a :

2-b) En partant du fait qu'une valeur de est 213, on a :

3) On constate que la solution du problème appartient à S, donc on peut écrire :

donc Zoé a jetons.
On peut vérifier :

[Seirios]

Fais attention, à la question 1.b) il y a une équivalence incorrecte ; tu ne montres en fait que l'implication (tu n'as d'ailleurs besoin que de l'implication).

Tu as également oublié la réciproque à la 2.b), même si elle est évidente.

[invite3cc91bf8]

Excuse-moi, l'inconvénient du Latex, c'est que si on fait trop vite, on voit pas la différence entre le \Leftrightarrow et le \Rightarrow dans cet océan de lettres.
Je suis sur qu'il y a encore des coquilles, faudrait que je reprenne plus lentement.

[invite3cc91bf8]

Exercice : PPCM et congruence

Quel est le plus petit entier naturel tel que :

notions utiles : congruence et PPCM
on rappelle que

 Cliquez pour afficher

On peut reformuler le problème ainsi : trouver le plus petit entier naturel tel que avec

donc n+1 est le plus petit multiple commun aux entiers compris entre 2 et 10.

[invite029139fa]

Voilà la première partie : je ferais pas la démonstration du théorème de Gauss que tout le monde connait (enfin j'espère), intéressons nous à la deuxième question :

 Cliquez pour afficher

On a d'après le théorème de Gauss :

Sinon, avec Bezout,
Il existe u et v tq : pu+qv=1
Or, il existe k et k' tq a=kp et a=k'q
Donc en multipliant la première égalité par a :
a=(uk'+vk)pq donc pq divise a.
Ca me semble plus clair pour un correcteur.

[invite029139fa]

Salut,

Sans Gauss, la démo suivante est-elle correcte ?

 Cliquez pour afficher

p|a et q|a

Puisque p et q sont premiers entre eux, ils apparaissent nécessairement tous deux dans la décomposition en facteurs premiers de a.
Donc pq|a.

Cdlt,

Attention, "premiers entre eux" ne veut pas dire "premiers" tout court.
Donc votre affirmation est fausse.
Prenez garde aux "nécessairement", "évidemment" et autres mots que le correcteur peut ne pas apprécier comme l'a bien dit RuBisCo, surtout si cela s'avère faux.

cordialement.

[invite3cc91bf8]

Sinon, avec Bezout,
Il existe u et v tq : pu+qv=1
Or, il existe k et k' tq a=kp et a=k'q
Donc en multipliant la première égalité par a :
a=(uk'+vk)pq donc pq divise a.
Ca me semble plus clair pour un correcteur.

En effet, c'est plus court, mais l'énoncé précise "avec Gauss", donc j'ai suivit bêtement la consigne.
De toute façon, vu que Gauss provient de Bézout, j'imagine que la démonstration doit être possible, voir plus courte comme tu nous l'a montré.

[invite133d9a47]

Bonjour à tous, je recherche des exercices pour m'entraîner sur les matrices,
Par avance, je vous remercie