Bonjours je ne vois pas l'astuce qui faut utiliser pour determiner le reste d'une division euclidienne de 2012^2012 par 11
ou bien 39^60 par 7
je fait la division euclidienne du nombre sans la puissance apres je sais pas si jai le droit de dire directement que par exemple 2012 = 11 * 182 + 10 donc 2012 est congrue a 10 modulo 11 donc 2012^2012 congru a 10^2012 modulo 11
quelqu'un pourrait répondre svp
Bonjour rudy,
En effet le reste de la division est le reste de la puissance du reste.
Dans ce cas avec un reste égal à 10, il est pratique de mettre 2012 sous la forme (183*11 -1)
Ainsi il est évident qu'une puissance de ce nombre aura un reste égal à 1 ou 10 suivant que la puissance est paire ou impaire.
Bon chance pour la suite.
Comprendre c'est être capable de faire.
En plus de la congruence, il est possible d'utiliser le raisonnement salim en s'aidant du binôme de Newton pour trouver le reste. Si le nombre à diviser est sous la forme d'une puissance, on peut retrouver une forme dans le nombre à la puissance du type "(nombre par lequel on divise*a+b)^X", avec ça on peut développer grâce au binôme de Newton, et justement c'est là qu'il est intéressant car on sait que l'on retrouvera des multiples du nombre par lequel on diviser sur cette somme (donc reste 0), sauf le dernier qui est donc "b^X". Or, en répétant ce processus jusqu'à ne plus avoir de puissance, on retrouvera alors le reste, les autres parties de la somme étant des multiples du nombre par lequel on divise.
Et si le nombre que l'on divise, n'a pas, en dessous de la puissance, comment être converti sous la forme susnommée "(nombre par lequel on divise*a+b)^X" ; alors il est possible de simplifier la puissance jusqu'à réussir à arriver à cette forme.
J'espère que ce raisonnement salim pourrait t'être utile même s'il est plus long que la récurrence.
en général une bonne stratégie est de se ramener à une congruence à 1 (ou un petit nombre) en essayant des petites puissances. Mais 1 est idéal car 1^n=1 dans tous les cas.
2012 = 10[11] comme tu l'as fait remarquer.
Donc 2012^2 = 10^2[11] = 100[11]. Or 100 = 9x11+1 donc
2012^2=1[11]
Je te laisse conclure pour passer à 2012^2012
Dernière modification par duduch74 ; 28/12/2023 à 14h35.
Une autre méthode est de remarquer que 2012 = -1 [11]. Ce qui donne immédiatement le résultat.
Cordialement.
