Volume d'une perle

[invite407c3348]

Soit une sphère de rayon inconnu.
On perce cette spère à l'aide d'un foret.
On obtient donc une perle.
Connaissant sa largeur d au niveau du trou, est-il possible de calculer son volume ?

un schéma très moche pour illustrer celà :
ici

J'ai une solution mais elle part du postulat qu'une solution unique au problème existe.
Je me demande s'il est possible de trouver une méthode plus rigoureuse...

[invite407c3348]

Ma solution :
Postulat : les données sont suffisantes pour résoudre ce problème.
Donc, les longueurs indépendantes de ces données peuvent avoir n'importe quelles valeurs.
En particulier, le rayon du cylindre central peut varier de 0 à l'infini sans influer le résultat final.
Prennons 0 comme rayon de ce cylindre.
On aboutit à une sphère classique de diamètre d.
d'où son volume : (4 *pi /3 ) * (d/2)^3

[invite859b7555]

ben deja pour pouvoir le resoudre en toute rigueur, il faudrait etre sur que c'est bien un diametre qui est l'axe du cylindre.
Si on admets ca je pense que ca doit etre deja plus facile (mai je croit pas que je sache faire, il faudrai que j'essaie)

[invite407c3348]

Oui, j'ai oublié de préciser qu'on percait la sphère bien au centre.
C'est vrai qu'on est jamais trop rigoureux...

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

C'est clair que si on connaît pas le rayon de la sphère trouée.

C'est pas vraiment un cylindre, le vide.

Shokin

[zoup1]

Ma solution :
Postulat : les données sont suffisantes pour résoudre ce problème.
Donc, les longueurs indépendantes de ces données peuvent avoir n'importe quelles valeurs.
En particulier, le rayon du cylindre central peut varier de 0 à l'infini sans influer le résultat final.
Prennons 0 comme rayon de ce cylindre.
On aboutit à une sphère classique de diamètre d.
d'où son volume : (4 *pi /3 ) * (d/2)^3

Il me semble que tu réponds toi même à la question. les données ne sont pas suffisantes pour répondre à la question. En particulier d dépend clairement du rayon du cylindre. Par exemple pour une sphère de rayon R, et un cylindre de rayon nul, d=2R. Alors que pour la même sphère de rayon R, et un cylindre de rayon R, d=0.
Donc le résultat annoncé n'est pas correct et les données ne sont pas suffisantes.

[invite407c3348]

Il me semble que tu réponds toi même à la question. les données ne sont pas suffisantes pour répondre à la question. En particulier d dépend clairement du rayon du cylindre. Par exemple pour une sphère de rayon R, et un cylindre de rayon nul, d=2R. Alors que pour la même sphère de rayon R, et un cylindre de rayon R, d=0.
Donc le résultat annoncé n'est pas correct et les données ne sont pas suffisantes.

Bien sur, mais la question est de trouver le volume connaissant d.
Pour un d donné, on poura avoir une infinité de rayon R.
La question est finalement de savoir si quand on fait varier R en gardant d constant, le volume final de la perle varie ou non.

Si oui : le problème n'est pas soluble par manque de données
Si non : on trouve le volume comme indiqué plus haut

[invite407c3348]

Le R dont je parle ci dessus est le rayon du cylindre.

[zoup1]

D'accord, j'ai bien compris. Alors il te reste à faire le calcul complet.
Tu peux déterminer facilement le volume V de la perle en calculant le volume de la sphère, et en otant le volume du cylindre et le volume de la calotte sphérique qui est au dessus. Pour la calotte sphérique, tu trouveras cela ici: http://fr.wikipedia.org/wiki/Volume_de_solides_usuels
Je l'ai pas fait, mais en tout cas cela marche pour les petits diamètres (en faisant un DL à l'ordre 1 en R/d). Le calcul exacte te donneras la solution...
Tiens nous au courant.

[invite6acfe16b]

Salut,

J'ai fait les calculs. J'ai trouvé le résultat que le volume ne dépend que de d vraiment très surprenant.

Soit r le rayon de la sphère, x la différence entre r et le rayon du cylindre et d la hauteur du cylindre (l'endroit le plus élevé de la sphère).
On a .

Ensuite, le volume de la perle est

ce qui donne après calcul :



Puisque , on a


C'est cool, non ?

[invite6acfe16b]

Désolé, j'avais oublié d'expliquer d'où venait l'intégrale. Le volume de la sphère, c'est l'intégrale de toutes les couronnes à hauteur z pour z allant de -d à d. Cela s'écrit


le reste de mes calculs sont, sauf erreur, corrects.

[invite43f8e83d]

Faux..........

[zoup1]

Faux..........

Cela m'a l'air un peu court comme réponse.

[invite8cc9db4e]

Bon, à défaut de dire que c'est faux, je vais essayer des formules de 2de

S : indice sphère (rayon R)
P : indice perle
C : calotte sphérique

On a :


où h désigne la hauteur de la calotte sphérique

si j'ai bien compris les notations de ton schéma et si la coupe est axiale
Gasp, voir la fin

En écrivant , on obtient :


Sans contrainte géométrique supplémentaire (que je ne vois pas et qui, sans prétention, ne devrait pas exister), bon courage pour obtenir V_P=f(d).

Bonne soirée

[EDIT] : Holé ! h=(2R-d)/2 ..... [/EDIT]

[invitedf667161]

a mon sens il manque une donnée, j'essaye d'argumenter rapidement :
Projetons le problème dans R^2, c'est plus simple à voir.
Je crois voir deux cercles percés avec un d=1 et dont le 'aire restante serait différente, à cause du rayon qui est différent.

Le premier est un cercle de rayon , si bien que le trou est carré. Du coup l'aire (exacte) de ce qui reste est

Le deuxième est un cercle de rayon , si bien que le trou est rectangulaire de coté 1 et 1/2. Ainsi l'aire qui reste est (approx!)

Aprés reflexion, je me dit qu'en enlevant les deux calottes de la deuxième aire, on pourrait bien ytomber sur la première! A voir quoi. Si on tombe pile dessus, on a des chances de penser qu'il y a effectivement une relation à trouver entre d et R.
Ca m'étonnerait quand même!

[invite6acfe16b]

J'entends par là qu'une fonction d:-->d(r) continue sur [0;R] et telle que

et ayant un sens physique serait la bienvenue.
dans le cas où vous affirmez que V_P=k * d^3, k réel non nul.
Comprendre d(R) = limite de d quand r tend vers R

Je pense que j'ai compris ce que vous voulez dire et je suis d'accord maintenant. C'est vrai qu'il n'y a pas de fonction d(r), car d ne peut pas dépendre que de r. Mais ce n'est pas cela qui nous intéresse. L'important c'est que le volume de la perle V_p ne dépende que de d.

Bon, je vais fixer les notations et les objets pour voir si nous parlons bien de la même chose.

La sphère est donnée par .
Le cylindre a son axe sur l'axe des z. Il a un rayon r et une hauteur d.
Mon but est de trouver le volume V_p de la région qui est à l'intérieure de la sphère et à l'extérieure du cylindre.

Par Pythagore, on a
Le volume V_p se décompose en tranche horizontale qui sont des couronnes. J'espère que vous voyer ce que je veux dire.
A l'altitude z, la couronne a un rayon extérieur de et un rayon intérieur de r.

Ainsi, l'aire de la couronne à l'altitude z est .
Par (*) , on a donc que cette aire est


Il faut maintenant intégrer ceci entre z=-d/2 et z=d/2.
Cela donne






et voilà.
Si cela n'est pas convaincant, je vous prie de me dire où est l'erreur.

[invite43f8e83d]

Bonjour,
d'une part il n'est pas poszsible que le volume de la perle ne dépende que de son rayon R, ou bien que du diamètre du trou d, car ces deux paramètres dont dépend le volume sont indépendants l'un de l'autre.
C'est aussi la raison pour laquelle on ne peut avoir une fonction R dépendant uniquement de d ou d dépendant uniquement de R.

Je vous propose un mode de calcul:

soit Vp volume de la perle
soit Vs volume de la sphère
soit Vcy volume du perçage à l'exception des 2 calottes enlevées.(= volume du cylindre).
soit Vca volume d'une calotte sphérique enlevée par le perçage à une des 2 extrèmités du cylindre.


On peut écrire: Vp=Vs-Vcy-2Vca

si on applique le théorème de Pythagore au 1/2 cylindre percé vu en coupe, on a:
H²/4+d²/4=R²

on peut écrire que: H la hauteur du cylindre percè est égale à:
H=rac(4R²-d²)
et h la hauteur d'une calotte sphérique enlevée par le perçage est égale à:
h=R-H/2= R-1/2.rac(4R²-d²)


soit: Vs=4/3.Pi.R^3
Vcy=Pi.d²/4.rac(4R²-d²)
Vca=1/3.Pi.[R-1/2.rac(4R²-d²)]².[3d/2-(R-1/2.rac(4R²-d²)]


l'expression complète Vp=Vs-Vcy-2Vca doit pouvoir se simplifier, et je ne crois pas que passer par les intégrales apporte quoi que ce soit, à part peut-être de retrouver la même expression sous une forme plus simple

[invitedf667161]

Bon, je vais fixer les notations et les objets pour voir si nous parlons bien de la même chose.

La sphère est donnée par .
Le cylindre a son axe sur l'axe des z. Il a un rayon r et une hauteur d.
Mon but est de trouver le volume V_p de la région qui est à l'intérieure de la sphère et à l'extérieure du cylindre.

Par Pythagore, on a
Le volume V_p se décompose en tranche horizontale qui sont des couronnes. J'espère que vous voyer ce que je veux dire.
A l'altitude z, la couronne a un rayon extérieur de et un rayon intérieur de r.

Ainsi, l'aire de la couronne à l'altitude z est .
Par (*) , on a donc que cette aire est


Il faut maintenant intégrer ceci entre z=-d/2 et z=d/2.
Cela donne






et voilà.
Si cela n'est pas convaincant, je vous prie de me dire où est l'erreur.

Entièrement d'accord avec tous ces calculs

Seulement voilà, si je reprend mon exemple :

Dans le plan je trace un cercle de rayon srqt(2)/2 avec un carré de coté 1 à l'intérieur (d=1 , r=1/2).
Je trace un autre cerle de rayon sqrt(5/16) avec un rectangle de coté 1 et 1/2 à l'intérieur (d=1,r=1/4).
(en fait je trace d'abord le carré et le triangle te ensuite le cercle qui va autour pour plus de facilité!)

Je calcule les aires de ce que devrait être la perle dans ces deux cas. je ne trouve pas la même chose!

QUID?

[invite6acfe16b]

Entièrement d'accord avec tous ces calculs

Seulement voilà, si je reprend mon exemple :

Dans le plan je trace un cercle de rayon srqt(2)/2 avec un carré de coté 1 à l'intérieur (d=1 , r=1/2).
Je trace un autre cerle de rayon sqrt(5/16) avec un rectangle de coté 1 et 1/2 à l'intérieur (d=1,r=1/4).
(en fait je trace d'abord le carré et le triangle te ensuite le cercle qui va autour pour plus de facilité!)

Je calcule les aires de ce que devrait être la perle dans ces deux cas. je ne trouve pas la même chose!

QUID?

Pour le premier exemple, je ne sais pas comment tu calcules le volume de la perle, mais on peut faire comme cela :

volume de la sphère : 4/3*pi*(sqrt(2)/2)^3=(sqrt(2)/3)*pi

Volume du cylindre : pi*(1/2)^2*1=pi/4

Volume des deux calottes : 2*(pi/3)*(sqrt(2)/2-1/2)^2*(3*sqrt(2)/2-(sqrt(2)/2-1/2))
=...=(pi/12)*(4*sqrt(2)-5)

Donc le volume de la perle est :
(sqrt(2)/3)*pi-pi/4-(pi/12)*(4sqrt(2)-5)
=pi/6

Ce qui vaut bien : (4/3)*pi*(1/2)^3

Pour l'autre exemple que tu cites, je fais la même chose et j'obtiens aussi le bon résultat, j'ai juste la flemme de le recopier, mais si tu le demandes, je le ferai.

En relisant ton message, je m'aperçois maintenant que tu parles de l'"aire" de la perle, or c'est un volume. Est-ce que la différence serait ici ?

A bientôt

[invitedf667161]

Je crois que la différence est ici en effet!
Je te répète mon raisonnement :
quand j'ai vu la question que posait heinzoliger je me suis dit qu'il manquait une donnée pour résoudre le problème.
Du coup j'ai cherché un contre exemple pour montrer qu'on peut avoir le même d et pas le même volume.
Seulement comme en dimension 3 les calculs sont fastidieux, je me suis dit que j'allais projeter tout ça dans R^2 et regarder seulement un cercle troué par un rectangle.
Et là donc je trouve le contre exemple cité plus haut, où je parle bien de cercle, de rectangle (carré) et d'aire.
Seulement voilà, ton calcul est juste, mon calcul est jsute (j'espère) et je ne trouve pas la même aire pour les deux bidules!
Pourtant dans ton calcul on n'utilise pas (...) la troisième dimension.
Il faudrait que je motive et refasse ton calcul dans le cas de la dimension 2 pour voir où ça cloche, si ça cloche! Et si ça ne cloche aps alros c'est que je me suis trompé dans le mien.
Tu suis?

[invite6acfe16b]

Tu suis?

Je crois. Tiens moi au courant.

A bientôt

[invitedf667161]

Soit une sphère de rayon inconnu.
On perce cette spère à l'aide d'un foret.
On obtient donc une perle.
Connaissant sa largeur d au niveau du trou, est-il possible de calculer son volume ?

un schéma très moche pour illustrer celà :
ici

J'ai une solution mais elle part du postulat qu'une solution unique au problème existe.
Je me demande s'il est possible de trouver une méthode plus rigoureuse...

Non. Duduc, l'a dit, j'ai donné un contre exemple.

[invite43f8e83d]

mea culpa: je viens de regarder le schéma de départ et je constate que la lettre d employée est ce que j'ai noté H: la hauteur du perçage.
Pour ma part, j'ai noté d le diamètre du perçage.

Cependant, celà ne change rien au fait que l'on ne peut exprimer le volume de la perle en fonction seulement de d la hauteur puisque à un même d correspondent une infinité de perles différentes (Rayons différents correspondant chacun à un diamètre de perçage), ces perles ayant toutes de volumes différents....car dans l'expression que j'ai trouvé pour le volume, avec la notation H pour la hauteur du trou, on ne peut à priori simplifier pour éliminer à la fois le paramètre R et le paramètre d diamètre du trou.

[invite6acfe16b]

Cependant, celà ne change rien au fait que l'on ne peut exprimer le volume de la perle en fonction seulement de d la hauteur puisque à un même d correspondent une infinité de perles différentes (Rayons différents correspondant chacun à un diamètre de perçage), ces perles ayant toutes de volumes différents....car dans l'expression que j'ai trouvé pour le volume, avec la notation H pour la hauteur du trou, on ne peut à priori simplifier pour éliminer à la fois le paramètre R et le paramètre d diamètre du trou.

Ok, je crois que je n'avais pas compris que d était le diamètre du trou. Je suis d'accord avec le fait que le volume de la perle ne peut seulement dépendre de d. Toutefois, je dis, j'affirme et je l'ai même déjà prouvé deux fois de deux manières différentes dans ce fil que le volume de la perle est déterminé uniquement par la hauteur du cylindre que j'appelle d. On a alors . Et ceci est vrai, malgré le fait qu'il y a une infinité de formes de perles possible pour un d donné. Cela veut juste dire qu'elles ont toutes le même volume.

Dans ta formule, tu dois pouvoir simplifier, même si cela te semble difficile.

[invitedf667161]

Ok, je crois que je n'avais pas compris que d était le diamètre du trou. Je suis d'accord avec le fait que le volume de la perle ne peut seulement dépendre de d. Toutefois, je dis, j'affirme et je l'ai même déjà prouvé deux fois de deux manières différentes dans ce fil que le volume de la perle est déterminé uniquement par la hauteur du cylindre que j'appelle d. On a alors . Et ceci est vrai, malgré le fait qu'il y a une infinité de formes de perles possible pour un d donné. Cela veut juste dire qu'elles ont toutes le même volume.

Dans ta formule, tu dois pouvoir simplifier, même si cela te semble difficile.

J'avoue que je ne comprends pas là. Tu dis blanc, et une ligne aprés, tu dis noir.

[invitec314d025]

J'avoue que je ne comprends pas là. Tu dis blanc, et une ligne aprés, tu dis noir.

C'est juste la définition de d qui a changée