Le général malchanceux

[invite06fcc10b]

Un général convoque son état-major pour le défilement du quatorze juillet. Messieurs, combien de militaires vont défiler ?
Un colonel répond : entre 1000 et 2000 mon Général, je pourrais vous dire le nombre exact cet après-midi.
Très bien. Voici ce que je voudrais que vous fassiez : vous allez les disposer en n colonnes rangées en ordre croissant, de sorte que s'il y a k soldats dans la première colonne, il y en ait k+1 dans la 2ème, puis k+2 dans la troisième etc avec à chaque fois 1 soldat de plus dans la colonne suivante jusqu'à la dernière colonne.
Le colonel reprend : et combien de colonnes voulez-vous mon Général ?
Le général répond : je m'en fiche, choisissez le nombre de colonnes que vous voulez. Evidemment, il faudrait au moins 2 colonnes, sinon ça n'aurait aucun sens.
Vous m'avez compris ?
Oui mon général.

Quelques heures plus tard, le colonel chargé de trouver la solution revient voir le général :
Mon général, je suis désolé, j'ai tenté toutes les combinaisons possibles de colonnes en respectant les conditions que vous avez indiqué, ça ne marche pas.

Question : Combien de soldats doivent défiler ?

[invite8915d466]

Marrant comme problème, je crois que j'ai trouvé !

Indices pour les autres :
1)Il n'y a pas besoin d'ordinateur, ni même de calculette.
2)Mais si vous les utilisez, vous reconnaitrez tout de suite le nombre.

[invitec314d025]

Marrant comme problème, je crois que j'ai trouvé !

Oui, et ça fait plaisir de voir une énigme que je ne connaissais pas.
Et la solution est assez jolie

[invite8915d466]

Oui, et ça fait plaisir de voir une énigme que je ne connaissais pas.
Et la solution est assez jolie

quand est ce qu'on a le droit de comparer nos solutions, enfin plutot nos démarches parce que je suppose que la solution est la même ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

quand est ce qu'on a le droit de comparer nos solutions, enfin plutot nos démarches parce que je suppose que la solution est la même ?

Oui j'imagine que nos solutions sont identiques. Un nombre tout à fait remarquable en effet
Pour la démarche, j'ai appelé N le nombre de militaires. Si il existait une configuration qui marche, on aurait une forme factorisée simple de 2N, un facteur pair et un facteur impair ...

ou une autre démarche : chercher les diviseurs possibles.

[invite8915d466]

voila, a partir de la factorisation, j'ai tatonné en me disant que si N etait impair, il y avait une solution évidente (avec 2 colonnes), et si N etait pair on considerait N/2, si N/2 etait impair, il y avait une solution a 4 colonnes etc...

pour N quelconque, la solution comporte donc 2^(p+1) colonnes où p est la puissance de 2 dans sa décomposition en facteurs premiers, ce qui marche sauf pour....

[invite06fcc10b]

voila, a partir de la factorisation, j'ai tatonné en me disant que si N etait impair, il y avait une solution évidente (avec 2 colonnes), et si N etait pair on considerait N/2, si N/2 etait impair, il y avait une solution a 4 colonnes etc...

pour N quelconque, la solution comporte donc 2^(p+1) colonnes où p est la puissance de 2 dans sa décomposition en facteurs premiers, ce qui marche sauf pour....

Mes félicitations, je ne connaissais pas cette version.
Une petite remarque tout de même, pour un nombre tel que 11*128, cela ferait 2⁸ colonnes, soit 256 colonnes. Ca fait peut-être un peu trop, non (sachant qu'on ne peut avoir de nombres négatifs de soldats !) ?
Il faut donc démontrer autrement que 11*128 (entre autres) n'est pas solution.
Mais je ne doute pas que tu trouveras rapidement la réponse ...

ERREUT DE MA PART :
Pardon, je n'avais pas vu que la correction avait été faite.

[invite8915d466]

Ben oui, je suis allé trop vite dans mon raisonnement, c'est pour ça que j'ai été le premier à répondre lol...je n'avais pas vu qu'il fallait que le nombre de soldats de la dernière rangée soit forcément plus grand que le nombre de colonnes.... sinon la solution de Mmy est très élégante, il suffit de "tourner" la configuration.

Ca serait sympa de trouver une manière d'exprimer ça de façon graphique tel que la solution saute aux yeux, Delahaye avait fait un article sympa dans Pour la Science sur ce genre de démonstrations. En gros, comment peut-on démontrer graphiquement que toute disposition trapézoidale a forcement un nombre impair dans ses diviseurs ?

[invitebf65f07b]

Ca serait sympa de trouver une manière d'exprimer ça de façon graphique tel que la solution saute aux yeux, Delahaye avait fait un article sympa dans Pour la Science sur ce genre de démonstrations. En gros, comment peut-on démontrer graphiquement que toute disposition trapézoidale a forcement un nombre impair dans ses diviseurs ?

Si il y a un nombre impair de lignes, il suffit de faire les "vases communiquants" et on obtient un beau rectangle avec une base impaire.

Si il y a un nombre pair de lignes, on peut superposer la moitié droite sur la moitié gauche pour obtenir un rectangle dont la hauteur est impaire

Mais ceci ne dit pas que tout multiple d'impair peut prendre cette configuration.


Par contre, on peut remonter à l'envers ceci, en distiguant, pour N=I*H avec I impair, les cas où H>I/2 et H<I/2.

Si H>I/2, on peut prendre pour base I et faire les "vases communiquants" à l'envers.
Si H<I/2, c'est un peu plus subtil. On couche notre rectangle, on le coupe en oblique de cette manière :
ooooooo.....oo....ooooo
ooooooo => ooo + oooo
C'est à dire que l'on coupe à la base à la moitié inférieure (vu que c'est impair) et on remonte vers la gauche (la droite si on coupe la base à la moitié supérieure). (et voilà, je suis encore pas clair du tout...)
Ensuite on recolle :
oo
ooo
oooo
ooooo

Avec ça, on a notre équivalence, et donc seul 2^n n'est pas possible

[invite8915d466]

voui, voui, y a plus qu'a faire un zouli dessin pour qu'on voie ça du premier coup d'oeil

[invitebf65f07b]

je veux bien faire n dessin, mais il faudra toujours distinguer deux cas, et &#231;a j'imagine que &#231;a fais moins joli...

[invitebf65f07b]

j'ai pas remis les commentaires.
j'esp&#232;re que ce sera assez zoli pour certains

j'ai mis des fl&#232;ches, mais &#231;a marche dans l'autre sens aussi, en distinguant les cas k pair et k impair....

[ClaudeH]

Bonjour..

Matthias et Gillesh38

Pourriez-vous me donner un petit indice par rapprot à vos calculs Sans dévoiler le résultat bien sure??
Merci..

[invitec314d025]

As-tu fait le calcul de N en fonction de n et k ? Sous forme factorisée simple ?

[invité576543]

Bonsoir,

Après avoir marné sans succès pour un beau raisonnement, j'ai posé le pb à table ce soir...

Mon fils de 14 ans a brillamment proposé la démarche suivante: si le nombre total est un multiple d'un nombre impair >1, alors il y a une solution en mettant ce nombre impair de colonnes et la colonne centrale avec un nombre de soldats égal au rapport entre le nombre total et le nombre de colonnes: par symétrie le total est le bon...

Ce n'est donc pas un multiple d'un nombre impair >1...

Amicalement,

[invitec314d025]

Joli !
J'arrivai à la même chose mais de manière beaucoup moins intuitive et beaucoup moins visuelle (c'était ce que j'entendais par : chercher tous les diviseurs possibles).
Toutes mes félicitations à ton fils, je ne pense pas qu'on trouve une solution beaucoup plus élégante.

[inviteeecca5b6]

Ca serait pas plutot "le produit de 2 nombres impairs" que "le multiple d'un nombre impair" ?

[invité576543]

Ca serait pas plutot "le produit de 2 nombres impairs" que "le multiple d'un nombre impair" ?

Non, par exemple avec 30 soldats, 3 colonnes, 10 au milieu 9 =10-1 d'un côté et 11=10+1 de l'autre...

[inviteeecca5b6]

Sauf grosse betise de ma part, avec 14 il me semble que ca marche pas !

[inviteba0a4d6e]

Question : Combien de soldats doivent défiler ?

Une infinité...

[invitefd2dbdcd]

au maximum 999 pour la premiere colonne si il y en a deux.....non?
sinon.....je suis curieu de lire la bonne reponse

[invite8915d466]

Argyre a dit : entre 1000 et 2000 .....

[invitefd2dbdcd]

c vrai manque d'attention.....