Petit problème de balançoire

[invite787dfb08]

Bonjour!

Je m'amuse un peu avec les pendules en ce moment, et je cherche à déterminer, si on considère une balançoire sur laquelle est assise une fillette, si celle-ci prend un angle de -45° (élan), se lache, passe à la verticale, à quel angle elle doit ensuite "sauter" de la balancoire, qui est à une certaine distance du sol, pour ratterir le plus loin possible.

Pour l'instant j'ai tout réussi à exprimer en tenant compte des deux paramètres variables, à savoir la longueur des cordes qui tiennent la balançoire, et l'angle pour lequel la fillette saute de la balançoire. Ramener à une fonction mathématique, je trouve que la fillette atteint va sauter de la balançoire avec une vitesse maximale au moment ou elle passe à la verticale (angle de 0°).

Le problème, c'est que je ne parvient pas à calculer la longueur (horizontale) de son saut. Je connais sa variatin de hauteur, sa vitesse initiale, et sa vitesse finale, quel que soit l'angle, mais le théorme de l'énergie cinétique ne me permet pas de trouver la longueur de son saut.

Je suppose qu'il me faut utiliser la seconde loi de Newton, or on a encore pas réellement vu son appplication en cours. D'autre part, pour utiliser v=d/t, je ne sais n'ai aucune idée de la notion du temps pendant son saut, ni aucune idée de comment la prendre en compte.

Quelqu'un pourrait il m'aider à résoudre ce problème, simplment l'histoire de calcul de la longeur du saut, pour le reste je me débrouillerai ensuite tout seul et je posterai mes résultats avec un peu plus de détails, une fois que j'aurais terminé....

Merci bien

Arthur

[invitec053041c]

Bonjour.
Il s'agit en fait d'une étude ballistique (pauvre fillette).
Il faut tenir compte de la norme dela vitesse v0, de l'angle initial alpha de cette vitesse, et de la position initiale (x0,z0).

D'après, d'après la 2nde loi de Newton, tu as:

Tu décomposes cette relation sur x puis sur z. Et tu intègres jusqu'à trouver l'expression x(t) et y(t).
Au passage, tu utiliseras l'angle alpha pour exprimer la vitesse initiale horizontale, et la vitesse initiale verticale de la fillette.
Enfin, tu détermines les solutions en t de l'équation z(t)=0, Tu reportes dans x(t) et cela te donnera la portée. Ouff
Si tu veux plus de détails demande.

ps: tu parles de v=d/t . As-tu déjà vu que la vitesse est la dérivée par rapport au temps de la position. Et as-tu vu l'intégration surtout ?

[yat]

Les éléments dont tu auras besoin sont vx, vy et h, les composantes horizontale et verticale de la vitesse de la fillette et son altitude au moment du saut...

...et savoir intégrer une fonction polynome. Dans le cas contraire, je ne sais pas vraiment comment il faudrait s'y prendre.

Soit f(t) l'altitude de la fillette à l'instant t (l'instant 0 étant l'instant du saut), f''(t)=-g, donc en intégrant, f'(t)=-gt+c1. Comme f'(0)=vy, c1=vy.
En intégrant une deuxième fois, f(t)=-gt²/2+vyt+c2. Comme f(0)=h, c2=h.

L'altitude de la fillette en fonction du temps est donc -gt²/2+vyt+h. En résolvant l'équation tu vas obtenir deux solutions, une avant et une après le saut. La deuxième te donne donc la durée d du vol.

La vitesse horizontale étant constante, la distance horizontale entre le point du saut et l'impact est tout simplement vxd.

EDIT : grillé par Ledescat

[mamono666]

Alors ca fait combien pour une fillette de 30kg et une longueur de corde de 1m50

(histoire que je m'amuse avec ma ptite soeur ^^)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Si tu n'as jamais vu la 2nde loi de newton (ou ses applications) et que tu ne maîtrises pas l'intégration, je crains que ce soit quand même assez compliqué.
Si je ne me suis pas trompé, j'arrive à la fin à une formule de portée très moche avec une racine de racine et des racines un peu partout.
En effet, une première racine intervient pour déterminer la norme de la vitesse initiale (1/2mv0²), et le calcul de la portée fait intervenir une résolution d'équation de degré 2...

[mamono666]

Deja rien qu'en regardant le z(t) = -1/2 gt ^2 ...etc puis trouvé les racines. puis déterminé à partir des solution la distance x(t_racine) . Apres faut voir quelle parametre permet de maximiser le x(t) et donc remonter à la vitesse initiale adéquate et donc à l'angle initial adéquate...ca en fait des calculs

faudrait un beau ptit logiciel qui fait ca tt seul

[invitec053041c]

D'après ce que j'ai fait, la portée maximale est quand même lorsqu'elle se lâche à l'horizontale.
Mais j'ai un petit problème quant à la vitesse initiale.

edit: oula, j'ai fait une méchante erreur de signe , c'est bien connu que le poinds est vertical dirigé vers le haut!

[invite787dfb08]

Salut à tous

J'ai pas encore vu les intégrations en cours, mais j'ai déja fait quelques exos de bases et leçons sur les intégrales et primitives. Cela dit tout cela me semble un peu complexe, donc je vais essayer de relire tout ça attentivement dans la soirée...
Merci en tout cas pour vos réponse

En réponse à Ledescat, je trouve que le vetceur vitesse au moment du saut ayant la plus grande valeur, c'est bien quand la fillette passe à la verticale (pas à l'horizontale ).

Pour Mamono666, la masse ne change rien à l'affaire, que la fillette pèse 30kg ou 1 tonne, elle arrivera à la verticale à la même vitesse (je néglige les frottements de l'air la...)
La vitesse pour 1m50 de corde, c'est donc :

1/2 m (vf)² = mg (Delta h)
donc Vf² = 2g(Delta h)

La variation de hauteur se trouve pas trigonométrie (on suppose qu'elle prend 45° comme élan )

Donc (delta h ) = 1.5-1.5cos45°

Donc Vitesse à la verticale (vitesse max) = RACINE(toulebordelaudessus) = 2.94 m/s = 10.6 km/h

Voila donc j'essais ce soir et si je n'y arrive pas je poste pour redemander de l'aide

Merci en tout cas

Arthur

[invite787dfb08]

ouais alors j'ai beaucoup de mal à suivre la méthode :

J'ai tout de même une question, permet-elle de calculer la longueur de la courbe parcourue par la fille, ou alors , supposant qu'elle lache en A, et qu'elle raterrisse en B, la longueur horizontale du triangle rectangle d'hypothénuse AB ????

[invitec053041c]

En fait quand je disais qu'elle lâchait à l'horizontale, je voulais dire que sa vitesse était horizontale (donc lorsque la balançoire est à la verticale ).
Notre méthode te donne les équations horaires: à un temps t, y vaut..., x vaut...
Quand je résoud y=0, je cherche le temps pour lequel l'altitude s'annule. En reportant ce temps dans l'expression x(t), ça te donnera la distance horizontale, la longueur horizontale du triangle...

[invite787dfb08]

ok

Bon de toutes façon je pense que je vais attendre d'être en TS pour pouvoir gérer ca correctement (encore faudra t il que je n'oublie pas qu'il y aura le bac à la fin de l'année).

Et donc vous êtes d'accord avec le fait que c'est au moment ou la balançoire est verticale que la fille à le vecteur vitesse le plus important. Donc c'est si elle lache à ce moment qu'elle atterrira le plus loin de la balançoire ??? Je doutais parce que sa tracecoire n'est "qu'une moitiée" d'une parabole. Si l'angle n'est pas nul, alors elle aura vraiment une trajetoire parabolique.

Excel peut beacoup aider à visualiser

Merci en tout cas

Arthur

[invitec053041c]

Ton problème est intéressant et la réponse pas si évidente que ça.
Le mouvement sera en effet un morceau de parabole.
Seulement, plus elle lâchera proche de la verticale, plus sa vitesse initiale sera importante, mais moins l'angle de départ le sera.
Plus elle lâchera loin de la verticale, moins sa vitesse sera importante mais plus l'angle de départ sera important.
Je m'y pencherai peut-être un peu plus .
En tout cas merci pour l'idée !

[invite787dfb08]

Mais de rien de rien
Normalement je pense qu'on peut répondre à ça uniquement en se ramenant à l'étude d'une fonction. Néammoins il serait plus simple de simuler sur excel, et de visualiser les trajectoires en modifiant les paramètres.

Dans tous les cas, tes résultats m'intéressent

Pour ma part, voici un résumé de l'étude que j'ai faite.
Départ d'un angle de -45°, balancoire suspendue par des cordes de longueurs L0.
Avec le th de l'énergie cinétique, on trouve que le vitesse a la verticale = RACINE(2g(L0-L0cos45°)). Après quoi la balançoire remonte.

Ainsi j'exprime la vitesse de la balançoire en fonction de l'angle (x) lors de la remontée :
V = RACINE(2g(-(L0-L0cosx)+(L0-L0cos45°)))
En prenant n'importe quelle valeure de L0, on peut simplifier l'écriture, puis tracer la courbe, qui admettra un maximum pour x=0, qui correspond à la valeur de la vitesse à la verticale (vitesse max).

Après quoi on garde x=0°, puisque c'est la valeur pour laquelle la vitesse sera la plus grande, et donc on a :
V = RACINE(2g+(L0-L0cos45°)), on trouve une droite croissante strictement, donc on en conclut que la vitesse sera d'autant plus grande que la corde est longue.
Donc voila tout ce que je peux faire à mon niveau.

C'est vrai que se serait sympa d'avoir les résultats du problème...

++

[invitec053041c]

Mais de rien de rien
Normalement je pense qu'on peut répondre à ça uniquement en se ramenant à l'étude d'une fonction.

Oui c'est exactement ça.
A cette heure-ci j'ai un peu de mal , mais j'essaierai de m'y pencher.
Tu verras un peu plus tard qu'en revanche, pour trouver la fonction theta(t) (l'angle que fait ton pendule avec la verticale par exemple en fonction du temps), il faudra faire des approximations de petits angles. Sans ça, on est incapable de modéliser cette fonction avec les fonctions usuelles mathématiques (cosinus,sinus, polynômes etc...).
Mais c'était une apparté, tu t'y prends plutôt pas mal pour le moment.
Tu as juste besoin de quelques connaissances sur le tir ballistique (chute libre). D'ailleurs en TS, la portée ou la flèche (hauteur maxi) seront les questions les plus compliquées en rapport avec le sujet. Donc pas de panique si tu as un peu de mal pour le moment !

[invite21126052]

on montre que la trajectoire d'un point dans ce type de tir est:

avec z la hauteur/altitude de ton point, x la distance parcourue horizontalement, l'angle de tir avec l'horizontale, le module de la vitesse initiale, l'altitude initiale.

La portée se calcule en résolvant selon x l'équation (abscisse x en lequel le point a une altitude nulle!).

L'altitude initiale dépendra de l'angle d'où ton point (ou ta fillette ) partira. La vitesse initiale, idem.
Finalement, la portée est une des solutions à l'équation du second degré que je t'ai proposée, et tu peux t'arranger pour que cette portée ne s'exprime qu'en fonction de l'angle . Il faut ensuite dériver la relation liant portée et angle, et trouver qui annule cette dérivée (et vérifier que c'est bien un maximum, éventuellement)
.

Pas certain que tu arrives à résoudre explicitement en fonction de . Dans ce cas, il faut résoudre numériquement!

Bon, j'espère que j'ai pas dit trop de bêtises, et que je suis suffisamment clair, il est tard, enfin, je suis surtout fatigué...
Si t'as d'autres questions, n'hésite pas

++