Problème de x^x

invite43bf475e · 20/08/2007, 16h14

Bonjour @ tous,

J'ai un petit problème avec une fonction f(x)=x^x, voila je veux avoir son tableau de variation, bref je la réecris sous la forme f(x)=e^(xlnx)
Mais la gros problème : elle n'est définie que sur IR*+ , alors qu'à l'origine, x^x est définie pr tt x réels...

Je détermine les variations de f(x) mais uniquement sur IR*+, comment faire sur l'ensemble IR en entier...?

Merci, j'attends vos réponses.

invite88ef51f0 · 20/08/2007, 16h17

Salut,

x^x est définie pr tt x réels...

Es-tu sûr ? Tu peux me donner la valeur en -1/2 par exemple ?

invite6bacc516 · 20/08/2007, 16h48

Ca donnerait, avec $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

:þ Donc pas vraiment à valeur dans IR ^^

invite6bacc516 · 20/08/2007, 16h56

La fonction est pleinement définie sur $\text{[math]}$ , mais pour les x négatifs elle n'est définie, il me semble, que pour des nombres aboutissant à des racines (2n+1)-ièmes, correspondant à des inverses de puissances impaires, et donc ayant des solutions réelles; par contre tous les résultats correspondants, comme ici, à des racines 2n-ièmes ne sont pas définies, on tombe sur des expressions faisant intervenir des racines de nombres négatifs, donc des solutions complexes ... me semble-t-il ^^

Je m'avance, c'ets juste un résultat qui me semble logique et qui correspond à mes conjectures sur calculatrices

P.S : Désolé du doublé, mais j'ai pensé à rajouter cette précision après que le temps d'édition soit écoulé :/

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite7d436771 · 20/08/2007, 17h00

Bonjour !

Je ne suis pa stout à fait d'accord ... Tu inclus (Dydo) 0 dans ton domaine de définition et le ln n'ets pas très défini en 0 ... Par contre je n'ai pas dit qu'on pouvait étendre son domaine de définition en incluant 0 en prolongeant par continuité (sujet battu et rebattu) ...

Cordialement,

Nox

invite6bacc516 · 20/08/2007, 17h04

Oui c'est vrai, cependant par convention ne peut-on pas noter $\text{[math]}$ ?

Pour kimuto, il me semble avoir expliqué précédemment que la fonction se comporte différemment dans les deux cas, il est clair que pour des valeurs positives la fonction va croire à une allure très rapide, d'où la courbe ( est-ce une parabole ? ); pour le domaine négatif ça dépend des valeurs de x :P

inviteec581d0f · 20/08/2007, 17h12

Merci Dydo, je n'avais pas actualisé la page donc je n'avais pas vu ce que tu avais écris.

:P ^^

invite43bf475e · 20/08/2007, 18h11

Donc en récapitulant, je peux réaliser les variations de x^x sur IR+*, en précisant que sur IR-* elle n'est continue donc dérivable que pour cette valeur de x, tq x=2k? du style (x neg)^inverse de puissance impaire ?

**FonKy-** · 20/08/2007, 18h46

Envoyé par M I L A S

Donc en récapitulant, je peux réaliser les variations de x^x sur IR+*, en précisant que sur IR-* elle n'est continue donc dérivable que pour cette valeur de x, tq x=2k? du style (x neg)^inverse de puissance impaire ?

En principe on etudie pas sur R- :/ point

FonKy-

invite6bacc516 · 20/08/2007, 18h49

Oui surtout que j'imagine que pour des valeurs négatives de $\text{[math]}$ , je doute que ce que je t'ai dit précédemment soit très très juste, c'était question de simplifier un peu ( beaucoup :þ ) les choses

inviteec581d0f · 20/08/2007, 17h00

Bonjour,

en traçant la courbe de f(x) = x^x j'obtiens des points dans le domaine négatif et une (demi) parabole dans le domaine positif.. Pourquoi ????

invitec053041c · 20/08/2007, 18h51

Envoyé par kimuto

Bonjour,

en traçant la courbe de f(x) = x^x j'obtiens des points dans le domaine négatif et une (demi) parabole dans le domaine positif.. Pourquoi ????

Parabole sûrement pas

.

**FonKy-** · 20/08/2007, 18h54

Envoyé par Ledescat

Parabole sûrement pas

.

en effet c pire qu'un exponentielle

alors ta parabole

inviteec581d0f · 20/08/2007, 20h47

Envoyé par FonKy-

en effet c pire qu'un exponentielle

alors ta parabole

Je n'ai pas encore vu les exponentielles et ma calcuatrice m'a affiché une parabole

invite6bacc516 · 20/08/2007, 22h01

Envoyé par kimuto

Je n'ai pas encore vu les exponentielles et ma calcuatrice m'a affiché une parabole

Je l'ai tracée sur calculatrice et non, ça y ressemble mais ce n'est pas une parabole regarde bien :þ Pour ce qui est de l'exponentielle, pas très compliqué, dit toi que c'est une suite géométrique comme n'importe laquelle

inviteec581d0f · 20/08/2007, 22h43

Envoyé par Dydo

Je l'ai tracée sur calculatrice et non, ça y ressemble mais ce n'est pas une parabole regarde bien :þ Pour ce qui est de l'exponentielle, pas très compliqué, dit toi que c'est une suite géométrique comme n'importe laquelle

Je vois que j'étais nul sur ce coup là

hahaha Merci de m'avoir éclairé Dydo

invitec053041c · 20/08/2007, 22h49

Envoyé par Dydo

Je l'ai tracée sur calculatrice et non, ça y ressemble mais ce n'est pas une parabole regarde bien :þ Pour ce qui est de l'exponentielle, pas très compliqué, dit toi que c'est une suite géométrique comme n'importe laquelle

L'exponentielle n'est pas une suite mais une fonction de IR dans IR+

.
"Comme n'importe laquelle": tu es méchant ! Elle a quand même la propriété d'être égale sa fonction dérivée !

invite6bacc516 · 20/08/2007, 22h51

Oups pardonne moi du blasphème, j'oubliais ce détail tellement j'en ai mangé :þ Et oui, j'avais oublié de préciser que c'était une fonction, mais bon, on va dire qu'on s'est comprit ^^

( 2 fautes sur une seule phrase, effectivement c'est dur :P )

invitec053041c · 20/08/2007, 23h01

Oui, au passage:

Envoyé par Ledescat

L'exponentielle n'est pas une suite mais une fonction de IR dans IR+

.

C'est IR+*.

inviteec581d0f · 20/08/2007, 23h03

Envoyé par Ledescat

L'exponentielle n'est pas une suite mais une fonction de IR dans IR+

.
"Comme n'importe laquelle": tu es méchant ! Elle a quand même la propriété d'être égale sa fonction dérivée !

j'étais content d'avoir cru comprendre (dur a la détente) mais je retombe dans le gouffre du non-savoir

invite6bacc516 · 20/08/2007, 23h08

Ma mauvaise formulation ne doit pas changer grand chose si tu avais comprit, dans une suite géométrique tu passes du terme au suivant en le multipliant par une raison $\text{[math]}$ ; ainsi tu as, en général :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ fixés.

He ben l'exponentielle, c'est pareil, mais c'est une fonction définie sur IR et non une suite, simplement définie sur IN. En gros tu as :

$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ un certain nombre fixé lui aussi :þ

Après le fait que la fonction soit sa propre dérivée c'est une propriété remarquable de la fonction ( on la définit à partir de ça même, du moins en Terminale ); mais fondamentalement, c'est la même chose, une fonction géométrique

invite6bacc516 · 20/08/2007, 18h54

Branche parabolique quand même

?

En passant, il y a un moyen d'étudier la "vitesse de croissance" de la fonction ? Juste pour comparer à $\text{[math]}$ ^^

**FonKy-** · 20/08/2007, 19h00

Envoyé par Dydo

Branche parabolique quand même

?

En passant, il y a un moyen d'étudier la "vitesse de croissance" de la fonction ? Juste pour comparer à $\text{[math]}$ ^^

bah branche parabolique non plus .. enfin je crois pas

n! = n(n-1)...2 < n.n.....n = nⁿ

invitec053041c · 20/08/2007, 19h01

Envoyé par Dydo

En passant, il y a un moyen d'étudier la "vitesse de croissance" de la fonction ? Juste pour comparer à $\text{[math]}$ ^^

Contrairement à ce qu'on peut penser,la factorielle s'écrase devant n^n

.

En effet $\text{[math]}$ ~ $\text{[math]}$ qui tend vers 0.

EDIT: Fonky a la qualité de ne pas sortir l'artillerie lourde comme je l'ai fait avec Stirling

.

invite6bacc516 · 20/08/2007, 19h04

Merci de vos réponses, c'est tout à coup plus évident comme tu le dis Fonky :þ

**FonKy-** · 20/08/2007, 19h08

ouaien fait Ledescat te dit que n!=o(nⁿ) mais faut savoir ce que c'est :/
sinon j'ai pensé au dérivés (x^x)'=(lnx+1)x^x, soit pire que l'exponenteielle qui monte tres vite ^^ car (e^x)'=e^x

puis je me suis rendu compte que la dérivé de la factorielle ben je la connaissais pas

FonKy-

invitec053041c · 20/08/2007, 19h14

Envoyé par FonKy-

puis je me suis rendu compte que la dérivé de la factorielle ben je la connaissais pas

FonKy-

T'as déjà vu la dérivée d'une suite

.

Si tu veux,considère la fonction $\text{[math]}$ qui a la caractéristique de correspondre à n! pour les entiers, mais honnêtement ça n'en vaut pas la peine

.

**FonKy-** · 20/08/2007, 19h28

J'y reflechie mais peu mais la je dois aller manger, si tu pouvais detailler

merci, FonKy-

si ca en vaut la peine lol

invite43bf475e · 21/08/2007, 09h13

d'ailleurs le min de f(x)=x^x est atteind pr x=e^-1=1/e.
Et a^x=e^alnx

Petit complément pour les fonctions géométriques a bases fixées

inviteec581d0f · 21/08/2007, 12h55

Et a^x=e^alnx

C'est bien $\text{[math]}$ ou bien $\text{[math]}$

Problème de x^x

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