Résolution d'équations du 3° degré.

[Antikhippe]

Bonjour,

J'ai lu que pour résoudre une équation du 3° degré, il fallait d'abord trouver le nombre de racines du polynôme avec le théorème de Sturm, puis qu'il fallait ensuite procéder par dichotomie.

Trois questions me viennent alors à l'esprit :
- peut-on trouver le nombre de racines d'une équation de degré 3 par une autre méthode que le théorème de Sturm ? Je sais qu'il y a la méthode graphique, mais elle n'est pas très commode quand on n'a que du papier et un crayon à la main.
- qu'est-ce que la dichotomie ?
- est-ce que le théorème de Sturm n'est valable que pour les équations du troisième degré ?

Antikhippe
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[invite3e1953b5]

Bonjour

Je ne connais que très très peu le théorème de Sturm, mais il me semble qu'il est valable quelque soit le degré de l'équation. On va essayer de faire sans.

D'abord un truc simple : degré 3 -> 3 racines, après faut vérifier si elles sont distinctes. Ce que dit le théorème de Sturm (enfin je crois), tu peux le faire en degré 3, c'est d'ailleurs instinctif. Tu prends ton polynôme P de degré 3, tu le dérives ça donne un polynôme P' de degré 2, tu calcules les racines x1 et x2. Tu calcules ensuite P(x1) et P(x2), et tu regardes combien de fois ta fonction va changer de signe, tu as donc le nombre de racines.

Ensuite la dichotomie. C'est un procédé qui permet d'approximer les racines, très utile en informatique. Je te l'explique avec une équation du 1er degré, le principe est le même pour du 3e degré. Prenons une fonction simple, P(x)=x-1. Il faut d'abord définir un intervalle de départ [a,b] tel que P(a) et P(b) ne soient pas du même signe (P(a)*P(b)<0). Ici par exemple, a=-1 et b=5. P(a)=-2 et P(b)=4, donc a et b encadrent la racine recherchée, le polynome P étant strictement monotone (ici croissant) sur [a,b]. On découpe ensuite l'intervalle en 2, soit c=(a+b)/2 (=2), et on calcule P(c) (=1). Ici P(c) est du même signe que P(b), cela signifie que la racine ne se situe pas entre c et b, donc on recommence à découper en 2 l'intervalle [a;c], et ainsi de suite... On trouve donc un encadrement de la racine, de plus en plus précis et on s'arrête quand la précision est suffisante. Voilà j'espère que c'est clair !! (j'en suis pas convaincu...)
Après pour faire ça pour du 3e degré, en supposant qu'il y ait 3 racines, il faut tout faire 3 fois, sur 3 intervalles différents. La fonction devant être strictement monotone sur tes intervalles (elle change de signe en x1 et x2, racines du polynôme dérivé), tu pars de [a,x1], [x1,x2], et [x2,b] avec a assez petit pour pour que P(a) soit du même que la limite de P en moins l'infini, de même pour b en plus l'infini. Tu auras une racine par intervalle.


Sinon il existe une méthode de résolution pour les équations du 3e degré, je n'en connais pas le nom (méthode de Cardan peut-être... masi pas sur), je pourrais te l'expliquer si tu veux, mais ça risque de pas être très pratique à écrire !! Ca sera surement plus simple si tu la trouves sur Internet.

[Quinto]

Le théorème de Sturm, c'est le gros théorème de bourrin dont on ne se sert jamais.
Pour résoudre un équation du 3e degré, bein en fait on sait les résoudre dans tous les cas, mais on n'utilise cette méthode que rarement parce qu'elle est très lourde (elle porte plusieurs noms je crois, le plus commun est celui de méthode de Cardan)

En général ce que l'on fait lorsque l'on a une fonction continue, on utilise le théorème des valeurs intermédiaires.
Dans le cas d'un polynôme complexe, on cherche une éventuelle racine évidente et si elle existe on factorise le polynôme, et dans ce cas, celà revient à chercher les racines d'un polynôme du second degré.

Une chose est sure, un polynôme (réel) de degré3 (et a fortiori de degré impair) possède au moins une racine réelle.

Mais une chose est sure, un polynôme complexe de degré n possède n racines complexes (théorème dit "fondamental de l'algèbre", ou encore de d'Alembert-Gauss)

[Antikhippe]

Bonjour et merci pour vos réponses.

Pour pepinou :
Tes explications sur la dichotomie étaient très claires, merci beaucoup.
Pour ce qui est du théorème de Sturm, je n'ai pas tout à fait lu la même chose que ce que tu as écrit mais je me demande si ta méthode n'est pas meilleure... Je vais la tester et je t'en dirai des nouvelles.

Pour Quinto :

Le théorème de Sturm, c'est le gros théorème de bourrin dont on ne se sert jamais.
Pour résoudre un équation du 3e degré, bein en fait on sait les résoudre dans tous les cas, mais on n'utilise cette méthode que rarement parce qu'elle est très lourde (elle porte plusieurs noms je crois, le plus commun est celui de méthode de Cardan)

Je ne crois pas que le théorème de Sturm soit la même chose que la méthode de Cardan. Je crois que Cardan, c'est un truc avec pleins de racines carrées de racines carrées... C'est encore plus bourrin que Sturm.

Dans le cas d'un polynôme complexe, on cherche une éventuelle racine évidente et si elle existe on factorise le polynôme, et dans ce cas, celà revient à chercher les racines d'un polynôme du second degré.

Pourquoi dans le cas d'un polynôme complexe ??? Pour un polynôme réel aussi, non ? Sinon, cette méthode est utile pour un polynôme de degré 3 comme ça, après, y a plus que le discriminant à chercher... mais pour le cas d'un polynôme de degré supérieur à 3, la racine évidente n'est plus aussi utile, si ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

Je n'ai jamais dit que le théorème de Sturm et la méthode de cardan étaient les mêmes, justement je te dis que dans les cas de polynôme de degré inférieur strictement à 5, il existe des méthodes qui marchent à tout les coups, ensuite ce n'est pas vrai (non pas qu'on ne les trouve pas, mais on a prouvé qu'elles n'existaient pas)
Et la méthode la plus connue est celle de Cardan dans le cas du 3e degré.

Ensuite j'énonce le résultat en prenant C parce que R est immergé dans C, donc à partir de là, le résultat subsiste.
Ensuite, dès lors que l'on peut trouver des racines évidentes, on le fait et quelque soit le degré, ca permet ainsi de factoriser le polynôme et ca le rend plus facile à étudier en général...

[invite980a875f]

Bonjour,
j'avais lu une méthode de résolution (celle de Cardan je crois), mais je n'arrive pas à retrouver la page, je crois que c'était sur le site de gilles constantini "Bacamaths" mais je ne suis pas sûr. La méthode n'était pas dure en soi, mais un peu laborieuse, mais ça je pense que c'est inévitable. On revenait à une équation du second degré. Mais si je me souviens bien, elle ne marchait que pour certains types d'équations (pas de terme de degré 2 je crois). Bon allez, je vais essayer de retrouver la page!

[invitedebe236f]

3 degre j aivais la formule qui marche c es hyper simple on passe meme par les imaginaires si on veut la solution reelle

Pour 4 degre je donne la methode (de tete par sur sur )
X4 +BX3+CX2+DX+E =0 on pose x = X -1/B <- deja la par sur
ca donne x4 + ax2 +bx +c = 0 on supprime le terme x3 abc calculable

ce qui equivalent a (tx2 +z)(tx2-y) = 0 t z y inconnu
en recherchant la somme ou le produit plus sur de zy on trouve une equation du 3 degre qu on resout et donc on la solution du 4 eme degre
si je retrouve je posterai plus clair

[invitedebe236f]

http://www-groups.dcs.st-andrews.ac....ations.html#69

voila tous est expliquer la c est la meme solution mais presenter differement

[Antikhippe]

Merci Cricri ! Je vais aller voir ton lien.

[kandour]

bon soir tout le monde
les equation cubic ne sont pas resoluble d'une facon similaire au 2 degre en effet
il existe 2 types de ses equation
ceux qui ont 2 racines complexes
et ceux qui ont 3 sol reels les derniers represente un problemes pour trouver simplement leurs formes explecite exemple
x^3-7x+6=0
a les solution simples 1,2 et -3
mais si on essayer de les chercher avec n'importe quels methode de resolution
on se bloc a des forme de calculs bizar!!!