[spé maths]BAC S 1999 : Arithmétique

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Salut, je suis de retour (très rapidement) !

Soit n un entier naturel non nul.
N = 9n + 1 et M = 9n - 1

1) Supposons n entier pair. On pose n = 2p avec p un entier naturel non nul.
a) Mq M et N entiers impairs.

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or et donc
M = 18p - 1 = 2(9p) - 1 de la forme 2k-1 qui est impair.

b) En remarquant que N = M+2, déterminer pgcd(M;N)

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pgcd(N;M) = pgcd(M;2) or M > 2 et M impair, donc pgcd(M;N) = 1

2) Supposons n entier impair, n = 2p+1 avec p entier naturel.
a) Mq M et N pair.

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b) En remarquant que N = M+2 déterminer pgcd(M;N)

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pgcd(M;N) = pgcd(M;2) or M pair et M > 2 donc pgcd(M;N) = 2

3) Pour tout entier naturel non nul n on considère l'entier 81n² - 1
a) Exprimer 81n² - 1 en fonction de M et N.

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MN = 81n² - 1 (identité remarquable)

b) Démontrer que si n pair alors 81n² - 1 impair.

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n = 2p => M et N impair => MN impair <=> 81n² -1 impair
Preuve : (2k+1)(2q+1) = 4kq + 2k + 2q + 1 = 2(2kq+k+q)+1

c) Démontrer que 81n² - 1 divisible par 4 SSI n impair.

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n impair => n=2p+1 => 81n² - 1 = 81(2p+1)² -1 = 81(4p²+4p+1) - 1
Or et donc
<=> =>