[spé TS]Antille sept 2001 : arithmétique

[invitefc60305c]

Bonjour à tous.
J'aimerai avoir vérification de mes résultats sur cet exo...
C'est assez rapide... merci bien

Soit a et b des naturels non nuls tq où p est un nbre premier.

1)a) Démontrer que p divise a² sachant que a² = a(a+b) - ab

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Par hypothèse p divise a+b et ab. Donc
ainsi p divise a²

b) En déduire que p divise a. On constate ensuite que p divise b.

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donc
Avec n = 1, p divise a.

c) Démontrer que

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p divise a et b <=> et avec q et q' premiers entre eux.
donc on a avec
Ainsi

2) Résoudre le système suivant sachant que

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On pose et
dm = ab = 850 et on a p = 5 par hypothèse.
on a aussi et donc ab = 25qq'
qq' = 34 or q et q' premiers entre eux donc on a :
q=2 et q'=17 OU q=17 et q'=2
Finalement on a les couples suivants : (10;85) et (85;10)

3) En déduire les solutions du système suivant :

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et donc par transitivité
On se ramène au système précédant.