[Spe Math] Arithmetique

[azertylr]

Bonjour,
Je bloque sur un exercice de spe math, enfin je ne sais pas si ce que je trouve est juste :

Trouver les diviseurs n pour lesquels (n+17)/(n+4) soit un entier.

il faut que n+4 divise n+17 or n+4 divise n+4 et n+4 divise -(n+17) donc n+4 divise (n+4)-(n+17) d'ou n+4 divise -13 mais -13 est un nombre premier donc S = -18 et -4
je ne sais pas si c'est juste.
merci de m'eclairer

[Harkhih]

Remplace n par -18 ou -4 dans (n+17)/(n+4) et tu constateras que ce n'est manifestement pas la solution.

Sinon ton argument de départ était correct : (n+17)/(n+4) est entier ssi (n+4) divise (n+17).
Mais après tu te compliques la vie.
Applique juste la définition : "il existe un entier k tel que ..."
Après tu exprimes n en fonction de k (en faisant gaffe aux opérations que tu fais : sauf erreur, tu dois diviser par (1-k) assures-toi que ce passage est légitime), et garde à l'esprit que n est également un entier, ça te permettra d'éliminer des k.

EDIT : c'est une façon de procéder que je te propose d'explorer (manifestement elle diffère de la tienne), il y en a sûrement d'autres.

++

[Harkhih]

Désolé pour le double post, mais on dirait que je peux plus faire d'édition au bout de 5 minutes.
Après réflexion, je pense que tu as mal exploité ta conclusin "mais -13 est premier, donc ..."
Ça aurait dû te donner n+4 qui vaut 1 ; -1 ; 13 ou -13 ... tu as dû te tromper dans les derniers calculs, c'est tout.
En plus tu tombes sur les même solutions qu'avec la piste que je te propose.

[azertylr]

ok merci
je vais esasyer avec ta technique pour voir,
oui effectivement ca donne (avec la mienne) n+4=1 ou 13 ou -13 ou -1 et j'ai fait une erreur de calcul pour trouver -18 et -4
je test ta methode
merci

[evariste_galois]

Et bien (n+17)/(n+4)=1+(13/(n+4)), donc (n+17)/(n+4) est entier si (n+4) divise 13, i.e ,vu que 13 est premier, (n+4)=+-1 ou +-13 . Et on en déduit n facilement.

[SPH]

Bonjour,
Je bloque sur un exercice de spe math, enfin je ne sais pas si ce que je trouve est juste :

Trouver les diviseurs n pour lesquels (n+17)/(n+4) soit un entier.

il faut que n+4 divise n+17 or n+4 divise n+4 et n+4 divise -(n+17) donc n+4 divise (n+4)-(n+17) d'ou n+4 divise -13 mais -13 est un nombre premier donc S = -18 et -4
je ne sais pas si c'est juste.
merci de m'eclairer

Apparement, plus N augmente, plus la division tend vers 1 (1.xxxxx). Et comme il y a 17 qui est premier, je dirais que jamais cette division n'aboutira a un entier.

[azertylr]

Bonjour a tous,
merci de vos reponse.
Je trouve n € {-17,-5,-3,9}

je regarde ta methode evariste_galois.

[Romain-des-Bois]

(n+17)/(n+4) est entier

alors (n+17) = k.(n+4)

ou (n+17) congru à (n+4) modulo k

donc n congru n-13 modulo k

donc n = k.(n-13)
donc (k-1).n = 13
donc n congru à 13 modulo k-1

c'est clair

[evariste_galois]

(n+17)/(n+4) est entier

alors (n+17) = k.(n+4)

ou (n+17) congru à (n+4) modulo k

donc n congru n-13 modulo k

donc n = k.(n-13)
donc (k-1).n = 13
donc n congru à 13 modulo k-1

c'est clair

Salut Romain,

Tu es sûr de bien avoir appris ta définition de la congruence ?
Dire que (n+17) = k.(n+4) , cela revient à dire que (n+17) est congru à 0 modulo (n+4), n'est-ce pas?

[Romain-des-Bois]

Salut Romain,

Tu es sûr de bien avoir appris ta définition de la congruence ?
Dire que (n+17) = k.(n+4) , cela revient à dire que (n+17) est congru à 0 modulo (n+4), n'est-ce pas?

T'auras vu avec moi que tout ce que j'ai écrit c'est n'importe quoi

et oui trop d'heures de maths dans la semaine en MSPI (certains disent douze heures, mais c'est plutôt 15h - sans compter khôlles, DS, devoirs, DMs ...) tue les maths le week end

[Romain-des-Bois]

Trouver les diviseurs n pour lesquels (n+17)/(n+4) soit un entier.

c'est normal, ça ?

[evariste_galois]

c'est normal, ça ?

A mon avis, il voulait dire "Trouver les entiers n ...".

[evariste_galois]

Apparement, plus N augmente, plus la division tend vers 1 (1.xxxxx). Et comme il y a 17 qui est premier, je dirais que jamais cette division n'aboutira a un entier.

Et bien, pour avoir un entier, au premier coup d'oeil, il suffit d'avoir 1 ou -1 au dénominateur, i.e n+4=1 soit n=-3, ou n+4=-1 soit n=-5 . Dans ce cas-là, peu importe la valeur du numérateur.
Il y a aussi la solution évidente n=-17.