Espace euclidien et réalité

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Bonjour,

C'est en rédigeant une note de cours sur l'espace-temps de Newton qu'une difficulté conceptuelle m'est venue (naive sans doute) entre algèbre et réalité. Considérons l'espace (sans le temps). Dans la théorie physique classique, c'est l'espace euclidien tridimensionnel ordinaire. Autrement dit, c'est un espace affine formé d'un ensemble de points, associé à l'espace vectoriel (muni de sa structure euclidienne canonique). Ainsi, sur existe le produit scalaire canonique dont découle la norme euclidienne, la distance euclidienne, les angles, on peut définir des bases orthonormées, etc.

Cependant, tout ceci est une structure algébrique très abstraite. Il me manque quelque chose pour "l'immerger dans le réel", autrement dit représenter cette construction algébrique telle qu'elle doit coller à la géométrie. Par exemple, restreignons nous au plan affine, je lui associe (avec la structure euclidienne canonique) : la base canonique est bien sûr orthonormée. Maintenant, pour la représenter par deux vecteurs sur une feuille de papier (mon espace affine), je peux prendre deux vecteurs tout à fait quelconques (non colinéaires tout de même) et décréter que c'est ma base orthonormée. Dans ce cas, le vecteur aura une norme (voir dessin sur la pièce jointe), ou de manière équivalente la distance entre et est . Mais cette notion de norme et de distance ne colle pas avec celle de la géométrie qui mesure les longueurs avec une règle rigide : pour que ces notions soient compatibles, il faut obligatoirement que je "dessine" ma base avec une équerre pour qu'elle fasse un bon vieil angle droit et avec une règle pour m'assurer que je lise sur la règle un même écart entre le point et la flèche des deux vecteurs de base. Ainsi, dans ce cas, je lirai bien entre et une longueur sur ma règle (j'ai une règle assez spéciale ).

Quelqu'un pourrait-il m'aider à combler mes lacunes ? Merci.