olympiades de maths

[inviteb8028b00]

Voici un petit problème que je ne parviens pas à résoudre:
on considère 3 rééls positifs x,y ,z tels que
x+y - z > 0
x+z-y > 0
y+z -x > 0
Montrez que
(x+y - z )(x+z-y)(y+z -x)< xyz
J'ai développé la différence , essayé de factoriser mais sans succès.
Donc si quelqu'un a une piste,
merci d'avance
-----

[inviteb8028b00]

juste pour relancer le post

[invite7720c689]

C'est l'exercice 2 du chapitre 1 de http://www.animath.fr/cours/inegalites.pdf, à transformation de Ravi près.

[invite601b683b]

j'ai un petit souci
je ne vois pa commen men sortir ac se problem
svp aidez moi

La figure représente un couloir (les largeurs étant 200 cm et 150 cm).
Quelle doit être la longueur maximale de la planche AB pouvant franchir le virage?
On attend une valeur approchée à 1 cm près.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec7204958]

Bonsoir,

Si on appelle l'angle formé par AB avec l'axe des x on doit pouvoir facilement calculer la longueur AB, puis l'extrémum de cette longueur en fonction de , non ?

Cordialement

[invite601b683b]

merci beaucoup pour le conseil
mais vous entendez qoui par l'axe des x et extremum ?
je ne vois pas bien comment faire en fait

[invitec7204958]

Bonjour,

1) L'axe des x : n'importe quelle droite horizontale de la figure

2) L'extrémum : un minimum ou un maximum d'une certaine fonction

On peut en effet exprimer la longueur AB par une expression ayant comme seule inconnue (pour calculer cette longueur il faut bien sûr "placer" la planche au contact du coin intérieur du couloir)

Ma solution passe par la transformation du problème (géométrique) en une écriture algébrique, faisant intervenir des fonctions trigonométriques (sinus et cosinus pour être plus précis). Sans cette formulation... je ne sais pas faire

Cordialement

[invite601b683b]

oui mais une fois qu'on aura exprimé AB en fonction de lapha on aura pas assez de donnée pour pour finir le problème ?

[invitec7204958]

oui mais une fois qu'on aura exprimé AB en fonction de lapha on aura pas assez de donnée pour pour finir le problème ?

Si

1) Lorsqu'on va faire pivoter la planche dans le couloir, pour chaque valeur de l'angle , il faut que la planche ait une longueur inférieure à On voit qu'au début (comme en fin) de la manoeuvre la longueur AB est importante, alors que c'est dans l'intervalle (ça serait pour si les couloirs avaient la même largeur) que l'on est "le plus à l'étroit" pour placer la planche
2) La première étape est donc de calculer l'angle critique, telle que la distance AB est la plus courte = si on arrive à positionner la planche suivant AB avec cet angle la planche "passera" pour n'importe quel angle (AB c'est le segment joignant deux points des murs extérieurs et passant par le coin du mur intérieur)
3) Une fois cette valeur particulière de calculée il faudra bien sûr reporter cette valeur dans la formule donnant la longueur AB

A +

NB Bien sûr dans ce problème on suppose que la planche a une épaisseur nulle. Mais si c'était vrai on ne voit pas pourquoi la planche ne pourrait pas être flexible. Ca fait partie des différences entre problèmes mathématiques et problèmes de la vie courante

[invite35452583]

Salut Nemat,
certes mais comment fais-tu pour trouver la racine de 200sin(x)^3-150cos(x^)^3??

Possibilité géométrique :
Soit I le milieu de AB.
S le coin extérieur du couloir. S est sur le cercle de diamètre AB
AB=2SI, on en arrive à minimiser SI
Lieu des points I quand on fait varier conjointement A et B : une hyperbole dont on détermine facilement les asymptôtes.
S est un point de l'autre branche de cette hyperbole.
SI minimal quand (SI) est orthogonal à la tangente à I, I étant sur la branche comprise dans le couloir évidemment.

[invite35452583]

Ouh je suis bête mais si on trouve la racine facilement, enfin je préfère la solution géométrique.

[invitec7204958]

[...] enfin je préfère la solution géométrique.

Oui, et moi aussi. D'autant qu'en plus d'être élégante elle est efficace : tu calcules directement la longueur recherchée sans passer par le calcul de l'angle.

Bravo !

[inviteffae87dc]

moi j'ai un peu du mal avec ce probleme, même apres avoir essayé l'ebauche de solution de Nemat.
je trouve f'(alpha) mais ca m'avance pas à grand chose, je n'arrvie pas à vraiment le developper à fond.
quelqu'un pourrait il m'aider?

[invitec418c418]

Voici un petit problème que je ne parviens pas à résoudre:
on considère 3 rééls positifs x,y ,z tels que
x+y - z > 0
x+z-y > 0
y+z -x > 0
Montrez que
(x+y - z )(x+z-y)(y+z -x)<= xyz

Bien, déjà tu as xyz > 0, donc tu dois forcément avoir (x+y - z )(x+z-y)(y+z -x) > 0 aussi. Par symétrie des rôles, supposons x <= y <= z. Malgrès tout, cette hypothèse n'est pas suffisante car y + z - x serait négatif. La deuxième hypothèse à suggérer serait alors x < y + z.

Posons A = x + y - z, B = x - y + z et C = y + z - x.

2x = A + B => x = (A + B)/2
2y = A + C => y = (A + C)/2
2z = B + C => z = (B + C)/2

On a alors

ABC <= [(A + B)/2] * [(A+C)/2] * [(B + C)/2]

Quand tu veux démontrer une inégalité, soit tu passes tout d'un autre côté soit alors tu choisis un des 2 membres que tu transformes pour essayer de tomber sur le deuxième membre de ton inégalité. Ici, choisir le membre de droite est plus que judicieux :

(A + B)/2 >= V(AB), d'après l'inégalité de la moyenne

De même (A + C)/2 >= V(AC) et (B + C)/2 >= V(BC)

Vu que toutes ces inégalités sont dans le même sens, on peut les multiplier, cela nous donne :

[(A + B)/2] * [(A+C)/2] * [(B + C)/2] >= V(AB * AC * BC) = V(A²B²C²) = ABC, ce qui conclus.

i.e : V( ..) = racine carrée

[invite50dd3db0]

voila 1 ptit raisonnement
on x+y-z>0 et x+z-y>0 et aussi x>=o donc y>=z ou z>=y donc z=y
d'une autre part on a x*x+y*y>=2xy
donc 2xy-x*x<y*y
x(2y-x)<y*y
x*x(2y-x)<xyz car y=z
et on a y-z=0 donc x+y-z=x et x+z-y=x
donc x*x=(x+y-z)(x+z-y)
et 2y=y+y=y+z
donc (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)<xyz