corps des fractions

[invite986312212]

un anneau intègre unitaire admet un corps des fractions unique. Je suis intéressé par une sorte de réciproque.
Par exemple, existe-t-il un anneau dont R soit le corps des fractions? (autre que R bien entendu)
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[martini_bird]

Salut et bienvenue,

ta question est difficile.

Il faudrait qu'un tel anneau soit non dénombrable étant donné que le corps des fractions d'un anneau infini a même cardinalité que celui-ci (c'est un quotient d'un produit cartésien). Donc on ne peut pas l'écrire ou même où est la clôture algébrique de .

Il faudrait donc ajouter à une infinité non dénombrable de points, mais comment les choisir?

Désolé, je ne vois vraiment pas...

Cordialement.

[invite986312212]

je m'aperçois que j'ai oublié de formuler la question générale: est-ce que tout corps, de caractéristique 0, peut être vu comme le corps des fractions d'un anneau plus petit?

pour R, j'ai pensé à la construction suivante:
on peut voir R comme un espace vectoriel sur Q et on peut en choisir une base (non dénombable). On peut alors considérer le Z-module sur la même base (est-ce que ça marche?). Pour que ce soit un anneau, il faudrait que le produit de deux vecteurs de la base soit encore un vecteur de base (?). Est-ce qu'on peut imposer cette contrainte? il me semble que l'existence de bases fait appel au lemme de Zorn, je ne suis pas sûr qu'on puisse imposer des contraintes supplémentaires.

[martini_bird]

Salut,

on peut voir R comme un espace vectoriel sur Q et on peut en choisir une base (non dénombable).

Il est clair que dès ce point tu as besoin de l'axiome du choix (ou de manière équivalente le lemme de Zorn).

Soit une telle base. Alors où et (évidemment, la somme est finie).

Tu construis le -module . Mais pour en faire un anneau il faut donc que dans la formule les soient entiers pour toutes les combinaisons possibles de et . Il faut donc revenir sur le choix de la base , mais je ne suis pas sûr qu'il est possible d'en trouver une vérifiant ces conditions.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]