[Maths] [TS] Équations différentielles

[Seirios]

Bonjour,

est-ce que je pourrais avoir des exercices sur les équations différencielles s'il vous plaît? Je suis en TS et on a pas encore vu les intégrales (je précise parce que j'ai vu pas mal d'exos sur les équa diff avec des intégrales)....

Merci ^^

Voilà quelques exercices de bases pour commencer :

Exercice 1 :

1) Résoudre
2) Déterminez la solution dont la courbe représentative passe par

Exercice 2 :

Déterminez et de façon à ce que définie sur par , soit solution de

Exercice 3 : Résolution de (E)

1) Résoudre
2) Déterminer et de façon à ce que définie sur par soit solution de (E)


Par contre, je pourrais te donner des exercices plus intéressant en mélangeant les log, les exp et les équations différentielles. Ca t'intéresse quand même ?
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[Shiho]

Salut!

Merci Phys2 ^^

Exo I
1°) y' + 2y = 5 <=> y' = -2y + 5
On pose y' = ay + b avec a = -2 et b =5.
Soit f les fonctions qui vérifient y' + 2y = 5.
f(x) = C e^ax - b/a avec C une constante réelle.

On obtient f(x) = C e^-2x + 5/2.

2°) On cherche g(x) tel que g(0) = 1.
g(0) = C e + 5/2 = 1
C e = 1 - 5/2 = -3/2
C = -3e^-1/2

On reporte dans g.
g(x) = e^{-(1 + 2x)} +

Exo II
On cherche les solutions de y' + 2y = e^x + 3.
<=> y' = -2y + e^x + 3

Soit h(x) une fonction qui vérifie y' + y = e^x + 3.
h(x) = C e^-2x + avec C une constante réelle.

On identifie a et b.
a e^x = C e^-2x
a = C e^-3x

b = .


Exo III
1°) On cherche les solutions de y' + 2y = 0.
<=> y' = -2y

Soit f une fonction qui vérifie cette équation
f(x) = C e^-2x

2°) Euh... c'est pareil que l'exercice 2 non? lol j'ai la flemme de le réécrire...



Je veux bien d'autres exos pour les log je me débrouillerai...

@+++

[Seirios]

Pour l'exercice 1, la réponse 2 n'est pas bonne : certainenement une petite erreur d'inattention

Ensuite pour l'exercice 2, c'est faux

[Shiho]

Oulala vi... lol ça m'apprendra à ne pas me relire.

Bon l'exo 1 on a C = -3/2
donc g(x) = 3/2 * e^-2x + 5/2...

Pour l'exo 2 j'avais pas fait gaffe que e^x dépendait de x... on n'a pas encore des comme ça donc je potasse un peu et je reposte...

Merci ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[Shiho]

Salut!


Alors on a vu une méthode en physique pour la résolution d'équations différencielles comme y' + 2y = e^x + 3 donc je sais pas ce que ça donne là... bref voilà ce que j'ai trouvé:

On commence par chercher la solution générale de y' + 2y = 0.
Soit g(x) cette solution. g(x) = Ce^-2x où C est une constante réelle.

On cherche la fonction f(x) = ae^x + b (a et b appartiennent à |R) telle que f'(x) + 2f(x) = e^x + 3.

f'(x) = ae^x

f'(x) + 2f(x) = ae^x + 2 (ae^x + b)
f'(x) + 2f(x) = 3ae^x + 2b.

On identifie a et b.
f'(x) + 2f(x) = e^x + 3

3a = 1 <=> a = 1/3
2b = 3 <=> b = 3/2

On reporte dans f(x).
f(x) = e^x/3 + 3/2.

Les solutions de l'équation y' + 2y = e^x + 3 sont :
f(x) + g(x) = C e^-2x + e^x/3 + 3/2 où C est une constante réelle.

J'espère que c'est bon cette fois ^^

@+++

EDIT: en fait j'ai fait l'exo 2 et la deuxième question de l'exo 3 mais la solution générale de l'équation n'était pas demandée...

[Seirios]

C'est bon pour ces deux premiers exos

Par contre je me permets une petite critique (donc ce n'est pas forcément juste, alors si c'est faux, surtout que quelqu'un le précise ) :
Dans le début de l'exo 2, tu nommes C la constante réelle, ce qui peut parfois porter à confusion, étant donné que l'on retrouve ce terme dans la solution d'une équation différentielle (qui est égale à -b/a). Donc ce serait peut-être mieux d'appeller la constante autrement (moi je l'appelle k).

[Shiho]

Ah cool ^^

Pour C en classe on n'a pas vu les équa diff y' + 2y = e^x + 3 donc on utilisait C comme constante... lol je peux mettre k ça changera rien ^^

D'autant plus que maintenant qu'on les fait en physique je trouve ça nettement plus compliqué...

Ca te dérange de m'en mettre encore ? J'ai DS mercredi donc je vais bourriner on aura un exo sur 7 là-dessus => équa diff + étude de fonction exponentielle.

Merci

[Seirios]

Exercice 1 :

On considère l'équation différentielle (E)

1)Déterminez a de façon à ce que définie par soit solution de (E)

2) Montrez que est solution de (E) si et seulement si est solution de (E') définie par :

3) Résoudre (E')

4) Déduisez-en les solution de (E), et donnez celle qui s'annule en 0.


Exercice 2 :

On considère l'équation différentielle (E) :

1) Déterminez la solution de , telle que

2) Soit une fonction dérivable sur . On considère d'autre part telle que

Montrez que est solution de (E) si et seulement si

3) Résoudre (E)


Bonne chance

[Shiho]

Salut!

Exercice 1:
1°) On calcule g_a'(x) + 2g_a(x).
g_a'(x) + 2g_a(x) = -3ae^-3x + 2ae^-3x
g_a'(x) + 2g_a(x) = -ae^-3x
Or g_a(x) est solution de (E) donc -ae^-3x = 3e^-3x
-a = 3 <=> a = -3.

g_a(x) = -3e^-3x

2°) Là j'ai un problème. Je l'ai faite mais en utilisant g_a et non g. C'est bon ou pas ?

3°) (E') : y' + 2y = 0
y' = -2y
Soit h les solutions de (E').
h(x) = ke^-2x avec k une constante réelle.

4°) J'ai réutilisé g_a(x).
f - g_a vérifie (E')
f - g_a = ke^-2x
f(x) = ke^-2x + g_a(x)
f(x) = ke^-2x - 3e^-3x

Soit u(x) la fonction qui vérifie (E) telle que u(0) = 0.
u(0) = ke⁰ - 3e⁰ = 0
k - 3 = 0
k = 3

u(x) = 3e^-2x - 3e^-3x
u(x) = 3 (e^-2x - e^-3x)

Je ne peux pas aller plus loin dans la simplification si?


Exercice 2:
1°) On cherche la solution générale de y' - 2y = 0
Soit u(x) les solutions.
u(x) = ke^2x avec k une constante réelle.

On cherche h(x) une solution de y' - 2y = 0 tq h(0) = 1.
h(0) = ke⁰ = 1
k = 1.

h(x) = e^2x.

2°) On a f(x) = h(x)g(x).
f'(x) = h'(x)g(x) + h(x)g'(x) = 2h(x)g(x) + h(x)g'(x)
f'(x) - 2f(x) = 2h(x)g(x) + h(x)g'(x) - 2h(x)g(x)
f'(x) - 2f'x) = h(x)g'(x) = e^2x g'(x).

Or f(x) vérifie (E) donc
e^2x g'(x) =

g'(x) =


3°) J'ai pas encore trouvé je continue à chercher ^^

Bon ben j'espère que j'ai pas fait trop d'erreurs
Au fait dans la 2 j'ai utilisé h(x) parce que ça m'évitait de mettre les exposants

Merci pour les exos ^^

@+++

[Seirios]

2°) Là j'ai un problème. Je l'ai faite mais en utilisant et non g. C'est bon ou pas ?

Tu n'as qu'à garder g(x) dans tes calculs, ça suffira (sauf si tu utilises une autre méthode)

Bon ben j'espère que j'ai pas fait trop d'erreurs

Tout est bon

[Shiho]

Ok ça me fait plaisir

J'ai eu mon ds aujourd'hui je vise 14-15 merci beaucoup ^^