[Maths] [Prépa] Concours ENS, exercice qui fait mal

[Seirios]

Voilà le sujet que j'ai promis (désolé pour le retard ) :

Enoncé du concours d’entré à l’ENS en 2003, sujet de mathématiques.
Epreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan pour la filière MP (groupes M/MP/MI), aux ENS de Paris, Lyon et Cachan pour la filière MP (groupe I), et aux ENS de Paris et Lyon pour la filière PC (groupe I).
L’épreuve a une durée de quatre heures, et :

L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentations autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats.

Introduction

Soit un entier naturel non-nul. On note l’espace vectoriel de dimension des matrices carrée à coefficients dans le corps des nombres complexes. On note l’espace vectoriel de dimension des matrices colonne à coefficients dans , et l’espace vectoriel de dimension des matrices lignes. Enfin, on note le sous-ensemble de constitué des matrices de rang .

Si et sont deux éléments du groupe linéaire , on note l’endomorphisme de l’espace vectoriel défini, pour , par

.

On note l’endomorphisme transposition de , c’est-à-dire l’endomorphisme de défini par pour . On note alors

,
,

Et .
-----

[Seirios]

Première partie

On va montrer dans cette partie que les endomorphismes de l’espace vectoriel , tels que , sont précisément les éléments de .

1) Montrer que si , et si , alors .

2) Montrer que toute matrice de rang est produit d’un élément de par un élément de .

3) Soient et . On suppose que est rang , et que et sont linéairement indépendants dans .

3-a) Montrer qu’il existe , tels que , , et .

3-b) En déduire que et sont liés dans

4) Soient trois sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel . On suppose que . Monter que ou .

5) Si , on note . De même, on note pour .

5-a) Montrer qu’il s’agit là de sous-espaces vectoriels de , de dimension et constitués de matrices de rang inférieur ou égale à .

5-b) Soit un sous-espace vectoriel de , de dimension , et constitué de matrices de rang inférieur ou égal à . Montrer que est soit de la forme pour , soit de la forme pour .

5-c) Calculer, pour et , les intersections , et .
On se donne, jusqu’à la fin de cette partie, un endomorphisme sur l’espace vectoriel , tel que .

6) Montrer que l’image par d’un sous-espace vectoriel de , de dimension , et constitué de matrices de rang inférieur ou égale à , est du même type.

7) On suppose qu’il existe , non colinéaires, tels que et avec .

7-a) Montrer qu’il existe , telle que pour tout . [Indication : définir sur une base de .]

7-b)Montrer que . [Indication : raisonner par l’absurde.]

7-c) Montrer que pour tout , est de la forme avec .

7-d) Que dire de pour ?

7-e) Montrer que pour tout , il existe , telle que pour tout , on ait pour la matrice obtenue en 7-a).

7-f) Montrer que .

8) Conclure.

[Seirios]

Deuxième partie

On va montrer qu’un endomorphisme d’espace vectoriel de vérifie si, et seulement si, il est dans

1) Montrer que si , et si , alors

2) Soit , de rang

2-a) Montrer qu’il existe , telle que pour tout

[Indication : on commencera par traiter le cas où A est la matrice par blocs ]

2-b) Montrer qu’il existe , telle que soit non inversible pour exactement valeurs distinctes de

3) Soit un endomorphisme de , tel que

3-a) Montrer que si n’est pas inversible, alors non plus.

3-b) Monter que pour, on a :



3-c) En déduire que préserve le rang.

3-d) Conclure.

[Seirios]

Troisième partie

On note le groupe unitaire, c’est-à-dire le groupe des éléments de préservant le produit scalaire hermitien standard de . Si est un endomorphisme de , on note l’adjoint de , c’est-à-dire l’unique endomorphisme de vérifiant pour tout

Soit un endomorphisme de , tel que . On va montrer qu’alors

1) Montrer que pour tout endomorphisme sur , est un endomorphisme hermitien positif de même rang que
Soient et deux endomorphismes de , tels que soit unitaire pour tout nombre complexe de module . Montrer que et que

2) Soient des endomorphismes de , tels que soit unitaire pour tous complexes de module .

2-a) Montrer que pour , et que

2-b) Montrer que les espaces vectoriels sont deux à deux orthogonaux.

2-c) Montrer que

2-d) Montrer que pour tout endomorphisme unitaire , on a :



2-e) En déduire que pour tout , le rang de reste constant lorsque décrit . On admettra que pour tout , il existe une application continue , telle que , , et pour tout

2-f) Montrer que pour tous endomorphismes unitaires et , on a

3) Montrer qu’il existe un entier , et des endomorphismes de rang , tels que l’hypothèse de la question 2) ci-dessus soit satisfaite.

4) Montrer que

[A voir en vidéo sur Futura]

[Weensie]

Tu l'as fait ?
Il me semble qu'il ya certains caracteres illisibles , même si on devine bien à quoi ils correspondent .

[Seirios]

Tu l'as fait ?

Non, il me manquerait plusieurs notions avant de pouvoir le faire. Mais j'avais pensé qu'un sujet analogue aurait pu intéresser quelqu'un.

[Weensie]

En effet , il est pas mal mais il ya quelques erreurs typographiques qui empêchent sa compréhension .

[aNyFuTuRe-]

Si vous y arrivez envoyez moi un MP car c'est d'un gros niveau en fin de spé...