[Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

[invitefc60305c]

Salut.

Voila un exo du bac (2003) d'arithmétique (pgcd, congruence). Il est pas très dur mais pour s'entraîner ça peut être pas mal

On rappelle que 2003 est un nombre premier.

1)a) Déterminer deux entiers relatifs et tels que

b) En déduire un entier relatif tel que

c) Montrer que pour tout entier relatif x, si et seulement si

d) Déterminer l'ensemble des entiers relatifs x tels que

e) Montrer qu'il existe un unique entier n tel que : et


2) Soit un entier naturel tel que

a) Déterminer et en déduire qu'il existe un entier tel que

b) Montrer, que pour tout entier b, il existe un unique enier x tel que : et
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[invited9092432]

Merci. Mais j'avais déjà fait cet exercice une fois je crois.

Allons-y :

1) a) On détermine puis on remonte l'algorithme d'euclide et on obtient u=114 et v=-7.

b)

c) On montre aisément à partir de et en se servant de b.

d) x= 51984-2003k avec k appartenant à Z.

e) n est unique et n=25.

2) Le PGCD de a et 2003 est 1 car 2003 est premier et 1<a<2003. Par contre, j'arrive pas à déduire l'existence d e m.

[invitefc60305c]

Fais moi la c) correctement pour voir si tu raisonnes correctement par équivalence.

d) C'est juste mais tu pouvais poser
Pour arriver

e) faux

2)a) 2003 et a premiers entre eux <=> = 1 <=> ??? Une autre façon d'exprimer cela.

[invited9092432]

Fais moi la c) correctement pour voir si tu raisonnes correctement par équivalence.

oui, monsieur :


<=>
<=>
<=>
<=>

2)a) 2003 et a premiers entre eux <=> PGCD(a;2003)=1 <=> ??? Une autre façon d'exprimer cela.

j'ai essayé mais je trouve que
il existe n=PPCM(a;2003) tel que

n=2003.a

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefc60305c]

Il n'y a pas de ppcm ici
Plus simple !
Si x et y sont premiers entre eux (donc pgcd(x;y) = 1, alors il existe...

[invited9092432]

n=1909

non, je vois pas pour la relation

[invitefc60305c]

exact pour n


emeroeht ed tuozetb !

[invited9092432]

exact pour n


emeroeht ed tuozetb !

oh m....

j'y ai meme pas pensé.

bon alors il existe m et n apparteannt a Z tels que

m.a+2003.n=1
<=> m.a=1-2003.n
<=> a.m