[Maths] [L1] Structure de groupe ?

**Seirios** · 31/01/2007, 16h22

Et bien moi je n'ai pas besoin d'exercices, mais simplement d'aide

Alors comme je suis très égoïste, je me poste mes propres exercices

:

Il y a pas mal d'exercices, donc je ne mets pour l'instant que les deux premiers :

Exercice 1 :

Dire dans les cas suivants si on définit une loi de groupe :

a) $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

b) $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

c) $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

d) $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Exercice 2 :

On définit une opération $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ en posant : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

a) Montrer que $\text{[math]}$ est un groupe. Est-il abélien ?

b) Pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on appelle $\text{[math]}$ l'application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ . Montrer que $\text{[math]}$ : le groupe des permutations de $\text{[math]}$ . Montrer que l'application : $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ est un morphisme de groupe injectif.

c) On note $\text{[math]}$ . Montrer sans calculs que ( $\text{[math]}$ est un groupe.

PS : Je tiens à remarquer que ces exercices viennent de ce cours que je trouve vraiment très bien fait.
Et puis pour le déplacement du message (dont je remercie d'avance le modérateur), il s'agit d'exercices de MPSI sur les structures algébriques.

**Seirios** · 01/02/2007, 17h13

b) Si $\text{[math]}$ est un groupe, alors on doit avoir :

$\text{[math]}$

C'est-à-dire $\text{[math]}$

Or cette équation n'a pas de solution dans $\text{[math]}$ . Donc $\text{[math]}$ n'est pas un groupe.

c) Si $\text{[math]}$ est un groupe, alors on doit avoir :

$\text{[math]}$

C'est-à-dire $\text{[math]}$ , ou encore $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ possède un élément neutre sur $\text{[math]}$ .

On doit également avoir :

$\text{[math]}$

C'est-à-dire $\text{[math]}$ , qui n'a pas de solution dans $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ n'admettant pas d'éléments de symétrie sur $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ n'est pas un groupe.

**Seirios** · 03/02/2007, 12h31

d) $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ est une loi de composition interne de l'ensemble $\text{[math]}$

On a $\text{[math]}$

Et $\text{[math]}$

D'où $\text{[math]}$ , et donc l'associativité de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$

On pose $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ .

D'où $\text{[math]}$ , et donc l'existence d'un élément neutre de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .

On pose également $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ .

D'où $\text{[math]}$ , et l'admission d'un élément de symétrie de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .

On a également $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

D'où par la commutativité de l'addition $\text{[math]}$ , et donc la commutativité de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ est un groupe abélien.

invite3bc71fae · 07/02/2007, 20h22

Envoyé par Phys2

$\text{[math]}$

Je n'ai pas encore regardé plus loin mais attention, c'est $\text{[math]}$ et non pas ce que tu as écrit...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite3bc71fae · 07/02/2007, 20h28

Envoyé par Phys2

C'est-à-dire $\text{[math]}$ , qui n'a pas de solution dans $\text{[math]}$ .

Je ne suis pas d'accord, à x fixé dans G, l'équation du premier degré à une inconnue x' a toujours une solution dans G.

invite3bc71fae · 07/02/2007, 20h37

Envoyé par Phys2

On pose également $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ .

D'où $\text{[math]}$ , et l'admission d'un élément de symétrie de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .

Mal dit,! Tu fixes x et tu cherches x' tel que $\text{[math]}$ et tu en déduis que le symétrique de x est -x.

invite3bc71fae · 07/02/2007, 20h43

Attention pour les éléments neutres. A part si tu as prouvé d'abord que la structure est commutative, tu dois vérifier:
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ car il existe des magmas possédant un éléments neutre d'un seul côté.

**Seirios** · 15/02/2007, 09h48

Bonjour,

Envoyé par doryphore

Je n'ai pas encore regardé plus loin mais attention, c'est $\text{[math]}$ et non pas ce que tu as écrit...

Désolé, une petite erreur d'inattention

Voilà un complément d'après tes conseils :

d) On a $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$

Et la correction d'une grosse erreur que tu m'as fait remerqué :

c) $\text{[math]}$

Or $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$

De même, $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ est par conséquent une loi de composition interne sur $\text{[math]}$ .

On a $\text{[math]}$

Et $\text{[math]}$

D’où $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ est associative sur $\text{[math]}$ .

On a également $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

On en déduit par la commutativité de l’addition et de la multiplication que $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ est commutative sur $\text{[math]}$ .

On pose $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$

On a par conséquent l’élément neutre $\text{[math]}$ par la loi $\text{[math]}$ .

On pose également $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$

On peut écrire que $\text{[math]}$

De plus, comme l’équation $\text{[math]}$ n’a pas de solution dans $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ admet un élément de symétrie $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$ est un groupe abélien.

**Seirios** · 15/02/2007, 11h49

a) On a $\text{[math]}$

Comme $\text{[math]}$ et par conséquent $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est une loi de composition interne de $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ , on a :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

D’où $\text{[math]}$ , et donc l’associativité de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

D’après la commutativité de l’addition et de la multiplication, on a par conséquent : $\text{[math]}$

La loi $\text{[math]}$ est donc commutative sur $\text{[math]}$ .

On pose $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$

On a par conséquent l’existence d’un élément neutre $\text{[math]}$ .

On pose $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$

D’où $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ admet un élément de symétrie pour tout élément de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

On ne déduit que $\text{[math]}$ est un groupe abélien.

invite1ff1de77 · 16/02/2007, 07h44

bonjour
pour la loi x*y=(x^3 + x^3)^(1/3)
si je retrouve une application bijective tel que
f(x*y)=f(x)+f(y)
c'est un isomorphisme de groupe ccar on a une structure de groupe pour la loi + dans R
et
f(x)=x^3.
donc il y un transfert de structure
d'ou la structure de groupe pour la loi *
non?

**Seirios** · 16/02/2007, 14h19

Bonjour,

Envoyé par the strange

bonjour
pour la loi x*y=(x^3 + x^3)^(1/3)
si je retrouve une application bijective tel que
f(x*y)=f(x)+f(y)
c'est un isomorphisme de groupe ccar on a une structure de groupe pour la loi + dans R
et
f(x)=x^3.
donc il y un transfert de structure
d'ou la structure de groupe pour la loi *
non?

Si je t'ai bien suivi, on a bien l'application $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ qui est bien un isomorphisme de groupe.

**Seirios** · 16/02/2007, 14h20

Exercice 2 :

a) $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$

De même, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$

Donc la loi $\text{[math]}$ est une loi de composition interne sur $\text{[math]}$ .

On a $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

D’où $\text{[math]}$

Donc la loi $\text{[math]}$ est associative sur $\text{[math]}$ .

On a également $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

D’où $\text{[math]}$ et la non-commutativité de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$

On pose $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$

D’où $\text{[math]}$ . De plus, on a $\text{[math]}$

On a également $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

D’où $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ admet un élément neutre dans $\text{[math]}$ .

On pose $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$

D’où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Or $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ admet un élément de symétrie pour tout élément de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$ est un groupe non-abélien.

**Seirios** · 16/02/2007, 14h23

b) Par contre j'aurais besoin d'une aide pour montrer que $\text{[math]}$ , parce que je ne vois pas comment je pourrais faire.

Quelqu'un pourrait m'aider ?

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Re : exprimez-vous : quels exercices voulez vous ?

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