Bonjour
Dans le cadre des TPE j'étudie le GPS et les satellites.
Je voudrais savoir comment faire pour trouver l'intersection de 3 sphères en connaissant le rayon de chacune et en sachant que ces sphères se coupent en un seul point. Est-ce que quelqu'un pourrait m'apporter de l'aider???
(Je suis en première S donc le niveau en mathématiques n'est pas encore très perfectionné)
D'avance Merci
Snoc
Faut connaitre le rayon des sphères et les coordonnées de leurs centre.
Tu auras 3 èquations du style:
(x-x1)² + (y-y1)² + (z-z1)² = R1²
(x-x2)² + (y-y2)² + (z-z2)² = R2²
(x-x3)² + (y-y3)² + (z-z3)² = R3²
3 èquations donc, et 3 inconnues: x, y et z qui sont les coordonnées de ton intersection.
Bonjour,Envoyé par Snoc
Déjà, vu le cadre, il est important de préciser que les coordonnées des 3 centres sont connues. (Une des plus grosses difficultés technologiques est là).
Ce que t'as donné Gloubiscrapule est juste mais insuffisant car ce système peut admettre 0,1,2, une infinité de solutions, d'une part, et, d'autre part, ne donne aucune indication pour comment résoudre ce genre de systèmes sans éviter un recours pénible aux racines carrées.
Commençons par l'intersection de deux sphères de centre O1 et O2 et de rayon R1 et R2. Les deux sphères sont symétriques par les rotations d'axe O1O2, il en est donc de même de l'intersection. Cette symétrie permet de se limiter à regarder temporairement ce qui se passe dans un plan contenant O1 et O2. Un tel plan est intersecté par un cercle de centre O1 et de rayon O1 par la 1ère sphère et par un cercle de centre O2 et de rayon R2 par la seconde sphère. On en est ramené à l'intersection de deux cercles situés dans un même plan ce qui est aisé.
Si O1O2>R1+R2, intersection vide, (cas qu'on éliminera car ne correspond pas au cadre, positionnement par GPS, on est bien quelque part)
si O1O2=R1+R2, les deux cercles sont tangents ainsi que les sphères, l'intersection est réduit à un point,
si O1O2<R1+R2, l'intersection dans le plan des deux cercles est une paire de points symétriques par rapport à O1 et O2, et par symétrie de rotatio autour de O1O2, l'intersection des deux sphères est un cercle situé dans un plan perpendiculaire à O1O2.
Est-il facile de déterminer analytiquement ce plan ? Oui, comment ?
On fait la différence des équations des deux sphères :
(x-x1)² + (y-y1)² + (z-z1)²-R1²=0 et (x-x2)² + (y-y2)² + (z-z2)²-R2²=0
[(x-x1)²-(x-x2)²] + [(y-y1)²-(y-y2)²] + [(z-z1)²-(z-z2)²]-(R1²-R2²)=0
Après développement, les x², y² et z² disparaissent, il ne reste que des x, y et z et des constantes, c'est l'équation d'un plan. Le centre du cercle d'intersection est l'intersection de ce plan et de O1O2 donc assez facile à connaître. Le calcul du rayon se fait alors avec le théorème de Pythagore.
Maintenant 3 sphères.
Avec ce qui précède, on peut explorer la rechcerche de l'intersection d'un cercle C12 et d'une sphère S3 :
on projette le centre de cette sphère sur le plan contenant le cercle C12, avec le thèorème de Pythagore on détermine le rayon du cercle C3 intersection de ce plan et de la sphère S3, on en est ramenè à l'intersection de deux cercles qui ont de manière habituelle deux points d'intersection sauf tangence des deux cercles.
Ou, encore plus simple techniquement (du moins à la main, pour les machines efficace et agréable ne sont pas nécessairement synonymes) les sphères S1 et S2 ont une intersection contenues dans un plan P12, de même
les sphères S2 et S3 ont une intersection contenues dans un plan P23, itou pour S3 et S1 d'intersection contenue dans P31.
Que peut_on dire de ces plans? Ils sont tous les droits perpendiculaires à un des côtés du triangle O1O2O3.
(Dans le cas où deux sphères sont tangentes, le plan contenant l'intersection à considérer (car il n'est plus alors unique) est celui-ci car c'est le plan tangent aux deux sphères passant par le point de tangence et donc le seul plan passant par ce point et ne contenant que ce point de chacune des deux sphères, tous les autres plans coupent les sphères selon un cercle et contiennent donc des points des sphères qui ne sont pas dans l'intersection).
Ainsi :
Les trois plans sont perpendiculaires au plan O1O2O3
Pij coupe OiOj en Oij le centre du cercle intersection (ou le point de tangence) des sphères Si et Sj
Pij est perpendiculaire à OiOj donc son intersection Dij avec O1O2O3 est perpendiculaire à OiOj.
Pij est perpendiculaire au plan OO
Les trois plans Pij se coupent selon une droite D perpendiculaire à O1O2O3. Cette droite intersection coupe O1O2O3 en un point I, (ce point est à l'intersection des droites Dij par définition).
Est-il aisé de déterminer I ? Assez oui, en effet :
on sait déterminer l'équation de P12 (cf.ci-dessus) l'équation de P23 (même méthode), ces deux plans se coupent selon une droite sauf si O1,O2 et O3 sont alignés (cas qui ne se présente pas, si ce sont trois satellites situés à même altitude, c'est la conséquence du fait qu'une droite ne peut couper une sphère en plus de deux points, si ce sont deux satellites et le centre de la terre alors cela implique que les deux satellites sont diamétralement opposés et donc il est impossible que l'appareil GPS les détecte en même temps).
I est à l'intersection de cette droite D et du plan O1O2O3 (qui se coupe car perpendiculaire).
Autrement dit les coordonnées de I est l'unique solution du système donné par les équations de P12, P23 et de O1O2O3 qui est un système linéaire de trois équations à trois inconnues donc à solution unique et à résolution somme toute pas trop difficile.
Comment déterminer les coordonnées des intersections des sphères à partir de I ?
Commençons par remarquer que les sphères sont symétriques par rapport au plan O1O2O3 donc si un point d'intersection ne se situe pas sur ce plan (et ça ne peut être qu'en I car unique point de ce plan O1O2O3 à l'intersection de P12, P23 et P31) alors son symétrique est aussi point à l'intersection des trois sphères.
Est-ce possible ? oui en théorie, non en pratique.
1er cas un des centres est celui de la terre les deux autres des satellites, les coordonnées sont déterminées par tangence de cercles : précision absolument médiocre ; fais un dessin pour t'en convaincre prends deux points sur une feuille dessine deux cercles tangents, cache les deux centres et le reste de la feuille à l'exception du voisiange du point de tangence, après avoir regardé ailleurs et tente de retrouver avec précision ce point de tangence)
2ème cas : les trois centres sont des satellites et ce cas de figure implique que les trois satellites sont à l'horizon (O1O2O3 est tangent à la terre), la liaison appareil GPS-satellites est médiocre et la précision plus qu'incertaine si cela fonctionne ce qui est plus que douteux)
En pratique il y a deux points d'intersection entre ces trois sphères (dont les centres sont des satellites) mais alors comment distinguer le bon point ? En se représentant la situation on voit qu'un point est sur la terre l'autre est dans l'espace. Pour que la liaiison s'effectue bien entre l'apparaeil de détection GPS et les satellites il faut que la terre soit du même côté que le plan formé par O1O2O3 ce qui élimine l'ambiguité créée par l'existence des deux points d'intersection.
Revevons à nos moutons "techniques" déterminer les coordonnées dans l'espace du point G d'intersection terrestre des trois sphères à partir de I.
G est sur la perpendiculaire au plan O1O2O3 passant par I. Le plan O1O2O3 a pour coordonnées ax+by+cz=k et le point I a pour coordonnées (x',y',z'). Un vecteur normal et unitaire à O1O2O3 (programme 1ère S si mes souvenirs sont bons maintenant j'espère que tu l'as vu) est
Les coordonnées de G sont de la forme (x'+da';y'+db';z'+dc') ()
Le signe de d est obtenue en considérant que le point cherché est du même côté que le centre de la terre (pris comme origine des coordonnées) par rapport à O1O2O3.
La valeur absolue de d est obtenue par une simple application du théorème de Pythagore (seule intervention d'une racine carrée dans la résolution), par exemple
d²=R1²-IO1².
Bonne digestion.et bon courage.
Cordialement
