Intersection de 2 sphères - différentielles?

[lauren-gbx]

Bonjour,
Je suis plutôt perdue quant à comment résoudre ce problème :

on considère 2 sphères :
S1=x² + y² + z² = 1
S2=x² + (y-c)² + (z-c)² = 1 - 2c + 2c²
avec c appartenant à R*

Montrer que les 2 sphères se coupent selon le cercle C de réprésentation paramétrique
x=1/ * cos(t)
y = (1/2) * (1 + sin(t))
z= (1/2) * (1 - sin(t))

L'exo est inclus dans un chapitre sur les opérateurs différentiels, j'en conclus qu'il faut que j'utilise la notion de gradient, mais comment? En prenant n₁ et n₂ 2 vecteurs normaux à S₁ et S₂ et en faisant le produit vectoriel, j'ai un vecteur tangent à C...mais en un point seulement, non?
De plus, je ne vois pas vraiment comment relier ça à la représentation paramétrique qu'on me donne...

Déterminer c de manière que S1 et S2 soient orthogonales au point (0,1,0).
Je ne vois pas non plus par où commencer cette question

Merci pour votre aide!
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[indian58]

Bonjour,

Montrer que les 2 sphères se coupent selon le cercle C de réprésentation paramétrique
x=1/ * cos(t)
y = (1/2) * (1 + sin(t))
z= (1/2) * (1 - sin(t))

Tu sais que l'intersection de deux sphères est le vide, un point, un cercle ou une sphère. Montre que cette représentation convient!

Déterminer c de manière que S1 et S2 soient orthogonales au point (0,1,0).

Euh...Tu entends quoi par là?

[lauren-gbx]

J'ai trouvé que l'intersection de mes deux sphères est un cercle, mais est-ce qu'il suffit simplement de montrer que les équations paramétriques qu'on me donne conviennent?

Euh...Tu entends quoi par là?

Belle question...
L'intersection de mes surfaces est un cercle, donc je ne vois pas comment S1 et S2 pourraient être orthogonales en un point...et que vient faire mon paramètre c là-dedans?

[doryphore]

C'est une histoire de plans tangents à tes sphères en ce point mais je me demande si ce n'est pas "perpendiculaire" plutôt qu'orthogonal.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite116650d7]

J'ai trouvé que l'intersection de mes deux sphères est un cercle, mais est-ce qu'il suffit simplement de montrer que les équations paramétriques qu'on me donne conviennent?

Tu sais que l'intersection est un cercle. Si tu montres que tes équations paramétriques conviennent, tu pourras déduire que ce cercle est l'intersection cherchée, puisqu'il est unique.

[ericcc]

Je ne comprends pas l'énoncé :

Si on résout le système on trouve deux équations :

x²+y²+z² = 1
y+z = 1/2c

qui définissent bien l'intersection de la sphère unité et du plan d'équation y+z =1/2c.

MAIS :

l'équation paramétrique proposée ne comprend pas de paramètre c ?

l'intersection n'existe pas toujours (quid de c<1/2 ?)

Je me demande si tu as l'énoncé exact ?

[invite35452583]

Bonjour,
il n'est pas demandé de trouver l'intersection ùmais plus subtilement de montrer que celle qui est donnée est bien l'intersection.
Il n'y a donc qu' à remplacer x,y et z par les expressions données et vérifier les équations de S1 et S2 (pour celle de S2 il est plus rapide d'utiliser le fait que l'équation de S1 l'est). Ca se fait sans grande difficulté. Autre méthode, celle d'Eric mais en ne faisant pas d'erreur y+z=1 et non 1/2c.
Ceci informe que la famille de sphère S2 est une famille de sphéres qui s'appuient toutes sur un cercle fixe (qui contient le point de coordonnées (0,1,0) d'ailleurs, soit directement avec les équations des S2 ou en prenant t=pi/2)

Maintenant,
les centres des deux sphères sont sur le même plan (d'équation x=0), on peut donc se ramener à un plan, le cercle intersection s'y projète orthogonalement sur un segment. Le lieu décrit par les centres de S2 est une droite. A partir de là il n'est pas difficile de déterminer c.

[ericcc]

[QUOTE=homotopie;902507]Bonjour,
mais en ne faisant pas d'erreur y+z=1 et non 1/2c.
QUOTE]

J'ai honte !

[lauren-gbx]

C'est Ok, merci beaucoup à tous!