Démo : ( |sin (n) / sin (n+1)| ) diverge

prgasp77 · 09/05/2007, 20h36

Bonjour à tous.
Je me demandais s'il étai possible de démontrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ divèrgeait autrement (et plus joliment) qu'en le démontrant par l'absurde (c'est un peu lourd).
$(u_n)_{n\in\mathbb{N}} \,\,=\,\, \left( \| \frac{\sin n}{\sin (n+1)} \| \right)_{n\in\mathbb{N}}$

Quelqu'un a une idée ?

chwebij · 10/05/2007, 01h24

je ne connais pas celle par l'absurde et ma rigeur peut laisser à désirer:

$\frac{sin(n)}{sin(n+1)}=\frac{ sin(n)}{sin(n)cos1+cos(n)sin1} =\frac{1}{sin1*cotan(n)+cos(1) }$
or pour n tendant vers l'infini, cotan ne converge pas et ne diverge pas ver l'infini donc la suite diverge

prgasp77 · 10/05/2007, 03h59

On en revient à démontrer que cotan(n) divèrge. Deplus, c'est la valeur absolue du rapport qui m'intéresse

PopolAuQuébec · 10/05/2007, 04h35

Citation:

Envoyé par prgasp77

On en revient à démontrer que cotan(n) divèrge. Deplus, c'est la valeur absolue du rapport qui m'intéresse

Salut,

Si on prend l'expression donnée par chwebij :

$\frac{sin(n)}{sin(n+1)}=\frac{ 1}{sin1*cotan(n)+cos(1)}$

il suffit de montrer que pour tout $N$ on peut trouver une valeur de $n$ , avec $n>N$ , qui rende l'expression $sin1*cotan(n)+cos(1)$ aussi près de $0$ que l'on veut. Bien que je ne vois pas trop comment le démontrer de façon rigoureuse.

Gwyddon · 10/05/2007, 04h38

La valeur absolue ne change rien au problème

Pour montrer la divergence de cotan(n), tente par exemple de prendre deux suites extraites qui convergent vers deux points différents (méthode classique avec la trigo)

prgasp77 · 10/05/2007, 05h39

Citation:

Envoyé par Gwyddon

La valeur absolue ne change rien au problème

Ca je le sais, mais comment le démontrer. Il existe des suites qui divergent mais dont la valeur absolue converge, ne serait-ce que (-1)ⁿ.

prgasp77 · 10/05/2007, 05h50

En réalité, la démo par l'absurde que j'avais était fausse, je me lance dans une aute et j'ai réussi à démontrer que $(u_n)$ convèrge implique que $(v_n)$ converge vers 1 implique que pour tout $m\,\in\,\mathbb{N}^*$ , $(w_n)$ convèrge vers 1, avec,
$v_n \,=\, \|\frac{\cos(n)}{\cos(n+1)}\|$
$w_n \,=\, \|\frac{\cos(n)}{\cos(n+m)}\|$

Mais je suis bloqué là. Si une des deux propriétés ci-avant vous aide ... pour m'aider à mon tour

Ledescat · 10/05/2007, 07h26

Vous m'épatez, vous ne dormez pas de la nuit ?
Sinon, vu la tête de la suite lorsqu'on la trace, on a bien envie de prendre des suites extraites, mais elle m'a l'air quand même assez désordonnée...

prgasp77 · 10/05/2007, 16h29

Citation:

Envoyé par Ledescat

Vous m'épatez, vous ne dormez pas de la nuit ?

Popol et Gwyddon ont 5 et 6h de différence avec nous

Quant à moi j'ai parfois des crises d'insomnies, je fais des maths et de l'info ^^ un vrai geek quoi.

Gwyddon · 10/05/2007, 17h40

Non non, 9h

Mais d'aucuns se souviendront que l'an dernier j'ouvrais des sujets de maths à 3h du matin sur le forum, dont le "célèbre" sujet sur le nombre 26

Ledescat · 10/05/2007, 18h58

Ah tout s'explique, je suis idiot

prgasp77 · 10/05/2007, 23h25

Heu et heu ... poru ma démo tout s'explique aussi ? Je suis en train de tourner en rond c'est horrible :'( Je reviens systématiquement au même point

09/05/2007, 20h36	#1
prgasp77 Date d'inscription: février 2004 Localisation: Île de France / Troyes Âge: 21 Messages: 970	Démo : ( \|sin (n) / sin (n+1)\| ) diverge Bonjour à tous. Je me demandais s'il étai possible de démontrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ divèrgeait autrement (et plus joliment) qu'en le démontrant par l'absurde (c'est un peu lourd). $(u_n)_{n\in\mathbb{N}} \,\,=\,\, \left( \\| \frac{\sin n}{\sin (n+1)} \\| \right)_{n\in\mathbb{N}}$ Quelqu'un a une idée ?

10/05/2007, 01h24	#2
chwebij Date d'inscription: janvier 2006 Localisation: chez moi au chaud Âge: 22 Messages: 1 577	Re : Démo : ( \|sin (n) / sin (n+1)\| ) divèrge je ne connais pas celle par l'absurde et ma rigeur peut laisser à désirer: $\frac{sin(n)}{sin(n+1)}=\frac{ sin(n)}{sin(n)cos1+cos(n)sin1} =\frac{1}{sin1*cotan(n)+cos(1) }$ or pour n tendant vers l'infini, cotan ne converge pas et ne diverge pas ver l'infini donc la suite diverge __________________ AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

10/05/2007, 03h59	#3
prgasp77 Date d'inscription: février 2004 Localisation: Île de France / Troyes Âge: 21 Messages: 970	Re : Démo : ( \|sin (n) / sin (n+1)\| ) diverge On en revient à démontrer que cotan(n) divèrge. Deplus, c'est la valeur absolue du rapport qui m'intéresse

10/05/2007, 04h38	#5
Gwyddon Date d'inscription: octobre 2004 Localisation: Paris la plupart du temps, au CERN à Genève parfois Messages: 17 697	Re : Démo : ( \|sin (n) / sin (n+1)\| ) diverge La valeur absolue ne change rien au problème Pour montrer la divergence de cotan(n), tente par exemple de prendre deux suites extraites qui convergent vers deux points différents (méthode classique avec la trigo) __________________ _ Quel est ton sujet de thèse ? _ hahaha !! (rire hystérique pendant 1 heure)

10/05/2007, 05h50	#7
prgasp77 Date d'inscription: février 2004 Localisation: Île de France / Troyes Âge: 21 Messages: 970	Re : Démo : ( \|sin (n) / sin (n+1)\| ) diverge En réalité, la démo par l'absurde que j'avais était fausse, je me lance dans une aute et j'ai réussi à démontrer que $(u_n)$ convèrge implique que $(v_n)$ converge vers 1 implique que pour tout $m\,\in\,\mathbb{N}^$ , $(w_n)$ convèrge vers 1*, avec, $v_n \,=\, \\|\frac{\cos(n)}{\cos(n+1)}\\|$ $w_n \,=\, \\|\frac{\cos(n)}{\cos(n+m)}\\|$ Mais je suis bloqué là. Si une des deux propriétés ci-avant vous aide ... pour m'aider à mon tour

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10/05/2007, 07h26	#8
Ledescat Date d'inscription: janvier 2007 Localisation: Saint-Raphaël (Var) Âge: 20 Messages: 4 292	Re : Démo : ( \|sin (n) / sin (n+1)\| ) diverge Vous m'épatez, vous ne dormez pas de la nuit ? Sinon, vu la tête de la suite lorsqu'on la trace, on a bien envie de prendre des suites extraites, mais elle m'a l'air quand même assez désordonnée... __________________ Cogito ergo sum.

10/05/2007, 17h40	#10
Gwyddon Date d'inscription: octobre 2004 Localisation: Paris la plupart du temps, au CERN à Genève parfois Messages: 17 697	Re : Démo : ( \|sin (n) / sin (n+1)\| ) diverge Non non, 9h Mais d'aucuns se souviendront que l'an dernier j'ouvrais des sujets de maths à 3h du matin sur le forum, dont le "célèbre" sujet sur le nombre 26 __________________ _ Quel est ton sujet de thèse ? _ hahaha !! (rire hystérique pendant 1 heure)

10/05/2007, 18h58	#11
Ledescat Date d'inscription: janvier 2007 Localisation: Saint-Raphaël (Var) Âge: 20 Messages: 4 292	Re : Démo : ( \|sin (n) / sin (n+1)\| ) diverge Ah tout s'explique, je suis idiot __________________ Cogito ergo sum.

10/05/2007, 23h25	#12
prgasp77 Date d'inscription: février 2004 Localisation: Île de France / Troyes Âge: 21 Messages: 970	Re : Démo : ( \|sin (n) / sin (n+1)\| ) diverge Heu et heu ... poru ma démo tout s'explique aussi ? Je suis en train de tourner en rond c'est horrible :'( Je reviens systématiquement au même point

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