Nombres élevés au carré.

[ClaudeH]

Bonjour..
Il y a t-il une façon qui permette de calculer de tête tous les nombres élevés au carré de 1 à 100.
A part de les apprendre par coeur
Question posée par ma fille qui est en 3ème.

Merci.
-----

[cedbont]

Bonjour,
je ne crois pas mais tu peux utiliser l'identité remarquable :
(a+b)² = a² + b² 2*a*b
Exemple : 83² = (80+3)² = 80² + 3² + 2*80*3 = 6400 + 9 + 480 = 6889
89² = (90-1)² = 90² + (-1)² - 2*90*1 = 8100 + 1 - 180 = 7921

[ClaudeH]

Bonjour,
je ne crois pas mais tu peux utiliser l'identité remarquable :
(a+b)² = a² + b² 2*a*b
Exemple : 83² = (80+3)² = 80² + 3² + 2*80*3 = 6400 + 9 + 480 = 6889
89² = (90-1)² = 90² + (-1)² - 2*90*1 = 8100 + 1 - 180 = 7921

Merci Pour ta réponse, mais je pense que tu n'as pas compris ma question.
Ou alors je me suis très mal exprimé.
Exemple:
Tu sais calculer de tête les carrés de tous les nombres se terminant par "0"
10*10 = 100
20*20 = 400
30*30 = 900
Etc

Dans ton identité R (83)² Je pense que tous les nombres se teminant par le chiffre "3" de 1 à 100 à savoir 3, 13, 23, 33, 43 ..Etc ont une similitude concernant le calcule de leur carré.

Exemple.
Pour tous les nombres se terminant par "1"
Le résultat de leur carré doit sytématiquement se terminer par le chiffre "1"
11, 21, 31, 41, etc

11²
On élève au carré le chiffre de la dizaine.
1² = 1.
On multipli par 2 le chiffre de la dizaine.
1x2 = 2. et on insère le résultat Donc -> 121

21²
2² = 4,
2x2 = 4.
resultat 441

31²
3² = 9
3x2 = 6.
resultat 961
Bon pour l'isntant je n'ai que ça.
ce sont des opération facilement réalisable de tête
Cordialement.

[Jeanpaul]

Ben, vous dites tous les deux la même chose !
Dans la pratique, il peut être utile de connaître les carrés des nombres de 0 à 20. Au-delà, c'est discutable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ClaudeH]

Ben, vous dites tous les deux la même chose !
Dans la pratique, il peut être utile de connaître les carrés des nombres de 0 à 20. Au-delà, c'est discutable.

Bonjour..
Ce n'est pas une question d'utilité, plutôt de savavoir faire.


Il m'est possible de calculer de tête le carré de tous les nombres se terminant par "1", de 1 à 100 avec cette petite astuce que je cite auparavant.
Je pense avoir trouvé une astuce pour tous les nombres qui se terminent par "2" de 1 à 100.
cordialement.

[manimal]

Bonjour à tous
Je me permet de mettre mon grain de sel la dedans
10²=100
20²=400
30²=900
40²=1600
etc jusqu'à 90²
D aprés l identité remarquable on (a+b)²=a²+b²+2ab=a²+b(b+2a)
69²=(60+9)²=60²+9(9+120)
=3600+9*129
Ensuite il faut ètre très fort en calcul mental
Cordialement.
Manimal.

[manimal]

Re bonjour j ai trouvé mieux
53²=53*53
=3²+
20*3*5+
50²
89²=89*89
=9²+
20*8*9+
80²
En fait il faut connaitre
_ses tables de multiplication jusqu à 9*9
_tous les carrés de 1 à 9 et des dizaines 10 à 90
_ et savoir multiplier un nombre quel qu il soit par 20
Voilà
J espère vous avoir aidé
Cordialement.
Manimal.

[cedbont]

Je n'avais pas compris ce que tu demandais. Par contre avec l'identité remarquable proposée il est facile de voir que :
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 0 ont leur carré se terminant par 0,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 1 ont leur carré se terminant par 1,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 2 ont leur carré se terminant par 4,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 3 ont leur carré se terminant par 9,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 4 ont leur carré se terminant par 6,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 5 ont leur carré se terminant par 5,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 6 ont leur carré se terminant par 6,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 7 ont leur carré se terminant par 9,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 8 ont leur carré se terminant par 4,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 9 ont leur carré se terminant par 1.

[invitee012a593]

J' ai trouvé un super site avec une bonne méthode
je vous laisse le lien : http://perso.orange.fr/therese.eveil...ances.htm#zero

[invite107f353e]

Je n'avais pas compris ce que tu demandais. Par contre avec l'identité remarquable proposée il est facile de voir que :
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 0 ont leur carré se terminant par 0,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 1 ont leur carré se terminant par 1,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 2 ont leur carré se terminant par 4,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 3 ont leur carré se terminant par 9,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 4 ont leur carré se terminant par 6,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 5 ont leur carré se terminant par 5,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 6 ont leur carré se terminant par 6,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 7 ont leur carré se terminant par 9,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 8 ont leur carré se terminant par 4,
tous les nombres de 10 à 100 se terminant par 9 ont leur carré se terminant par 1.

Pas besoin d'identité pou ça : quand on pose l'opération, on voit déjà ça 1*1=1; 2*2=4 ; 3*3=9 ....

J' ai trouvé un super site avec une bonne méthode
je vous laisse le lien : http://perso.orange.fr/therese.eveil...ances.htm#zero

On peut pas calculer de tête avec ça.


Moi, je crois que j'ai pas bien compris la question : il suffit d'utiliser l'identité (a+b)² = a²+2ab+b² pour calculer de tête le carré de 100 premiers entiers.
pour les nombres qui finissent par 1 c'est juste plus rapide. Pour le reste le calcul revient au même...

[cedbont]

Pas besoin d'identité pou ça : quand on pose l'opération, on voit déjà ça 1*1=1; 2*2=4 ; 3*3=9 ....

Ahh bon alors, sans calculette et sans prendre des heures de calcul, comment fais-tu pour trouver le dernier chiffre de 87² ?

[invitec053041c]

Ahh bon alors, sans calculette et sans prendre des heures de calcul, comment fais-tu pour trouver le dernier chiffre de 87² ?

87²=(80+7)²=80²+2*7*80+7²
Les deux premiers sont des multiples de 10, il suffit de regarder le dernier chiffre de 7²=49, c'est donc 9.

[cedbont]

C'est bien ce que je dis : on a besoin de l'identité (a+b)² = a² + 2.a.b + b²

[invitec053041c]

C'est bien ce que je dis : on a besoin de l'identité (a+b)² = a² + 2.a.b + b²

Ben l'identité sert de "démonstration". Et de dire que le dernier chiffre du carré d'un nombre correspond au dernier chiffre du carré du dernier chiffre du nombre, mdr.
En gros, le dernier chiffre de 7842 est le dernier chiffre de 2² c'est 4.
La dernier chiffre de 156449² est le dernier chiffre de 9², c'est à dire 1.

[invite107f353e]

bah c'est 9 parce que si tu poses l'opération 87*87, tu commence par 7*7 = 49 je pose 9 et je retiens 4 , 7*8 = 56, 56+4 = 60 je pose 60.
et après tu décales donc le chiffre sera 9.

P.S. : pour calculer 87² je prends pas plus de 10s à la main et non pas des heures

[erff]

Il y a une méthode pr les nombres finissant par 5

- exemple : 85²
on met 25 en bout
no calcule 8*9 (8*(8+1))=72 donc le résultat est 7225 (on concatene les 2 nombres)
- 35² : 3*4=12 donc résultat : 1225
- 45² : 4*5=20 donc résultat : 2025

Je vous laisse imaginer la preuve de ceci...

[cedbont]

Oui, ça j'ai bien compris. Il n'empêche que pour déterminer le dernier chiffre d'un carré en base 10, l'utilisation de l'identité est plutôt utile.

PS : quand je dis des heures, il faut le prendre avec humour .

[erff]

Je me permet d'ajouter une technique permettant de calculer une racine cubique (entiere) de nombres entre 4 et 6 chiffres....
on constate qu'il y a bijection entre les chiffres des unités :
. en elevant au cube
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 8
3 --> 7
4 --> 4
5 --> 5
6 --> 6
7 --> 3
8 --> 2
9 --> 9

exemple : pour calculer la racine cubique de 250047
C'est un nombre a 2 chiffres se terminant par 3 vu le tableau
un raisonnement sur l'odre de grandeur nous permet de dire que c'est 63 sa racine cubique (de l'ordre de 250000 donc le chiffre des dizaines élevé au cube sera de l'ordre de 250 en étant inférieur et 6*6*6=216 alors que 7*7*7=343 (trop grand))...Il suffit de connaitre par coeur les cubes de 1,2,3,4,5,6,7,8,9, et les correspondances et on peut calculer les racines cubiques en quelques secondes
Bon ca n'a pas d'utilité mais je trouve cela sympa.

[invite107f353e]

Il y a une méthode pr les nombres finissant par 5

- exemple : 85²
on met 25 en bout
no calcule 8*9 (8*(8+1))=72 donc le résultat est 7225 (on concatene les 2 nombres)
- 35² : 3*4=12 donc résultat : 1225
- 45² : 4*5=20 donc résultat : 2025

Je vous laisse imaginer la preuve de ceci...

donc un nombre se terminant par 5 peut être écrit 10d +5 et son carré (10d+5)²
on voit que celui-ci se termine par 25 donc maintenant intéressons-nous à l'expression (10d+5)²-25.
C'est une différence de carrés : on peut factoriser :
(10d+5)² -25 = [(10d+5)+5][(10d+5)-5] = 10d(10d+10) = 10d*10(d+1) =100*d(d+1)
Et on en déduit :
(10d+5)² = 100*d(d+1)+25
CQFD

[erff]

Tu es en 5eme ?
Si c'est le cas, tu connais pas mal de choses (il me semble que les histoire de factorsation se voient en 3eme)!

[invited7005a5b]

Je pense que pour trouver le dernier chiffre du carré d'un nombre, on peut introduire les congruences. Donc si un entier n a pour congruence c modulo 10, alors on peut trouver un entier d verifiant: n=10d+c. Donc n²=(10d+c)²
Donc n² se terminera par c²( c'est pour ca que tous les nombres se terminant par 3 ont leurs carrés qui se terminent par 9, Ceux qui se terminent par 7 ont leur carrés qui se terminent par 9, ...)

[invitec053041c]

Je pense que pour trouver le dernier chiffre du carré d'un nombre, on peut introduire les congruences. Donc si un entier n a pour congruence c modulo 10, alors on peut trouver un entier d verifiant: n=10d+c. Donc n²=(10d+c)²
Donc n² se terminera par c²( c'est pour ca que tous les nombres se terminant par 3 ont leurs carrés qui se terminent par 9, Ceux qui se terminent par 7 ont leur carrés qui se terminent par 9, ...)

Oui c'est exactement ce que j'avais dit, mais apparemment ça ne leur plaît pas, ma foi .