[arithmétique] N.Calédonie nov 2002

[invitefc60305c]

Bonsoir.
Voilà un exo d'arithmétique pour changer des proba !
Merci d'avance d'y jeter un coup d'oeil


Soit x et y deux entiers naturels non nuls et premiers entre eux.
On pose S = x + y et P = xy

1) Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S.

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Par hypothèse : il existe (u;v) d'entiers tel que xu + yv = 1
xu + yv = 1
xu + yv + yu = 1 + yu
(x+y)u + yv = 1 + yu
(x+y)u + yv - yu = 1
(x+y)u + y(v-u) = 1 CQFD.
Vu les rôles symétriques de x et y, y et S sont premiers entre eux. (merci homotopie)

b) En déduire que S et P sont premiers entre eux.

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xu + Sv = 1
yu' + Sv' = 1
En multipliant membre à membre
(xu + Sv)(yu' + Sv') = 1
Puu' + Suv' + Svyu' + SSvv' = 1
P(uu') + S(uv'+vyu'+Svv') = 1
On pose u'' = uu' et v'' = uv'+vyu'+Svv'
u'' et v'' sont des entiers
Pu'' + Sv'' = 1 CQFD

c) Démontrer que S et P sont de parités différentes.

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Si S et P pairs, alors pgcd(S;P) = 2 or pgcd(S;P) = 1 d'après 1)b), absurde.
Si S et P impairs, alors xy impair alors x et y impairs alors S pair, absurde.

2) Déterminer les diviseurs positifs de 84

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Div(84) = {1;2;3;4;6;7;12;14;21;28;42;84 }

3) Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que SP = 84

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D'après Div(84), (3;28) ; (4;21) ; (7;12) correspondent.

4) Déterminer les 2 entiers naturels a et b vérifiant :
a+b = 84
ab = avec d = pgcd(a;b)
On pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers entre eux.

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J'ai pas trouvé, mais déjà je sais que :
a+b pair <=> ab impair => impair <=> d impair.
et si a+b pair alors a et b pairs ou a et b impairs. Or ab impair donc a et b impairs.

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[erff]

Pour le dernier :
a+b pair n'est pas équivalent à ab impair !!! (prendre 2 et 2 par exemple)
- Je propose une solution :
on déduit de tout ça que :
d(x+y)=84 et xy=d donc
xy(x+y)=84

Reste à faire l'inventaire des diviseurs de 84 en trouvant tous les triplets dont l'un est somme des 2 autres :
on trouve donc x et y puis d puis a et b

[invited7005a5b]

Serieusement j'apprécie bien tes exercices anonymus, ca me rapelle ma terminale; Sinon je ne comprends pas bien ta réponse a la question 3. Je l'ai résolue en faisant chaque cas(C'est a dire en egalant S a tous les diviseurs de 84) et j'obtiens pour couple (x,y) les couples: (4,3) et (84,1).
Sinon pour la dernière question, il faut utiliser les inconnues x, et y que l'énoncé introduit. Grace a cela tu auras xy(x+y)=84.A ce niveau tu te sert de la question 3;

[invitefc60305c]

Merci bien manu tabeko... enfin tu apprécies les exo du bac, mais ça me touche quand même

En tout cas, moi j'te (vous tous) remercie, ça me permet de m'améliorer.

Sinon oui j'ai fait n'importe quoi au 3), la fatigue. Et le 4) était assez évident, j'aurai du réussir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[manimal]

Bonsoir anonymus
Moi aussi ça me rappelle ma terminale
Et quand je vois
S=x+y et P=xy
Je pense toute de suite à
X²-SX+P=0
avec les deux solutions de cette équation qui sont x et y
Je ne sais pas si je suis hors sujet.
Cordialement.
Manimal.

[manimal]

Re bonsoir pour la question 3
avec
X²-SX+P=0
on multiplie par P ce qui donne
PX²-SPX+P²=0
SP=84
Delta=(SP)²-4P
D ou la question 4
Cordialement.
Manimal.

[CHRISEG]

Bonjour,
j'ai trouvé un truc intéressant pour cette question 4:

Le produit ab est au maximum de 42 x 42 = 1764
On cherche en fait un cube (d^3) inférieur à 1764 égal au produit ab et dont la somme a + b = 84.
On peut retirer et additionner une constante respectivement à a et à b c'est à dire à 42 et 42 jusqu'à trouver "un produit qui fait cube" :
Par exemple, (42 - 1) (42 +1) = 41 x 43 = 1763 mais 1763 n'est pas un cube,
(42 - 3) (42 + 3) = 39 x 45 = 1755 mais 1755 n'est pas un cube...
Finalement, (42 - 6) (42 + 6) = 36 x 48 = 1728 et 1728 est le cube de 12.
Donc a = 36 et b = 48 ; on vérifie:
36 + 48 = 84 et 36 X 48 = 12^3 et d est bien le PGCD de (36;48) au moins, ça marche...

salut !