[spé TS] Centres étrangers 2002 : arithmétique

[invitefc60305c]

Bonjour.
Je suis de retour avec un ptit exo d'arithmétique, rien de bien méchant !

http://forums.futura-sciences.com/BA...ngersS2002.pdf -> exo 2 de spé.

Je bloque à la dernière question, 1)c).

Soit p un nombre premier et (E) : x² + y² = p² avec x et y des naturels non nuls.

1) Mq si p = 2 alors (E) n'a pas de solutions.

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x² + y² = 4 donc x² < 4 et y² < 4 or x et y sont des naturels non nuls. Ce qui exclue aussi les cas (2;0) et (0;2).

2) On pose désormais p différent de 2 et que le couple (x;y) est solution de (E).
a) Mq x et y sont de parités différentes.

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Supposons x et y tous les deux pairs. Il existe 2 entiers k et q tel que x=2k et y=2k. (E) devient 4k² + 4q² = p² <=> 4(k²+q²) = p² ce qui implique que p est pair, ce qui est impossible car p premier et différent de 2 par hypothèse.
Supposons x et y tous les deux impairs. x=2k+1 et y=2q+1. (E) devient 4k² + 4k + 1 + 4q² + 4q + 1 = 2(2k² + 2k + 2q² + 2q + 1) or p premier impair, c'est donc impossible.

b) Mq x et y non divisibles par p.

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P divise x et y implique p < x et p < y (inégalités larges). Or p > x et p > y d'après (E). Il reste les cas x = p et y = p, qui sont impossibles.
Preuve: si x = p alors y = 0 ce qui est impossible par hypothèse. De même avec y = p.

c) En déduire que x et y sont premiers entre eux.

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[invite35452583]

Bonsoir,
le 1) tu annonces que deux cas sont exclus, certes ils le sont mais étaient-ils les seuls possibles, c'est vrai mais tu ne l'as pas montré. Il est peut être plus simple de trouver à partir des inégalités 0<x²<4 et 0<y²<4 combien devraient valoir x et y et juste constater que cela ne convient pas.
le 2), à part qu'il pourrait sans doute être allégé, rien à redire.
le 3), le contraire de "x et y non divisbles par p" n'est pas "x et y divisbles par p", le raisonnement par contraposée est la bonne voie mais tu dois trouver une contradiction en supposant seulement que x ou y est divisble par p.
le 4) que se passerait-il si un nombre d divisait x et y ?

[invitefc60305c]

1) Il n'y a pas de carré inférieur à 4 à part 1. Mais x² = 1 ne convient pas. J'vois pas le problème.

3) On pose x ou divisible par p.
x divisible par p implique p > x ou p = x. Or p < x et (p=x) => y = 0 ce qui est impossible.
y divisible par p implique p > y ou p = y. Or p < y et (p=y) => x = 0 ce qui est impossible.

C'est mieux ?

4) Si d divise x et y alors
Donc
Or p premier donc p ne peut etre divisible par d. A moins que d = p or d'après question précédente, x et y non divisible par p, donc par d ! absurde.

[chr57]

salut,

pour le 2.b) j'aurais fait différemment:

-> supposons que p divise x (ou y), mais pas l'autre membre:
il existe a appartenant à N* privé de 1 tel que a.p=x
ainsi, x²+y²=p² <=> a².p²+y²=p² <=> y²=p².(1-a) < 0

=> p ne divise pas l'un des deux membres.

-> supposons que p divise x et y:
il existe alors a et b appartenant à N* privé de 1 tels que ap=x et bp=y
ainsi, x²+y²=p² <=> a².p²+b².p²=p² <=> (a²+b²)=1 : ce qui est impossible.

EDIT: ah oui, c'était peut-être un peu long

[A voir en vidéo sur Futura]

[chr57]

il existe a appartenant à N* privé de 1 tel que a.p=x

oui, il fallait juste lire a et b appartenant à N*.

pareil, ici:

il existe alors a et b appartenant à N* privé de 1 tels que ap=x et bp=y

[invite35452583]

1) Il n'y a pas de carré inférieur à 4 à part 1. Mais x² = 1 ne convient pas. J'vois pas le problème.

Le problème est que tu ne te contentes pas d'écrire cela et que tu ne conclues pas.
Tu écris
"x² + y² = 4 donc x² < 4 et y² < 4 or x et y sont des naturels non nuls. Ce qui exclue aussi les cas (2;0) et (0;2).
Cela exclut les cas (2;0) et (0;2) OK bien qu'ils arrivent ici comme un cheveu sur la soupe (quelle est la justification de leur apparition ? je la vois bien en réfléchissant 1"-2", là n'est pas le problème, mais c'est le type d'"effort" qu'il ne faut jamais demander lors d'une correction en examen )
Ensuite ce terme "aussi" d'où vient-il ? Cela suppose qu'il y ait d'autres cas exclus ((1;1) peut-être ?)
Mieux vaut un très simple
Si p=2, on a 1<=x²<x²+y²=p²=2²=4 avec x entier naturel donc x=1 ; de même on a y=1. Ainsi (x;y)=(1;1) est la solution possible mais ne convient pas non plus car 1²+1²=2<p²=4, il n'y a donc pas de solution.

3) On pose x ou divisible par p.
x divisible par p implique p > x ou p = x. Or p < x et (p=x) => y = 0 ce qui est impossible.
y divisible par p implique p > y ou p = y. Or p < y et (p=y) => x = 0 ce qui est impossible.

C'est mieux ?

Et bien le moins que l'on puisse dire est que la preuve commence très mal. (Au fait, pour y un "de même" est largement suffisant, et si tu veux mettre un argument : "vu les rôles symétriques de x et de y" "vu la symétire entre x et y"...)
Cherche à simplement montrer que x²+y²>p² avec cette hypothèse (tu tournes autour de cette idée en fait).

4) Si d divise x et y alors
Donc
Or p premier donc p ne peut etre divisible par d. A moins que d = p or d'après question précédente, x et y non divisible par p, donc par d ! absurde.

Ok,

[invitefc60305c]

Ok j'ai compris.
Merci bcp !

[invite4e9186a9]

3. On suppose maintenant que p est une somme de deux carrés non nuls, c’està-
dire : p = u2 +v2 où u et v sont deux entiers naturels strictement positifs.
a. Vérifier qu’alors le couple ¡ u2 −v2 ; 2uv¢ est solution de l’équation E.
b. Donner une solution de l’équation E, lorsque p = 5 puis lorsque p = 13.
4. On se propose enfin de vérifier sur deux exemples, que l’équation E est impossible
lorsque p n’est pas somme de deux carrés.
a. p = 3 et p = 7 sont-ils somme de deux carrés ?
b. Démontrer que les équations x2 + y2 = 9 et x2 + y2 = 49 n’admettent pas
de solution en entiers naturels strictement positifs.

Pour les question 3a/b et 4/a j'arrive à résoudre; mais la derni_re question m'intrigue parce que je ne sais pas comment démontrer rigouresement j'ai peur de dire : "comme 9 n'est pas la somme de de deux carrés alors l'éasuation n'a pas de solution", or en disant cela je n'ai rien dit puisque je en démonter rien.
Que faire?

[invite35452583]

"comme 9 n'est pas la somme de de deux carrés alors l'éasuation n'a pas de solution", or en disant cela je n'ai rien dit puisque je en démonter rien.
Que faire?

Et bien montrer proprement ton affirmation. Ce n'est pas très difficile. On peut supposer x et y positifs strictement (car...), on peut supposer x<=y (car...), x²<=9/2 (car...) il n'y a que x=1 à vérifier.
Pour l'autre (avec 49) il n'y a que 4 cas à vérifier.

[invite4e9186a9]

Et bien montrer proprement ton affirmation. Ce n'est pas très difficile. On peut supposer x et y positifs strictement (car...), on peut supposer x<=y (car...), x²<=9/2 (car...) il n'y a que x=1 à vérifier.
Pour l'autre (avec 49) il n'y a que 4 cas à vérifier.

sincèrement je n'ai pas très bien compris

[invite35452583]

sincèrement je n'ai pas très bien compris

On voit très vite que l'équation x²+y²=9 ne peut avoir qu'un nombre fini de solutions car x²>=0 et y²>=0 (les inégalités sont même stricts vu l'énoncé) et donc y²=9-x²<9, de même x²<9. Mais cela laisse n possibilités pour x et n pour y soit 64. Après on réduit pour x donné on ne regarde évidemment pas tous les y mais on se contente de regarder si 9-x² est un carré d'entier. Soit encore n possibilités pour x et n vérifs en y. On peut diviser n par 2, en remarquant que l'équation est symétrique en x et en y.
Evidemment pour 9, n=2 donc ce n'est peut être pas utile de réduire autant les cas à vérifier mais pour 49, ça commence à devenir intéressant de le faire et d'une manière générale c'est raement mauvais de chercher à diminuer le nombre de cas à vérifier.
Pour x²+y²=9, il suffit donc de dire.
y est non nul donc y²>0, et x²<9, abs(x)<3.
Deplus x >0, donc x=1 ou 2.
Mais pour x=1, on a y²=9-1²=8 il n'y a pas de solution en y
et pour x=2, on a y²=9-2²=5 il n'y a pas de solution en y.
Il n'y a donc pas de solutions à l'équation x²+y²=9 avec x et y entier naturels non nuls.