Règle de l'Hopital

[invite6e217b33]

Alors voilà, il y a quelque chose que je ne comprend pas du tout :
- Pourquoi n'est-ce tout bonnement pas enseigné dès le lycée ?

Parce que l'utilité de cette "Règle de l'Hopital" est tout de même incroyable l
Souvent elle aurais pu être utile pour répondre à des question sur le forum, et personne ne l'utilise !

Par exemple j'ai vu ce genre de question :

Bonjour je ne me souviens plus de la limite de

ln(1+n)/(1+n)
lors n ---> l'infinie

avec la règle de l'Hopital, c'est immédiat...

Pour info, un petit rappel sur cet outil qui nous à été transmis par Mr de L'Hopital, élève d'un certain Cauchy :

Supposons que :

lim g(x)=limf(x)=0
ou que : lim |g(x)|=lim |f(x)|=+infini
...lorsque x tends vers u, u étant a,a-,a+, +infini, ou bien -infini

alors si lim (f'(x)/g'(x)) existe lorsque x tend vers u
( f'(x)=df(x)/dx et g'(x)=dg(x)/dx )

alors lim (f(x)/g(x))=lim (f'(x)/g'(x)) lorsque x tend vers u

Celà veut dire que si on a une fonction de la forme f(x)/g(x) et que l'on cherche sa limite lorsque x tend vers quelque chose, alors on aura :
lim (f(x)/g(x))=lim (f'(x)/g'(x))
...si on obtient encore une forme indéterminée, on recommence en dérivant encore une fois et ainsi de suite.


donc :

lim [ln(x)/x] lorsque x-->0+ = lim [(1/x)/1] lorsque x-->0+ = lim (1/x) lorsque x-->0+ = + infini (CQFD)

Vous pouvez essayer avec toutes les limites de forme indérterminées que vous trouverez, ça marche à chaque fois : c'est imparable !

exemples : sin(x)/x, x-->0
cos(x)/(x-Pi/2), x-->Pi/2
Polynôme/Polynôme, x-->+ ou - infini
x/exponentielle(x), x-->+infini
ln(x)/xalpha , x-->+infini
ln(x)/cot(x), x-->0+
tan(x).ln(sin(x), x--> Pi/2
x/(x-1)-1/ln(x), x-->1+
(sin(x)-x)/x3, x-->0
tan(2x)/ln(1+x), x-->0

Bluffant non ?
-----

[inviteaf1870ed]

Guillaume de l'Hopital était un mathématicien du 17e siècle, il n'est donc pas un élève de Cauchy, qui vivait deux cents ans plus tard !

Par ailleurs sa règle est en effet utile, mais devient obsolète dès lors que l'on maîtrise les développements limités.

[invite6e217b33]

Ha oui, excuses moi, tout vérifié, c'était l'élève de Bernouilli, bien vu.

Là où j'ai fait la confusion, c'est que cette "Règle", pour être démontrée complêtement, passe par un Théorème de Cauchy.

Par contre, là où je ne suis plus d'accord c'est quand tu dis :

devient obsolète dès lors que l'on maîtrise les développements limités.

Avec la règle de l'Hopital, tu écris 2 lignes, avec les développement limités, pas toujours faciles à manipuler, tu en écrira 10.

Pourquoi se passer d'un outil mathématique aussi simple à manipuler ?
Ce que je constate, c'est que peut de gens la connaisse... je trouve ça dommage.

Lorsque j'étais étudiant, j'ai vu un professeur d'université sécher pendant 2 heures sur une forme indéterminée, même avec les développements limités.
Avec la règle de l'Hôpital, ça n'a mis que 20 secondes et 2 lignes.
(D'accord, là où j'ai eu l'air , c'est quand il m'a demandé d'en faire la démonstration )

[invite4ef352d8]

en ce qui me concerne je vois deux bonne raison.

premièrement, parceque c'est de la cuisine :

les dévelopement limité et les intégrations de relation de comparaison sont tous aussi simple à utiliser mais surtous beaucoup beaucoup plus generaux. la ou la regle de l'hopital ne s'applique finalement que dans quelque cas particulier, les dévelopement limité regle tous ces problemes de limites sans diffciulté.

bref c'est quelque chose qui ne servirais qu'au lycée, et que les élèves devrait s'empresser d'oublier arrivé dans le supérieur.


deuxiement : essai de trouver une démonstration de ce résultat niveaux lycée hein ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[Calvert]

premièrement, parceque c'est de la cuisine :

les dévelopement limité et les intégrations de relation de comparaison sont tous aussi simple à utiliser mais surtous beaucoup beaucoup plus generaux. la ou la regle de l'hopital ne s'applique finalement que dans quelque cas particulier, les dévelopement limité regle tous ces problemes de limites sans diffciulté.

bref c'est quelque chose qui ne servirais qu'au lycée, et que les élèves devrait s'empresser d'oublier arrivé dans le supérieur.

Je vais me poser en défenseur de cette règle. Ce n'est pas parce qu'elle ne s'applique que dans certains cas (et je ne dirais pas quelques cas, car finalement, les limites de type 0/0 et consors sont relativement fréquentes) qu'il ne faut pas l'utiliser, car elle est simplissime à appliquer, quitte à revenir en deuxième approche aux développements limités si elle ne permet pas de trouver de solution.

Ce n'est pas de la cuisine, dans le sens où c'est complétement démontré. Pourquoi se priver d'une règle simple?

deuxiement : essai de trouver une démonstration de ce résultat niveaux lycée hein ^^

Je ne sais pas ce que vous faites au Lycée en France, mais j'ai démontré l règle de l'Hospital au Lycée en Suisse.

Pour finir, je reste partisan des solutions les plus simples. Aussi, je l'utilise à chaque fois que j'en ai l'occasion. C'est complétement complémentaire au développement limité.

[invite6e217b33]

deuxiement : essai de trouver une démonstration de ce résultat niveaux lycée hein ^^

Non, ça c'est un très mauvais prétexte (enfin je trouve). On peut très bien l'aborder en disant que c'est un outil (utilisable niveau 1ere S sans soucis), en disant que la démonstration de l'outil est plutôt de niveau Bac+2.
Perso, je ne trouverais pas ça pas choquant du tout.
Bref, depuis quand à t'on besoin d'apprendre à construire une voiture pour passer le permis et l'utiliser ?

Sinon, je trouve que pour de la cuisine, c'est de la bonne cuisine. Et ce que je trouve dommage, c'est que notre pays la France se passe d'un outil créé par Français ! La première fois que j'ai entendu parler de De l'Hôpital, c'est aux états-unis, au lycée, en France, je n'en ai jamais entendu parler...

Edit : merci Calvert

[invite67941a78]

Mon proffesseur de math de MPSI avait dit quelque d'étrange lorsqu'on a vu la règle de l'Hospital :

Cette règle n'est plus dans le cours car elle permet de résoudre certains exercices trop facilement....

Réponse bizarre...mais ca répond à ta question....

[invitec053041c]

Niveau lycée,on peut déjà établir ce résultat dans un cas gentil de l'hospital comme cela (et on admet le reste, comme on fait assez au lycée):



Qu'en pensez-vous ?

[invite6e217b33]

Mon proffesseur de math de MPSI avait dit quelque d'étrange lorsqu'on a vu la règle de l'Hospital :

Cette règle n'est plus dans le cours car elle permet de résoudre certains exercices trop facilement....

Réponse bizarre...mais ca répond à ta question....

Haaaaaa, là on y vient et ça se tient comme explication.

Franchement j'ai pitié pour ces Lycéens à qui on leur fait apprendre par coeur une liste imbuvable de forme indéterminées pour résoudre les problêmes qu'ont leur aura jetés en pâture.
C'est une méthode d'enseignement à l'intérêt pédagogique très limité que de vouloir faire des têtes trop pleines plutôt que bien faites, n'est-ce pas ?
Une fois Technicien ou Ingénieur, bref actif, vous vous moquez bien de la démonstration, par contre vous êtes heureus d'avoir l'outil !

[inviteaf1870ed]

De mon temps cette règle était vue au lycée et démontrée en Sup...Si mes souvenirs sont bons la démonstration était facile en utilisant la deuxième formule de la moyenne

[invite4021e8ad]

lorsque j'étais en prépa (84) la règle n'était pas au programme de sup ou spé.

Evidemment tout le monde la connaissait et l'utilisait...

[invite35452583]

Niveau lycée,on peut déjà établir ce résultat dans un cas gentil de l'hospital comme cela (et on admet le reste, comme on fait assez au lycée):



Qu'en pensez-vous ?

Rien (bien au contraire) n'interdit d'enseigner cette astuce en cours, il suffit de préciser aux élèves ou étudiants que l'on réutilise l'astuce, ce qui n'est pas long à rédiger, et non que l'on applique la règle de l'Hospital.

Maintenat je suis d'accord avec la non application un peu bête de cette règle sur certains exercices dont le but est de faire progresser les élèves et étudiants vers une appréhension plus fine analytique que cette application réduit à néant. Bref règle trop puissante avant les DL, règle un peu obsolète ensuite. Maintenant je trouve dommage que l'on puisse sortir d'un cursus de formation scientifique sans la connaître. d'autant plus qu'elle permet contrairement aux DL, d'arrêter les calculs juste à ce qu'il faut (pour les DL, il y a toujours la question jusqu'à quel ordre on développe ?).

[invitec053041c]

Bref règle trop puissante avant les DL, règle un peu obsolète ensuite.

Très bon résumé de cette règle...

[invite4ef352d8]

"Franchement j'ai pitié pour ces Lycéens à qui on leur fait apprendre par coeur une liste imbuvable de forme indéterminées pour résoudre les problêmes qu'ont leur aura jetés en pâture."


en meme temps, c'est quand meme un minimum de connaitre par coeur la limite de sinx/x, ou x*exp(-x) etc etc...


quand a la démonstration précedente elle ne marche que dans un cas particulierement simple... cas ou la regle de l'Hopital est totalement inutile



sinon, personnellement je n'ai jammais utilisé cette regle, et je ne connais aucun exemple ou elle est plus efficace que des Dl ou des intégrations de relation de comparaison...

[invitec053041c]

quand a la démonstration précedente elle ne marche que dans un cas particulierement simple... cas ou la regle de l'Hopital est totalement inutile

Je ne vois pas pourquoi qualifier cette démonstration d'inutile. Elle fonctionne par exemple pour tan(2x)/ln(1+x) ; (sin(x)-x)/x3 etc...
C'est-à-dire dans tous les cas où f(0)=g(0)=0, et même dans le cas de l'infini où on peut mettre la tête à l'envers.

[invite4ef352d8]

mais dans les cas ou elle s'appliqueil s'agit de deux taux d'accroisement, qui est une technique connu - et normalement maitrisé - par les eleves de terminales.

donc si c'est uniquement ca pour vous la regle de l'hopital alors je vous arrete tous de suite : les eleves de terminal la connaisse tres bien !

[invitec053041c]

Oh ne sois pas de mauvaise foi , j'ai utilisé exprès ces deux exemples (tan(2x)/ln(1+x) ; (sin(x)-x)/x3 ) pour ne pas faire intervenir un taux d'accroissement !

[invite6e217b33]

en meme temps, c'est quand meme un minimum de connaitre par coeur la limite de sinx/x, ou x*exp(-x) etc etc...

Ha ? ne trouve-tu pas que c'est franchement plus intelligent de savoir retrouver le résultat plutot que de le connaître par coeur ?

Tu as peut-être une mémoire phénoménale mais moi non et je préfère largement me remplir le ciboulot avec une seule formule que tu qualifies d'inutile mais qui me sert de couteau suisse pour n'importe quel cas plutot qu'une 50aines qui ne répondent pas forcément à tous les cas de figures que je pourrais rencontrer.

Il y a des cas où sans cette règle de l'Hôpital, tu peux toujours t'accrocher pour trouver le résultat en moins de 30 secondes

C'est un peu comme avec les formules de trigo où avec trois formules mathématiques (d'accord, il faut avooir abordé les nombres complexes), tu arrives assez facilement à toute les retrouver. Les formules de trigo, si je dis qu'il y e à 50, je ne dois pas en être loin et ne me dis pas que tu les connais toutes !

[invite4ef352d8]

tan(2x)/ln(1+x) c'est un taux d'accroisement.

(sin(x)-x)/x^3 je te l'accord c'est un peu plus compliqué sans Dl et sans regle de l'Hopital... le probleme c'est que la démonstration donné précedement ne marche dessu ^^ (car f'(a)=g'(a)=0...)

"Ha ? ne trouve-tu pas que c'est franchement plus intelligent de savoir retrouver le résultat plutot que de le connaître par coeur ?" >>> avoir bessoin de réflechir en terminal S pour dire que (sin x)/x tend vers 1 c'est assez inquietant je trouve...


"Il y a des cas où sans cette règle de l'Hôpital, tu peux toujours t'accrocher pour trouver le résultat en moins de 30 secondes" donne moi s'en une seul et tu m'aura totalement convaincu, mais j'en doute ^^

[invitec053041c]

"Il y a des cas où sans cette règle de l'Hôpital, tu peux toujours t'accrocher pour trouver le résultat en moins de 30 secondes" donne moi s'en une seul et tu m'aura totalement convaincu, mais j'en doute ^^

Ouais mais men fout j'utilise les DL , jvoulais juste un peu défendre la petite règle.
Pourquoi tan(2x)/ln(1+x) est un taux d'accroissement?

[invite4ef352d8]

ba c'est tan(2x)/x * x/ln(1+x)

tous les eleve de terminal savent faire cela normalement...

[invitec053041c]

Ah d'accord, donc on repasse mine de rien par la démonstration de l'hospital .
Allez j'arrête, toutes façons elle ne me tient pas à coeur tant que ça .

[invite6e217b33]

(sin(x)-x)/x^3 je te l'accord c'est un peu plus compliqué sans Dl et sans regle de l'Hopital... le probleme c'est que la démonstration donné précedement ne marche dessu ^^ (car f'(a)=g'(a)=0...)

tu dérives encore et encore jusqu'à ce que la limite ne soit plus indéterminée, c'est bien précisé après la définition (qui est, comment dire récursive par nature puisque lim(f'(x)/g'(x)) peut être vu comme une nouvelle forme indéterminée à laquelle la règle s'applique encore !) !...
donc on doit ici aller jusqu'à la dérivée 3ème de f et de g

ce qui devrait te donner un truc comme :
lim(f(x)/g(x)=lim (f'''(x)/g'''(x))=lim(-cos(x)/6)=-1/6

Avoues que c'est probant dans ce cas là

Après, c'est sur, un peu de culture générale et connaître certaine forme indéterminées pour les reconnaître de suite ça ne fait pas de mal.

Ne pas connaître la limite en 0 de sin(x)/x quand on a fait des études scientifique, c'est comment dire, hum, dommage...

[invite4ef352d8]

ce que je dis, c'est que la démonstration précedente ne fonction pas dans ce cas. bien sur que la regle de l'hopital s'applique.


la démonstration précedente, supposé que que g'(a) etait non nul (car (x-a)/(g(x)-g(a)) convergait...)


ce que je disais, c'est que la démonstration précedente na aucun interet car elle ne s'applique que dans des cas ou la regle de l'hopital ets inutile puisque c'est des cas ou l'on est confronté a des taux d'accroisement, que les eleve de terminal savent traité



et sinon, c'est aussi rapide avec des Dl :
en 0 on a :
sin(x)=x-x^3/6+o(x^3)

d'ou (sin(x)-x)/x^3=-1/6+o(1)

[invite6e217b33]

ce que je dis, c'est que la démonstration précedente ne fonction pas dans ce cas. bien sur que la regle de l'hopital s'applique.

Ho, excuses moi, je n'avais pas fait le raprochement ! Vraiment désolé.

et sinon, c'est aussi rapide avec des Dl :
en 0 on a :
sin(x)=x-x^3/6+o(x^3)

d'ou (sin(x)-x)/x^3=-1/6+o(1)

Ha oui, effectivement !

[invite4ef352d8]

Ah d'accord, donc on repasse mine de rien par la démonstration de l'hospital .
Allez j'arrête, toutes façons elle ne me tient pas à coeur tant que ça .

non la 'vrai' démonstration de l'Hopital est passablement plus compliqué (niveaux sup, a base de taylor-qqch et de découpage d'epsilon...)

[invite6e217b33]

En tout cas, ce qui est marrant, c'est que celà s'appelle la "Règle de ..." et non pas "Théorème de ...".

Quelque part, c'est peut être aussi ça qui la rend plus anecdotique qu'autre chose.

[invite6e217b33]

non la 'vrai' démonstration de l'Hopital est passablement plus compliqué (niveaux sup, a base de taylor-qqch et de découpage d'epsilon...)

Si mes souvenirs son bons (j'espère), sa démonstration passe par un Théorème de Cauchy, qui est lui même assez velu à démontrer. Je me trompe peut-être

[invite4ef352d8]

il a (surement) plusieur facon de la démontrer. mais on peut faire cela niveaux Sup (ou L1/L2) en manipulant quelque epsilon et la formule de taylor-lagrange (à l'ordre 1 seulement, donc enfait c'est juste une inégalité de la moyenne pour les intégral...) il me semble... maintenant c'est probablement la démonstration la plus simple, mais c'est surement la plus "elementaire".

[invitec053041c]

Bon, faut que j'aille me coucher, sinon c'est moi qui irai à l'hospital .