Coincé par des matrices !

[invite962bb108]

Bonjour,
Voici mon problème :
On a une base canonique B=(e1 ; e2 ; e3). On a l'endomorphisme f de R^3 qui a tout triplet (x,y,z) associe le triplet :
(x, -2+3y+z, 4x-4y-z).

Donc, la matrice M dans la base est :

M=(1 0 0)
(-2 3 1)
(4 -4 -1)

Soit N la matrice :
(1 0 0)
N=(0 1 1)
(0 0 1)

On souhaite trouver une base (u1, u2, u3) de R^3 dans laquelle l'endomorphisme f soit égal à N.

On doit donc avoir :
f(u1)=(1 0 0)
f(u2)=(0 1 0)
f(u3)=(0 1 1)

Soit le systeme pour u1 :
x=1
-2+3y+z=0
4-4y-z=

On obtient : x=1, y=2 et z=-4
Donc u1=(1,2,-4)

De même on obtient : u2=(0,-1,4)
Pour u3=(0,-2,7)

Est ce bien de cette façon là que l'on procède ?
-----

[invitec053041c]

Bonjour.

Je n'ai pas vérifié le calcul mais bon la méthode me semble correcte. Vérifie si f(u1)=u1, si f(u2)=u2, et enfin si f(u3)=u2+u3.
Si c'est le cas, c'est que c'est bon .


François

[invitebb921944]

Euh juste un truc.
Pour ta matrice M, si tu as écris (1 0 0) pour un vecteur colonne, c'est bon mais si tu as écrit (1 0 0) pour la première ligne de ta matrice, il me semble que tu t'es trompé de matrice.

[invitec053041c]

Euh juste un truc.
Pour ta matrice M, si tu as écris (1 0 0) pour un vecteur colonne, c'est bon mais si tu as écrit (1 0 0) pour la première ligne de ta matrice, il me semble que tu t'es trompé de matrice.

Non, (1 0 0) est bien la première ligne de M.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Au temps pour moi !

[invite962bb108]

Bonsoir,
Merci pour votre implication.

Suite à la remarque de Ganash, je viens de constater une erreur dans mon application. Il s'agit bien de ; l'endomorphisme f de R^3 qui a tout triplet (x,y,z) associe le triplet : (x, -2x+3y+z, 4x-4y-z) et non
de (x, -2+3y+z, 4x-4y-z). Ca ne change rien au calcul car sur mon brouillon, je n'ai pas fait cette erreur.

Ledescat, je ne comprends pas ta vérification : pourquoi vérifier que f(u1)=u1 etc... alors que je recherche une nouvelle base telle que la matrice de f soit égale à N. C'est pour ça que j'ai calculé u1, u2 et u3 en faisant f(u1)=(1 0 0) (1ere colonne de N) et ainsi de suite.

[invitec053041c]

Quand tu cherches une nouvelle base B'=(u1,u2,u3) où ta matrice vaut (1 0 0 etc...)
C'est que tu cherches 3 vecteurs u1,u2,u3 tq f(u1)=(1 0 0) dans B' et non dans (e1,e2,e3) ! Et (1 0 0) dans B' correspond au vecteur u1.
De même (0 1 1) dans B' correspond à u2+u3 ...


Je me rend compte que j'ai regardé trop vite et que tes calculs ne sont pas si justes que ça (à confirmer ou infirmer) bref je ne m'avance pas , je vais manger et je te dis tout ça après.

[Scorp]

Apparement, les calculs semblent faux, non ? Quand on vérifie avec la matrice de passage , on ne retombe pas sur N
J'ai juste une question : As tu vu en math la réduction ? Parce que tu doit voir que N est presque une matrice diagonale, non ? Il serait peut être interressant de chercher de ce coté là . Par exemple, essaye de voir comment on peut traduire le fait que f(u1)=u1, ... f(u3)=u3+u2 avec les éléments de réduction. On peut alors appliquer une jolie méthode qui sera beaucoup plus rapide. Je te laisse chercher un peu.

Juste une petite aide parce que je ne suis pas sûr que tu connaisse : Pour un endomorphisme f, on a kerf inclus dans kerf² et f(kerf²) inclus dans kerf, ca pourrait peut être servir...

Comme Ledescat, je vais manger, et je reviens aider si ya besoin...

[FonKy-]

Au temps pour moi !

Ganash j'ai le meme soucis que toi mais pour s'en rassurer il suffit de faire le calcul tout simplement de MX

FonKy-

[invitec053041c]

Apparement, les calculs semblent faux, non ? Quand on vérifie avec la matrice de passage , on ne retombe pas sur N.

Oui ses calculs sont faux.
Il pense que les coordonnées sont toujours dans la base canonique, or (en général, sauf si on est tordu) quand on parle de la matrice d'une application, on exprime les coordonnées de l'image des vecteurs d'une base dans cette même base (ici u1,u2,u3).
Il faut en effet qu'il réduise sa matrice pour déjà trouver u1 et u2, puis bidouiller un peu pour u3.

[Scorp]

Il faut en effet qu'il réduise sa matrice pour déjà trouver u1 et u2, puis bidouiller un peu pour u3.

A vrai dire, c'est plutôt le contraire que je pensais faire : d'abord chercher u3, puis en déduire u2 et u1 grace aux cacluls des sous-espaces propres et caractéristiques fait préalablement.

[invitec053041c]

A vrai dire, c'est plutôt le contraire que je pensais faire : d'abord chercher u3, puis en déduire u2 et u1 grace aux cacluls des sous-espaces propres et caractéristiques fait préalablement.

Moi le soir, à partir de 22h je n'ai plus les idées claires .

[FonKy-]

Mais ptet aussi que Ledescat ne connais pas la signification du mot réduire

[invitec053041c]

Mais ptet aussi que Ledescat ne connais pas la signification du mot réduire

Tu te moques de moi ?

[FonKy-]

Tu te moques de moi ?

Ben non reduire une matrice consiste déja a diagonaliser =) ce que tu n'es pas censé avoir vu mais bon ya certaines sup qui entame le programme de spé .. c'est ptet ton cas

FonKy-

[invitec053041c]

mais bon ya certaines sup qui entame le programme de spé .. c'est ptet ton cas

Oui on a vu la réduction d'endomorphismes en toute fin d'année,on avait pris pas mal d'avance .
Mais même si on ne le voit pas en cours, c'est tellement incontournable que je me demande si on peut ne pas avoir entendu le mot "réduction de matrices" à la fin de sa sup.

[FonKy-]

pourtant c un gros chapitre , ya pas mal de notions associé, che pas si vous avez tous vu, je pense pas

[invitec053041c]

pourtant c un gros chapitre , ya pas mal de notions associé, che pas si vous avez tous vu, je pense pas

Si on a un méga polycop (polynôme minimal, multiplicité des racines et dimensions du sep associé etc...)

[invite962bb108]

Bonjour à tous,

Je vois qu'il y a du monde qui s'implique, c'est sympa !

Donc, je vais diagonaliser la matrice, trouver la matrice et vous donner mes résultats. (vive la fin de sup )

[invite962bb108]

N'étant pas trop expert dans les diagonalisations, voici mes résultats pour vérifier :
Polynome caractéristique : -(X-1)^3 scindé à racine simple donc M est diago.
Ker(M-I)=Vect{(1,1,0);(0,1,-2);(1,0,2)}

d'où :
1 0 1
P=1 1 0
0 -2 2
et M=PDP^-1

Ensuite, comment arrive t on au résultat ?
Merci

[FonKy-]

okay ca a l'air bon

FonKy-

[Scorp]

N'étant pas trop expert dans les diagonalisations, voici mes résultats pour vérifier :
Polynome caractéristique : -(X-1)^3 scindé à racine simple donc M est diago.
Ker(M-I)=Vect{(1,1,0);(0,1,-2);(1,0,2)}

d'où :
1 0 1
P=1 1 0
0 -2 2
et M=PDP^-1

Ensuite, comment arrive t on au résultat ?
Merci

Oula, non. As tu vérifier ton résultat ? Tu note alors que ta matrice n'est pas inversible.
Justement, ta matrice n'est pas diagonalisable ! Le polynôme caractéristique est bien . Il est scindé, donc M est trigonalisable. Il n'existe pas de polynôme scindé à racine simple annulateur pour M, donc n'est pas diagonalisable. Le but de l'exo est justement de montrer qu'elle est semblale à une matrice triangulaire particulière. Tu remarque qu'en même que l'on retrouve le spectre {1,1,1} sur la diagonale de N !
J'expliquerais la méthode plus tard car je dois y allez...à moins que vous trouviez d'ici là

[FonKy-]

okay ca a l'air bon

FonKy-

oui excuse moi en fait j'avais vérifier que ton poynome carac. (car au debut javais mis que c'était faux puis j'ai du corriger désolé). En fait je me rapppele plus du cours donc ca me fait reviser et j'ai pas trouver d'article sur wiki ...
le sous espace propre accocié à 1 est de dim 2 au lieu de 3, donc c pas diagonalisable.
Car quand tu cherche le vecteur propre associé, tu tombe sur un systeme dequation avec l'unique equation qui est 4x-4y-2z=0

A confirmer

[Scorp]

le sous espace propre accocié à 1 est de dim 2 au lieu de 3, donc c pas diagonalisable.

Exacte. Le problème, c'est que nous, on veut un espace de dimension 3 ! Le sous-espace propre ne va donc pas convenir. Cependant, lorsqu'on regarde la matrice N, on s'apercoit que l'on cherchait en fait :
f(u1)=u1, f(u2)=u2 et f(u3)=u3+u2. Il en vient que u1 et u2 sont des vecteurs propres de M (il forment même une base du sep). Le problème c'est où allez chercher u3 ???
Pour cela, on remarque si l'on note , valant ici 1, on a : g(u1)=0, g(u2)=0 et g(u3)=u2
Dans l'indication, j'ai donnée que g(kerg²) inclus dans kerg. Comme g(u3)=u2, g(u3) appartient à kerg. Donc où est ce qu'on va aller chercher u3 ????
Ba tout simplement dans kerg², c'est-à-dire dans noyau de (M-id)² qui lui est justement de dimension 3 ! C'est gagné.
Donc finalement, la méthode consiste à calculer (M-id)², de chercher une base du noyau. On prend l'un de ces vecteurs de base et on le note u3. Attention qu'en même, comme kerg inclus dans kerg², il faut en fait prendre u3 comme élément de "kerg² privé de kerg". Puis on calcul (M-id)(u3) ce qui nous donne u2. On cherche alors une base de kerg, c'est-à-dire du sous-espace propre. On vérifie que u2 appartient bien à kerg. Puis on choisit pour u1 un vecteur de kerg, tel que vect(u1, u2)=kerg. On vérifie à la fin que u1, u2, u3 forme bien une base de tout notre epace.
Ca à l'air un peu compliqué comme ca, mais une fois qu'on a compris et fait quelques exemples, ca va tout seul et c'est plutôt rapide.
Si vous voulez en savoir plus, aller voir http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9duction_de_Jordan

[invitebb921944]

Histoire que Alphons comprenne son erreur :

N'étant pas trop expert dans les diagonalisations, voici mes résultats pour vérifier :
Polynome caractéristique : -(X-1)^3 scindé à racine simple donc M est diago.
Ker(M-I)=Vect{(1,1,0);(0,1,-2);(1,0,2)}

(1,1,0)-(1,0,2)=(0,1,-2)
Ta famille n'est pas libre, ce n'est pas une base.

[invite962bb108]

Merci à tous pour votre aide, je vais reprendre tout ça !

[FonKy-]

C'est pas evident ce que tu essie de nous expliquer scorp cela dit faut absolument que je revoie mon cours car la tu m'mbrouille, puis je vois pas trop le rapport avec la reduction de Jordan, si tu avais des sites ou on trouve en exemple ta méthode ce serait cool

Merci

[invitebb921944]

En fait c'est facile Fonky.
Ce que Scorp explique, c'est simplement la méthode de trigonalisation d'une matrice.
Prenons une matrice 4x4
On trouve les valeurs propres 1 et 2 de multiplicité respective 1 et 3
On trouve que la dimension du sous espace propre associé à la valeur propre 2 est 2. On a donc trois vecteurs propres.
Pour trouver le quatrième vecteur de la matrice de passage (qui nous permettra de trigonaliser la matrice A), on cherche un vecteur X qui vérifie (A-2I)²X=0
Attention X doit vérifier cela et doit être linéairement indépendant des deux vecteurs propres associés à la valeur propre 2.
Une fois ce vecteur trouvé, on peut trigonaliser la matrice sans problème.

Scorp parle de la réduction de Jordan car il me semble qu'on peut tjs mettre une matrice trigonalisable sous forme de Jordan (à vérifier)
Après, il est possible de déterminer le vecteur manquant de manière à ce que la matrice trigonalisée ait une forme de Jordan précise mais c'est plus compliqué.

[FonKy-]

En fait c'est facile Fonky.
Ce que Scorp explique, c'est simplement la méthode de trigonalisation d'une matrice.
Prenons une matrice 4x4
On trouve les valeurs propres 1 et 2 de multiplicité respective 1 et 3
On trouve que la dimension du sous espace propre associé à la valeur propre 2 est 2. On a donc trois vecteurs propres.
Pour trouver le quatrième vecteur de la matrice de passage (qui nous permettra de trigonaliser la matrice A), on cherche un vecteur X qui vérifie (A-2I)²X=0
Attention X doit vérifier cela et doit être linéairement indépendant des deux vecteurs propres associés à la valeur propre 2.
Une fois ce vecteur trouvé, on peut trigonaliser la matrice sans problème.

Scorp parle de la réduction de Jordan car il me semble qu'on peut tjs mettre une matrice trigonalisable sous forme de Jordan (à vérifier)
Après, il est possible de déterminer le vecteur manquant de manière à ce que la matrice trigonalisée ait une forme de Jordan précise mais c'est plus compliqué.

okay donc en fait il faut que je regarde l'unique exo qque j'ai en ma possession ou on trigonailise une matrice .. que d'ailleurs je trouvais difficile de comprendre .. ben c'est vrai ya pas mal de chose a faire et quand on le revise 5 min avant la colle on a toujours du mal a memoriser le processus

FonKy-

[Scorp]

Je suis actuellement en train de rédiger quelques lignes sur le sujet avec un exemple histoire d'illuster tout ca. Je le posterais si jamais ca interresse quelqu'un.
FonKy-, qu'est ce qui t'embrouille exactement dans mon dernier post ?
En attendant, l'exemple 2 de la page de wikipedia que j'ai donné est pas trop mal.