Pendules pesants

invite5731219b · 22/08/2007, 22h30

Bonjour,

je me pose actuellement une question à laquelle je pense avoir déjà partiellement répondu.
Voila, on m'a soumis, il y a déjà plusieurs mois, un problème dans lequel on avait une succession de pendules pesants couplés linéairement par l'intermédiaire de ressorts (cf. pièce jointe).
Comme je l'ai dit, je pense être sur la bonne voie pour résoudre le problème.
Voila donc comment je vois les choses :
J'isole un pendule auquel j'applique le théorème du moment cinétique, ce pendule est le n^éme pendule de la chaine, je considère donc son angle $\text{[math]}$ ainsi que le déplacement de la masse le long de l'horizontale que je note x_n et je suppose de plus que $\text{[math]}$ et donc : $\text{[math]}$ (l la longueur du fil du pendule).
Ceci donne le résultat suivant :

$\text{[math]}$
(car la masse est ponctuelle).

jusqu'ici la seule erreur possible est surement une erreur de signe !
Je continue en supposant qu'il n'y a pas d'erreur...

Donc en posant $\text{[math]}$ j'obtiens :

$\text{[math]}$

Et c'est ici que j'ai eu l'idée d'écrire le tout sous forme matricielle en posant :
X_n = ^t(x₀, 0, 0, ..., 0, x_n) et en supposant que le pendule 0 et le pendule n oscillent respectivement à aux pulsations $\text{[math]}$

J'ai donc une écriture de la forme $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Et c'eest là que je suis censé diagonaliser la matrice ?
Avec ma Ti-89 je trouve des valeurs (pour différentes dimensions et valeurs numériques) mais je ne suis pas vraiment sûr du résultat car en clacul formel c'est trop long, je ne sais même pas si cela fini par aboutir.

Est-ce la bonne solution ? Qu'en pensez-vous ?

**obi76** · 23/08/2007, 01h28

C'est pas plutot un $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ et en $\text{[math]}$ ?

Sinon tu as la méthode de Thomas (je crois que c'est ça) qui te permet de résoudre directement une matrice tridiagonale (c'est ce qu'on utilise en numérique pour résoudre les systèmes à dérivées corrélées).

invite5731219b · 23/08/2007, 10h55

Envoyé par obi76

C'est pas plutot un $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ et en $\text{[math]}$ ?

Je ne pense pas car j'ai supposé que le premier pendule (n°0) et le n^éme pendule oscillent à des pulsations connues...

Sinon, je vais chercher cette méthode de thomas (wikipédia surement...) et ça devrait normalement résoudre le problème.

Merci.

Au fait, j'ai entendu parler d'une autre méthode pour résoudre ce problème, il suffirait de considérer la propagation d'une onde ? je n'en sais pas plus.

**obi76** · 23/08/2007, 12h00

http://membres.lycos.fr/changeling/

Pour la propagation des ondes c'est possible de faire comme ça aussi oui.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite5731219b · 23/08/2007, 12h47

J'ai trouvé ceci :
http://www.math.univ-paris13.fr/~audusse/td3_macs1.pdf
l'exercice 6 est exactement mon problème avec la solution que j'essaye de démontrer... j'ai déjà fait les questions 1, 2, 3, 4, 7 je ne comprend pas la question 6, qu'est-ce que le conditionnement ?
On a en fait a=2/h² et b = 1/h²...
Pour la question 5 je ne suis pas sûr mais je pense qu'on peut dire que $\text{[math]}$ c'est $\text{[math]}$ avec des $\text{[math]}$ sur la diagonale ?
Pour la relation de récurrence j'ai trouvé (de tête donc pas sûr) :
$\text{[math]}$ et donc on a la même relation pour $\text{[math]}$ en remplçant les a par des $\text{[math]}$ ?

**mamono666** · 23/08/2007, 14h40

Je ne sais pas si ca va t'aider, mais je me souviens que pour des matrices du types:

$\text{[math]}$

On dit que le determinant sera un polynome de Gegenbauer de degré N (par exemple), donc si le $\text{[math]}$

alors on pourra ecrire $\text{[math]}$ sous la forme $\text{[math]}$ et le déterminant pourra s'ecrire:

$\text{[math]}$

c'est à dire pour un déterminant nul:

$\text{[math]}$

invite5731219b · 23/08/2007, 16h42

Je ne vois pas trop comment on obtient ce résultat, j'aimerais le démontrer.
En passant, je signale une erreur de signe, la diagonale de la matrice A du départ n'a que des termes négatifs.
J'ajoute aussi que $\text{[math]}$ et donc que j'ai trouvé que $\text{[math]}$ .
Quelqu'un peut m'aider pour la suite ?

invite5731219b · 23/08/2007, 16h58

Je pense que je vais me renseigner dans le forum maths car mes questions ne sont plus trop physiciennes

**mamono666** · 23/08/2007, 17h07

Pour revenir à ton probleme initiale, j'aurrais tendance à dire que la masse n est tiré par le ressort à gauche et le ressort à droite.
Mais celui de gauche à un étirement qui dépend aussi de celui d'avant et idem celui de droite par celui qui est après.

donc j'aurrais plutot ecris:

$\text{[math]}$

qui équivaut à:

$\text{[math]}$

invite5731219b · 23/08/2007, 17h19

Je suis d'accord, je me suis un peu précipité dans mes calculs, merci.
Mais au final le problème se ramène toujours à la propagation d'une onde et la matrice a exactement la même forme que celle proposée dans le document que j'ai trouvé, ce qui m'arrange.
Mais tu as raison, ta formule est tout à fait exacte.

Merci pour ton aide.

**mamono666** · 23/08/2007, 18h35

Il faut voir la suite de calcul, mais il me semble que cela conduira à une matrice du meme type qu'au post #6 .

Et juste en ayant lu en diagonal, on dirait que le lien que tu as donner (dans le dernier exo) permet de retrouver la relation en sin((n+1) theta)/sin(theta) que je donne directement en parlant du polynome de gegenbauer.

invite5731219b · 23/08/2007, 18h48

Oui, on retombe sur une matrice du même type, c'est pour ça que j'aimerai bien faire l'exercice de ce poly.
Voici mes résultats : http://forums.futura-sciences.com/thread162243.html dans le forum maths...

invite5731219b · 25/08/2007, 13h06

J'ai réussi, avec l'aide de plusieurs membres, à montrer pas mal de résultats dans le forum maths mais il reste une chose qui me tracasse.
Pour passer de modèle discret au modèle continu...
Puisque nous avons : $\text{[math]}$ (les valeurs propres de la matrice),
il faut normalement calculer $\text{[math]}$
mais pour que cette limite soit non-nulle il faut que $\text{[math]}$ dépende de n alors que d'après le modèle $\text{[math]}$ .

Je dirai bien que $\text{[math]}$ (avec T temps de propagation de l'onde d'un bout à l'autre du système).
mais c'est en contradiction avec ce que j'ai dit avant.

Mais peut être que je fait fausse route ?

invitef16d06a2 · 25/08/2007, 13h11

SpintroniK, tu comptes faire comment pour tes conditions aux limites car tu vas avoir quelques soucis avec ta matrice

invite5731219b · 25/08/2007, 13h22

Je ne comprends pas vraiment ce que tu dit...
Je précise tout de même que la matrice est la même que celle du document quivant : http://www.math.univ-paris13.fr/~audusse/td3_macs1.pdf
exercice 6, avec a = -2 $\text{[math]}$ et b = $\text{[math]}$ (donc ce n'est plus celle du début de ce post).

PS : j'ai fait l'approximation a = -2( $\text{[math]}$ ). je ne sait pas si c'est tout à fait envisageable...

invitef16d06a2 · 25/08/2007, 13h25

si tu comptes résoudre ton problème de pendules pesants tu auras besoin de conditions initiales ou pas

invite5731219b · 25/08/2007, 13h27

Logiquement oui.
pourquoi cette question ?
Elles apparaitront dans les constantes qui viendront après la diagonalisation de la matrice et la résolution du système.

invitef16d06a2 · 25/08/2007, 15h12

Envoyé par SpintroniK

Logiquement oui.
pourquoi cette question ?
Elles apparaitront dans les constantes qui viendront après la diagonalisation de la matrice et la résolution du système.

tes vecteurs propres sont ils si propre que ca

il te faut des conditions aux limites pour trouver ta solution exacte

invite5731219b · 25/08/2007, 15h29

Je n'ai rien vérifié au niveau des vecteurs propres...
Peux-tu être plus clair, un indice ?

invitef16d06a2 · 25/08/2007, 15h39

Envoyé par SpintroniK

Je n'ai rien vérifié au niveau des vecteurs propres...
Peux-tu être plus clair, un indice ?

si j'avais la solution je te la donnerai (je m'en souviens plus) tu devrais essayer de les trouver pour te rendre compte de la difficulté. Avant de te lancer dans des calculs as tu songé a le faire numériquement (c'est plus rapide)

invite5731219b · 25/08/2007, 16h00

Je n'ai pas encore essayé de calculer les vecteurs propres, j'ai seulement les valeurs propre.
Les vecteurs propres du documents ne sont pas bons ?
Sinon, une idée pour ma question (message #15; où d'ailleurs b = - $\text{[math]}$ et non $\text{[math]}$ ) ou alors il est indispendsable de calculer les vecteurs propres avant ?

invitef16d06a2 · 25/08/2007, 16h02

Envoyé par SpintroniK

Je n'ai pas encore essayé de calculer les vecteurs propres, j'ai seulement les valeurs propre.
Les vecteurs propres du documents ne sont pas bons ?
Sinon, une idée pour ma question (message #15; où d'ailleurs b = - $\text{[math]}$ et non $\text{[math]}$ ) ou alors il est indispendsable de calculer les vecteurs propres avant ?

ne tiens pas compte du message si dessus, j'ai une question tu comptes résoudre ta matrice (recherche valeurs propres) a la main. Sinon pour on approximation que vaut le rapport oméga/w

invitef16d06a2 · 25/08/2007, 16h09

j'ai pas compris ta question tu veux calculer les vecteurs propres avant quoi

invite5731219b · 25/08/2007, 16h14

Pour l'approximation je n'ai pas de valeurs numériques mais je suppose qu'elle est vérifiée, ça n'est pas un problème si elle est fausse, ce qui compte c'est la méthode de calcul ...

Je pense avoir déjà trouvé les valeurs propres de la matrice
(grâce au forum maths : http://forums.futura-sciences.com/thread162243.html) =>

Envoyé par SpintroniK

J'ai réussi, avec l'aide de plusieurs membres, à montrer pas mal de résultats dans le forum maths mais il reste une chose qui me tracasse.
[...]
Puisque nous avons : $\text{[math]}$ (les valeurs propres de la matrice)
[...]

Sinon, d'après le document que j'ai signalé avant (http://www.math.univ-paris13.fr/~audusse/td3_macs1.pdf),
il semble que les vecteurs propres aient l'expression suivante : $\text{[math]}$ (d'ailleurs c'est quoi le j ? la colonne de la matrice de passage ?).

invitef16d06a2 · 25/08/2007, 16h16

Envoyé par SpintroniK

Je pense avoir déjà trouvé les valeurs propres de la matrice
(grâce au forum maths : http://forums.futura-sciences.com/thread162243.html) =>

Sinon, d'après le document que j'ai signalé avant (http://www.math.univ-paris13.fr/~audusse/td3_macs1.pdf),
il semble que les vecteurs propres aient l'expression suivante : $\text{[math]}$ (d'ailleurs c'est quoi le j ? la colonne de la matrice de passage ?).

mais ces valeurs elles sortes d'un calcul numerique ou analytique

invite5731219b · 25/08/2007, 16h18

Les valeurs propres viennent d'un calcul analytique (voir forum maths) mais les vecteurs propres je ne l'ai ai pas encore cherchés, j'ai simplement recopié le document PDF (voir mon message précédent).

invitef16d06a2 · 25/08/2007, 16h20

je ne voudrais pas te donner de faux espoir mais as tu remarqué que la matrice proposé dans l'exo (fichier pdf) ne ressemble pas a ta matrice de départ puisque pour ta matrice en dessous et au dessus de ta diagonale tu as des 0 qui apparaissent,

**mamono666** · 25/08/2007, 16h26

la matrice qu'il propose au début est celle qu'on pensait correcte. Mais apres on est parti sur l'exo.

Le probleme est de trouver le déterminant en fonction de n (qui est le nbre de ligne de la matrice carrée)

invitef16d06a2 · 25/08/2007, 16h29

Envoyé par SpintroniK

Les valeurs propres viennent d'un calcul analytique (voir forum maths) mais les vecteurs propres je ne l'ai ai pas encore cherchés, j'ai simplement recopié le document PDF (voir mon message précédent).

je suis pas convaincu que l'on puisse trouver les valeurs propres de cette matrice de facon analytique (elle est de dimension "infini" je dis infini pour ne pas dire tres tres .... grande), je crois que le calcul numerique s'impose pour resoudre ton probleme, il faut comme tu l'as fait discrétisser tes variables d'espace et de temps et resoudre ton probleme par la méthode de runge kutta (voici un lien http://d.krauss.free.fr/documents/Tr...unge_Kutta.htm)

invitef16d06a2 · 25/08/2007, 16h31

Envoyé par mamono666

la matrice qu'il propose au début est celle qu'on pensait correcte. Mais apres on est parti sur l'exo.

Le probleme est de trouver le déterminant en fonction de n (qui est le nbre de ligne de la matrice carrée)

ok mamono666

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