Courbure d'un espace obtenu par compactification

[invite8c514936]

Bonjour à tou(te)s,

Je me pose une question mathématique dans le cadre d'une application en physique. La voici :

Il y a plusieurs raisons de vouloir faire de la physique dans un espace qui ne soit pas euclidien, et qui soit de plus compact. Un moyen parmi d'autres de réaliser ça est de prendre un volume fini (par exemple un cube) et d'identifier certaines parties de ce volume (par exemple identifier les côtés opposés du cube).

Je voudrais faire quelque chose comme ça pour d'autres volumes et faire de la relativité générale dans cet espace. Se pose alors le problème suivant : n'introduit-on subrepticement pas une courbure à l'espace quand on fait cette identification dans le cas général ? Y a-t-il des volumes pour lesquels on sait qu'aucune courbure n'est introduite (intuitivement, pour le cube c'est certain que non).

Plus précisément, je voudrais faire ça avec une boule, en identifiant les points opposés sur la sphère qui la limite. Si j'envoie deux rayons lumineux dans deux directions légèrement différentes à partir du centre, ceux-ci s'éloignent les uns des autres jusqu'à la surface puis reconvergent vers le centre. Je me dis donc qu'il y a de la courbure à la surface mais

1/ je n'arrive pas à le formaliser
2/ Il y a des cas où cet effet de convergence des rayons lumineux est possible dans un espace-temps localement plat presque partout (cordes cosmiques)...

Voilà, si quelqu'un à des pistes, je le/la remercie d'avance !
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[mtheory]

Bonjour à tou(te)s,

Je me pose une question mathématique dans le cadre d'une application en physique. La voici :

Il y a plusieurs raisons de vouloir faire de la physique dans un espace qui ne soit pas euclidien, et qui soit de plus compact. Un moyen parmi d'autres de réaliser ça est de prendre un volume fini (par exemple un cube) et d'identifier certaines parties de ce volume (par exemple identifier les côtés opposés du cube).

Je voudrais faire quelque chose comme ça pour d'autres volumes et faire de la relativité générale dans cet espace. Se pose alors le problème suivant : n'introduit-on subrepticement pas une courbure à l'espace quand on fait cette identification dans le cas général ? Y a-t-il des volumes pour lesquels on sait qu'aucune courbure n'est introduite (intuitivement, pour le cube c'est certain que non).

Plus précisément, je voudrais faire ça avec une boule, en identifiant les points opposés sur la sphère qui la limite. Si j'envoie deux rayons lumineux dans deux directions légèrement différentes à partir du centre, ceux-ci s'éloignent les uns des autres jusqu'à la surface puis reconvergent vers le centre. Je me dis donc qu'il y a de la courbure à la surface mais

1/ je n'arrive pas à le formaliser
2/ Il y a des cas où cet effet de convergence des rayons lumineux est possible dans un espace-temps localement plat presque partout (cordes cosmiques)...

Voilà, si quelqu'un à des pistes, je le/la remercie d'avance !

Pour le cube je ne suis pas sur mais je crois que c'est un orbifold et que sa courbure totale est porté par les arrêtes.
Donc il serait localement plat mais sa courbure totale serait non nulle.
Dans le cas que tu cites ,selon moi ,tu te places dans un espace projectif et en fait tu dois trés précisément te retrouver dans les cas étudiés par Luminet et all.

[mtheory]

Regarde là page 3:
http://fr.arxiv.org/PS_cache/astro-p...01/9901364.pdf

[invite8c514936]

Merci mtheory, j'y cours de ce pas (de souris...) !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51f4efbf]

Bon, l'identification que tu fais est une notion topologique. Elle décrit des ouverts sur l'espace quotient (tu mets la plus petite topologique qui rende l'application quotient continue).

La courbure est une notion métrique : il te faut un champ de tenseurs. La plupart du temps, si on peut le faire, on "amène" la métrique de l'espace de départ sur le quotient, et on pourra dire quelque chose de précis sur la courbure. Mais pour l'instant, on ne peut pas dire grand chose. Il faudrait au moins connaître la métrique de l'espace de départ.

La topologie dicte l'éventail de courbures que tu peux mettre (par exemple, en gros, pas de courbure toujours > a > 0 si on n'a pas la compacité), mais elle ne la détermine pas univoquement ! Il faut des détails !

[invite51f4efbf]

Donc il serait localement plat mais sa courbure totale serait non nulle.

Mmmmm qu'appelles-tu "courbure totale" ? S'il est localement isométrique à l'espace euclidien, alors la courbure est nulle en tout point (c'est une équivalence).

[mtheory]

Mmmmm qu'appelles-tu "courbure totale" ? S'il est localement isométrique à l'espace euclidien, alors la courbure est nulle en tout point (c'est une équivalence).

Il me semble que la courbure n'est pas nulle précisément sur les arrête du cube.
Sinon c'est vrai que je flotte sur la question 'courbure totale'.
J'ai dans la tête qu'on peut transformer une sphère en cube en faisant porter sa 'courbure totale' par les 'pincements' de cette sphère qui deviennent en faites les arrêtes du cube.
Il a des trucs dans ce genre dans l'approche 'calcul de Regge' en gravitation quantique avec des complexes de topologie algébrique(approche combinatoire et discréte de la GQ).
Mais bon comme je l'ai dit je flotte...

[invite8c514936]

La courbure est une notion métrique : il te faut un champ de tenseurs. La plupart du temps, si on peut le faire, on "amène" la métrique de l'espace de départ sur le quotient, et on pourra dire quelque chose de précis sur la courbure. Mais pour l'instant, on ne peut pas dire grand chose. Il faudrait au moins connaître la métrique de l'espace de départ.

OK.... Disons pour commencer une métrique euclidienne.

Mais du coup, ta remarque me fait voir les choses un peu autrement. Si je veux déduire la métrique des équations d'Einstein (connaissant le contenu en masse-énergie) je n'ai pas besoin de me préoccuper de ce problème de bord, non ? Je définis l'espace quotient, je résouds les équations dans cet espace et j'obtiens la métrique (je peux alors l'utiliser pour répondre à ma question...)... Je suis sur le terrain ou dans les gradins ??

[mtheory]

Il me semble que la courbure n'est pas nulle précisément sur les arrête du cube.
Sinon c'est vrai que je flotte sur la question 'courbure totale'.
J'ai dans la tête qu'on peut transformer une sphère en cube en faisant porter sa 'courbure totale' par les 'pincements' de cette sphère qui deviennent en faites les arrêtes du cube.
Il a des trucs dans ce genre dans l'approche 'calcul de Regge' en gravitation quantique avec des complexes de topologie algébrique(approche combinatoire et discréte de la GQ).
Mais bon comme je l'ai dit je flotte...

Il doit y avoir un invariant du style Euler-Poincaré en liaison avec la courbure Gaussienne et le scalaire de Ricci.
Enfin un truc comme ça qui fait que sous certaines déformations la 'courbure totale' d'une surface ne change pas.

[invite51f4efbf]

OK.... Disons pour commencer une métrique euclidienne.

C'est mal parti . Comme on le dit souvent, "la sphère n'est pas plate", on ne peut pas mettre une métrique à courbure nulle dessus. En fait, on ne peut pas non plus y mettre une métrique à courbure négative (je peux pas trop expliquer ça, il faut connaître l'exponentielle et les champs de Jacobi).

En fait, tu n'as pas énormément de choix si tu veux une courbure constante, c'est une courbure positive partout et rien d'autre...

Mais du coup, ta remarque me fait voir les choses un peu autrement. Si je veux déduire la métrique des équations d'Einstein (connaissant le contenu en masse-énergie) je n'ai pas besoin de me préoccuper de ce problème de bord, non ? Je définis l'espace quotient, je résouds les équations dans cet espace et j'obtiens la métrique (je peux alors l'utiliser pour répondre à ma question...)... Je suis sur le terrain ou dans les gradins ??

J'avoue que je n'en sais trop rien. Tu parles de l'équation avec la constante cosmologique ? Je ne la connais pas trop. De mémoire, elle lie la métrique , le tenseur de Ricci et un truc nommé tenseur énergie impulsion, c'est ça que tu appelles le contenu en masse énergie ? Si oui, je ne suis pas sûr que tu puisses directement trouver (il faut exprimer les composantes de Ricci -qui est la trace du tenseur de courbure- en fonction de g), mais j'avoue que je n'y connais pas grand chose -je résous pas d'équation tous les jours .

Enfin, si tu le peux, quel est le domaine de validité de cette équation ? Elle s'applique à des modèles sphériques ?

Je n'y connais pas grand chose en physique. Mon collocataire, beaucoup plus. Je lui demande ce soir si je le vois

Il doit y avoir un invariant du style Euler-Poincaré en liaison avec la courbure Gaussienne et le scalaire de Ricci.
Enfin un truc comme ça qui fait que sous certaines déformations la 'courbure totale' d'une surface ne change pas.

Euler Poincaré = somme alternée des degrés des groupes d'homologie singulière à coefficients réels ? Si oui, c'est topologique, et ça ne raconte pas la métrique ni la courbure. Par contre, tu contrôles les zéros des champs de vecteurs différentiables (mais c'est une autre histoire )

[invite8c514936]

OK.... Disons pour commencer une métrique euclidienne.

C'est mal parti . Comme on le dit souvent, "la sphère n'est pas plate"

J'ai pas été clair. C'est dans la boule 3D que la métrique est plate. Je veux compactifier cet espace 3D en identifiant les points opposés de la sphère qui limite la boule...

[invite51f4efbf]

J'ai pas été clair. C'est dans la boule 3D que la métrique est plate. Je veux compactifier cet espace 3D en identifiant les points opposés de la sphère qui limite la boule...

Ah, Alors bien sûr tu mets la métrique euclidienne et tu as courbure nulle. Faut que je réfléchisse plus avant :/ Y'a de grandes chances pour que le résultat que tu trouves soit homéomorphe à une sphère de plus grande dimension.

Par contre, cet espace est déjà compact (je ne pense pas que tu puisses compactifier un espace au sens usuel -le plonger de manière dense dans un compact- en quotientant autrement que par une manière triviale). Tu voulais dire quotienter je suppose ?

[invite8c514936]

Tu voulais dire quotienter je suppose ?

oui pardon... Je veux obtenir un espace compact mais sans bord... Désolé du lapsus (ne devrait-on pas parler de fingerus quand c'est un lapsus tapé sur un clavier ?? ).

[invite6acfe16b]

Plus précisément, je voudrais faire ça avec une boule, en identifiant les points opposés sur la sphère qui la limite. Si j'envoie deux rayons lumineux dans deux directions légèrement différentes à partir du centre, ceux-ci s'éloignent les uns des autres jusqu'à la surface puis reconvergent vers le centre. Je me dis donc qu'il y a de la courbure à la surface

Juste pour apporter ma contribution. L'espace dont tu parles peut être vu comme un quotient de la sphère S³ par l'application antipodale. Il hérite donc de la courbure positive de cette sphère. Donc je dirais que la courbure totale doit être positive et qu'il n'est pas possible de la choisir plate.

[mtheory]

Ca y est j'ai retrouvé ce que j'avais en tête ,la relation entre la formule de Gauss Bonnet et la caractéristique d'Euler Poincaré!

http://mathworld.wolfram.com/Gauss-BonnetFormula.html



Toutefois elle semble limité à 2D.

[invite51f4efbf]

Ah oui, faut pas que j'oublie Gauss-Bonnet, sinon je vais me faire taper par Sylvestre

Elle est limitée à la 2D, et sauf erreur aux variétés connexes et compacts sans bord. Effectivement, la topologie apparaît dans le fait que toutes les triangulations ont la même caractéristique :/

[invite6acfe16b]

Ah, Alors bien sûr tu mets la métrique euclidienne et tu as courbure nulle. Faut que je réfléchisse plus avant :/ Y'a de grandes chances pour que le résultat que tu trouves soit homéomorphe à une sphère de plus grande dimension.

En fait, je viens de trouver. Cet espace s'appelle RP(3), c'est l'espace projectif réel.

[mtheory]

Voici la référence COSMIQUE de Luminet et Lachieze-Rey:

http://fr.arxiv.org/abs/gr-qc/9605010

avec un petit historique qui me fait dire que le modèle trouver par De Sitter (pas celui dont on parle sous ce nom il me semble) est trés proche de ce que veux Deep-Turtle

http://fr.arxiv.org/abs/gr-qc/9804006

[invite6acfe16b]

Ah oui, faut pas que j'oublie Gauss-Bonnet, sinon je vais me faire taper par Sylvestre

Elle est limitée à la 2D, et sauf erreur aux variétés connexes et compacts sans bord. Effectivement, la topologie apparaît dans le fait que toutes les triangulations ont la même caractéristique :/

Je viens de lire sur http://www-timc.imag.fr/Olivier.Cinquin/ter/node31.html une formule pour les dimensions paires. Mais peut-être y a-t-il quelque chose aussi pour les impaires. Peut-être que tu devrais demander à ton directeur de projet.

[mtheory]

En fait, je viens de trouver. Cet espace s'appelle RP(3), c'est l'espace projectif réel.

Je suis d'accord avec cela et comme je l'ai dit à Deep-Turtle le cas doit être traité dans le physic report 'Cosmic Topology' que je viens de citer.

[invite51f4efbf]

En fait, je viens de trouver. Cet espace s'appelle RP(3), c'est l'espace projectif réel.

Faudrait vraiment que je me mette à ces trucs. Qu'est-ce qui le distingue de en fait ?

Pour Gauss-Bonnet, en fait je dois avoir ça dans le bouquin de Milnor, j'y jetterai un oeil

PS : Merci pour ton invitation, je ne vais pas manquer ça

[mtheory]

Je viens de lire sur http://www-timc.imag.fr/Olivier.Cinquin/ter/node31.html une formule pour les dimensions paires. Mais peut-être y a-t-il quelque chose aussi pour les impaires. Peut-être que tu devrais demander à ton directeur de projet.

Je me souvenais d'un truc dans le genre dans Analysis,manifolds and physics de Choquet-Bruhat et all mais je n'étais plus trés sur.
Dans la référence donnée il utilise la courbure conforme de Weyl ce qui n'est plus la même chose mais j'imagine que Gauss Bonnet 2 D est un cas particulier.
Cela semble marcher en dimensions paires ce qui me fait suspecter un lien avec les variétées Khalériennes pour les conditions de validités.

[invitea29d1598]

Si je veux déduire la métrique des équations d'Einstein (connaissant le contenu en masse-énergie) je n'ai pas besoin de me préoccuper de ce problème de bord, non ?

j'ai pas lu en détail tout le fil, mais je me permets juste un bref commentaire sur ça: la RG est une théorie locale qui ne dit a priori rien sur la topologie. Mais on peut formuler les équations d'Einstein de manière hamiltonienne et/ou avec un découpage 3+1 comme pour les équations de Maxwell formulées vectoriellement (3D) et non de manière quadrivectorielle. Mathématiquement, les problèmes sont très semblables:

- les équations se séparent en "contraintes" (EDP spatiales uniquement) et équations d'évolutions temporelles
- avec ça, on montre que c'est bien un problème de Cauchy (cf le bouquin de Wald)

donc l'imposition de conditions limites est inévitable, et avec elle les histoires de bords et de topologie.

[invite6acfe16b]

Faudrait vraiment que je me mette à ces trucs. Qu'est-ce qui le distingue de en fait ?

Il a un H₁ qui vaut Z/2Z.

[invite8c514936]

donc l'imposition de conditions limites est inévitable, et avec elle les histoires de bords et de topologie.

Mais précisément, si on fait une certaine identification des bords d'un volume fini, est-ce qu'on ne s'affranchit pas du besoin de conditions aux limites (si je résoud l'équation de Laplace 2D sur un carré dont j'identifie les côtés opposés, je trouve des modes et je peux écrire toute solution comme une somme sur ces modes, sans avoir écrit la moindre condition aux limites, non ?) .

[invitea29d1598]

Mais précisément, si on fait une certaine identification des bords d'un volume fini, est-ce qu'on ne s'affranchit pas du besoin de conditions aux limites

je vois plutôt ça comme l'imposition de conditions aux bords périodiques...

[invitea29d1598]

plus précisément: les modes que tu trouveras dépendront de ton choix de décomposition: sur une base de Fourier (pour un carré) ou sur une base d'harmoniques sphériques (pour un disque): le choix de ta base doit dépendre de la géométrie si tu veux que ça soit "mathématiquement propre"...

[invite6acfe16b]

Mais précisément, si on fait une certaine identification des bords d'un volume fini, est-ce qu'on ne s'affranchit pas du besoin de conditions aux limites (si je résoud l'équation de Laplace 2D sur un carré dont j'identifie les côtés opposés, je trouve des modes et je peux écrire toute solution comme une somme sur ces modes, sans avoir écrit la moindre condition aux limites, non ?) .

En fait, il faut être sûr que localement c'est plat. Dans le cas du carré, si on prend un point du coin, on peut dessiner un petit disque autour de lui. On remarque que le disque est divisé en quatre quarts, mais qu'il reste de même aire au total. Par contre si tu prends un octogone et que tu identifies les côtés opposés, lorsque tu dessines un disque autour d'un coin, il va se diviser en 8 portions dont l'aire est de 3/8 par rapport au disque de départ. Donc cela ne va pas si on met une métrique euclidienne. Par contre, si on le voit dans le plan hyperbolique cela va aller, car les disques auront une aire plus adéquate.

[invitea29d1598]

dernière remarque avant de retourner à tu-sais-quoi : la décomposition de Fourier classique marche pour étudier les modes de manière locale (ceux liés à des petites échelles), mais si tu veux étudier le spectre de manière complète, la géométrie doit être prise en compte. Tu as une illustration de ça dans un chapitre de l'excellent bouquin d'hydro de Rieutord, ref sur sa page: http://webast.ast.obs-mip.fr/people/rieutord/

en tant qu'astrophysicien (mais qui fait des papiers parfois très mathématiques sur ce genre de trucs), il parle dans son bouquin de problèmes tels que les modes d'oscillations d'un fluide sphérique (autogravitant donc). Et il illustre les approches locales et globales.

[invite8c514936]

OK Rincevent, je comprends. Et tu as une idée de ce que pourraient être ces conditions aux limites périodiques pour une boule ? J'avais en tête f(R+r, theta, phi)=f(r, pi-theta, phi+pi) où R est le rayon de la boule mais ça me parait bizarre. Quelqu'un plongé dans cet espace qui traverserait ce bord (qui n'en serait plus un) pourrait-il dire qu'il s'est passé quelque chose de bizarre si je fais cette identification ?

Bon désolé je tourne un peu en rond en reformulant ma question, je vais réfléchir un peu plus...

PS : je viens de lire ton dernier message, merci je vais aller voir, bon courage pour je-sais-quoi !!