Factorisation d'un polynome dans R[X]

[invitef5b5a18a]

Est ce que quelqu'un de plus compéten de moi sur le sujet pourrait m'indiquer comment factoriser P(X)=(X^n) + 1 dans R[X].

Merci beaucoup
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[invite03f2c9c5]

Une manière simple est de factoriser d'abord dans C[X], ce qui revient à chercher les racines n-ièmes de -1. Puis, en regroupant certains facteurs deux par deux (s'il y a une racine non réelle, son conjugué est aussi racine)…

[invite02ff2428]

à vous.

Je suis impressionée par tant d'apptitudes.

[invitef5b5a18a]

ok merci je vois unn peu mieux le truc la

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite03f2c9c5]

Pour y voir plus clair, ce peut être une bonne idée de commencer par quelques exemples, du genre n=3 et n=4. Cela permet en passant de voir que la situation est légèrement différente selon que n est pair ou impair.

[invitef5b5a18a]

en fait le truc qui me fait peur c'est qui a n solutions!! comment on fait pour les trouver vu que n est infini??

[invite03f2c9c5]

en fait le truc qui me fait peur c'est qui a n solutions!! comment on fait pour les trouver vu que n est infini??

Un nombre n'est pas infini ! Ici, n est quelconque mais fini. Mais c'est vrai que ce n'est pas facile à écrire proprement avec n quelconque, et c'est pourquoi je te conseille de regarder quelques exemples avant d'attaquer le cas général.

Pour le cas général, saurais-tu écrire la factorisation dans C[X] pour commencer ?

[invitef5b5a18a]

sa donne exp i(((2k+1))pi)/n) ou k decri [0;n-1]

d'ou (X^n)+1=produit (k=0 a n-1) de (X-exp...)

c'est après que je suis perdu

[invite03f2c9c5]

Ok, tu es bien parti. En clair, le terme prend les valeurs ,... , .

Maintenant, on a , de sorte que . De même, , de sorte que , etc. C'est ainsi que tu vas pouvoir associer tes facteurs deux par deux, par exemple tu vas regrouper et , ce qui va te donner le produit , qui a le bon goût de donner un polynôme à coefficients réels après développement. Maintenant, il te reste à essayer d'écrire tout ça proprement, en distinguant deux cas selon que n est pair ou impair (dans le cas impair, il restera un terme au milieu associé à aucun autre, pour ). Bon courage !

[invitef5b5a18a]

sa c'est ok mais le truc que je capte pas c'est que k prends les valeurs de 0 a n-1 il y aura donc n exp différentes soit n/2 regroupement de binomes.Comment tous les trouver??

[invite03f2c9c5]

sa c'est ok mais le truc que je capte pas c'est que k prends les valeurs de 0 a n-1 il y aura donc n exp différentes soit n/2 regroupement de binomes.Comment tous les trouver??

Et bien, tu auras un produit dans ta formule finale, du genre produit pour k variant entre 0 et n/2 dans le cas où k est pair, ou entre 0 et (n-3)/2 dans le cas où k est impair… Tu ne peux pas avoir une formule plus explicite si la valeur de n n'est pas précisée.

[invite03f2c9c5]

Bon, puisqu'on a presque terminé, je te donne les réponses que j'ai obtenues.

Pour pair, on a

.

Pour impair, on a

.

En espérant ne pas avoir fait d'erreur de calcul !

[invitef5b5a18a]

n/2 -1 et n-3/2 il vienne de ou?

[invitef5b5a18a]

explique moi juste comment t'en arrive a là en fait stp.Il faut que je le comprenne parce que c'est hyper important.

[invite03f2c9c5]

Et bien au départ (quand tu restes avec les exponentielles complexes), varie entre et , et le terme prend les valeurs ,... , , soit valeurs différentes en tout.

Dans le cas où est pair, tu vas conserver la première moitié de ces valeurs, et les regrouper avec l'autre moitié. Bref, l'indice va prendre valeurs différentes, en partant de , ce qui fait aller jusqu'à .

Dans le cas où est impair, lorsque varie entre et , il passe par une valeur centrale qui est . C'est en vérité pour cette valeur que tu obtiens le facteur . Tu regroupes tous les facteurs d'avant, pour variant donc de à , avec un facteur associé qui vient après.

Voilà, pour y voir plus clair, tu peux essayer de voir ce que ça donne avec de petites valeurs de ; j'avoue que ce n'est pas évident sinon.

[invitef5b5a18a]

pour les pair c'est ok mais pour les impairs je vois pas comment avec k=n-1/2on obtient exp(2k+1)pi/n =1??

je sais je suis un peu lourd...

[invite03f2c9c5]

Y a pas de mal, c'est juste qu'on obtient, pour cette valeur de k, et non +1…