[Maths] [1èreS] Modélisation : maximiser un volume

[invite2c6a0bae]

Bonjour,


Voici un petit exo que j'adore :

Notions requises
> géométrie élémentaire (bien acquise en 1ere normalement ...)
> études de fonctions (si vous n'avez pas vu les études de fonctions, revenez plus tard )

Enoncé :

On se donne une sphère de rayon R. On y place un cylindre, comme sur le schéma, à l'interieur. Il y a contact, bien sur...
On note h, la hauteur du cylindre et r son rayon.

Objectif :
Trouvez les paramètres h et r du cylindre pour que celui-ci ait un volume maximal.


Aide ( A ne regarder qu'apres avoir bien, vraiment bien cherché !)
1/

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Refaire une figure en réalisant une section plane de la sphere et du cylindre. Dégagez alors une relation entre les divers parmètres

2/

 Cliquez pour afficher

Ecrire ce que vaut le volume en fonction de h et r. Utiliser la relation précedente pour obtenir uen fonction d'une variable.

3/

 Cliquez pour afficher

Faire l'etude de la fonction ainsi obtenue, et c'est quasi gagné !

A vous de jouer.
Cherchez vraiment, n'hésitez pas a proposer des morceaux, des idées et je vous dirigerai.

François
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[inviteec581d0f]

Salut Spip !

J'attends la validation et je me lance dans ce problème

[inviteec581d0f]

Bon après avoir cherché, je n'ai pas trouvé. Donc j'ai lu l'indication 1/ et je ne vois pas quelle est cette relation entre les paramètres oO

Plz Help

[invite2c6a0bae]

Oui, c'est le plus difficile. As tu fait ta section plane ?
Mets ca sur le forum, que je vois un peu la tete de ta section
Dépose y le max d'infos sur les longueurs connues.

Le truc est de faire apparaitre un triangle rectangle et appliquer un bon vieux theoreme du collège.

Fr.


PS : note bien les points (A B C ...) ca sera plus facile pour donner des indications ultérieures.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec581d0f]

Oki d'accord, je vais essayer de te scanner çà lol

[invite2c6a0bae]

Oki d'accord, je vais essayer de te scanner çà lol

alors elle donne quoi cette section ???

[invitebfbf094d]

Je n'avais pas vu cet exercice . Alors, on voit sur la figure qu'on a R² = r² + h²/4. Le volume du cylindre est donné par . On injecte dans V l'expression de r déduite de la première relation. On dérive V par rapport à h et on cherche la valeur de h pour laquelle V ' = 0. J'obtiens . On en déduit r : , sauf erreur de ma part dans les calculs ...

[invite2c6a0bae]

Je n'avais pas vu cet exercice . Alors, on voit sur la figure qu'on a R² = r² + h²/4. Le volume du cylindre est donné par . On injecte dans V l'expression de r déduite de la première relation. On dérive V par rapport à h et on cherche la valeur de h pour laquelle V ' = 0. J'obtiens . On en déduit r : , sauf erreur de ma part dans les calculs ...

C'est bien.

Si l'on veut etre pointilleux, faudrait vérifier que c'est bien un maximum

Pour ceux qui veulent s'ammuser encore, on peut ecrire V(r) et étudier cette fonction.

François