Formule du binôme généralisée

[invite93e0873f]

Bonjour,

Je voulais savoir quels étaient les conditions à respecter pour que la formule du binôme généralisée soit vraie, soit :



La valeur absolue de a/b doit-elle absolument être inférieure à 1? r peut-il être n'importe quel réel?

Je ne demande pas nécessairement d'avoir toute la théorie qui va autour (ce qui serait néanmoins l'idéal... mais ce n'est pas des cours qu'on demande ici), n'ayant de toute façon jamais vu le sujet en classe. C'est que j'ai essayé de l'utiliser dans d'autres cas que r élément des naturels et je n'obtiens pas toujours l'égalité ci-dessus... Alors je me dis qu'il doit y avoir des 'restrictions' que j'ignore.

Merci pour votre aide

Universus

EDIT : par exemple, est-ce grave si c'est a qui est affecté de l'exposant r-k et non b? Merci.
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[invite1237a629]

Plop,

r doit être un entier, enfin dans les exos que j'ai faits, ça l'a toujours été
Que tu intervertisses r-k avec k, ça n'a aucune importance, il suffit que tu fasses quelques essais et tu verras que ça marche.
Par contre, la somme ne va pas jusqu'à l'infini, mais jusqu'à r (ce qui explique le point précédent).
Pour a et b, aucune condition dessus.

[invite43bf475e]

Euh je voudrais juste ajouter, mais bon au niveau du lycée ca n'a pas vraiment d'importance puisque l'on travaille dedans sans le savoir, cela marche pour tous anneaux avec a et b COMMUTATIF! sinon paf, ca ne marche pas, mais dans notre cas (IR,+,x) marche alors ouf

[invite93e0873f]

Salut à tous,

Argh... les anneaux commutatifs... que de mots dont je ne comprends pas le sens J'ai bien essayé pourtant de comprendre ce que c'est (j'ai réussi, mais reste en m'en souvenir à présent ). C'est qu'on ne voit pas ces notions par chez moi, alors... Mais, pour tout de même comprendre le sens de commutatif, j'ai déjà lu en effet qu'il fallait que ab=ba. Mon problème est le suivant (ça permettra aussi de te répondre MiMoiMolette):

Je connais déjà la formule du binôme de Newton, soit :



où n est un naturel. Les termes k et n-k sont... symétriques entre eux, de telle sorte que peu importe que ce soit a ou b qui soit affecté de k ou de n-k, dans la somme, ce n'est que la position des différents monômes qui varie.

Mais Newton aurait généraliser sa formule pour des exposants non-entiers et des entiers négatifs, obtenant ainsi la formule citée dans mon précédent message. Je vois bien que la formule généralisée redonne la formule ci-haut pour r élément des naturels, mais les choses se compliquent pour les autre valeurs possibles de r.

En fait, ne vaut que pour n élément des naturels ; plus généralement, on a . De tels coefficient binomial n'ont pas pour valeur 0 pour toute valeur de k pour r n'étant pas élément des naturels, ce qui expliquent, en un sens, pourquoi il s'agit d'une somme infinie de termes.

On voit aussi que si r n'est pas un naturel, puisque k en est un, alors k n'est que rarement égal à r-k, ce qui fait que la somme a une toute autre apparence si on a ou , enfin il me semble...

Merci encore

Universus

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2220c077]

Mais Newton aurait généraliser sa formule pour des exposants non-entiers et des entiers négatifs

Il a même fait encore mieux. Il l'a généralisée pour un nombre quelconques de termes, réels ou complexes (formule du multinôme de Newton) :

Qui se réécrit encore :

[invite93e0873f]

En effet, mais je n'ai absolument jamais déchiffré cette notation Oh, je viens de voir ce à quoi correspond le coefficient binomial ; merci, j'ai appris quelque chose aujourd'hui

[invite1237a629]

Il a même fait encore mieux. Il l'a généralisée pour un nombre quelconques de termes, réels ou complexes (formule du multinôme de Newton) :

Qui se réécrit encore :

Que signifie cette écriture de la combinaison ? oO

Par contre, n reste bien un entier ! Oo

[invite2220c077]

MiMoi > La deuxième écriture utilise les coefficients multinominaux (le cas où m = 2 donne le coefficient binominal).

[invite93e0873f]

Et hop, on ne sait plus ce à quoi vaut le coefficient binomial Merci encore, mais je cherche surtout à comprendre ce qui en est pour des exposants non-naturels. J'aimerais savoir de quelle façon la formule de Newton peut s'appliquer à autres choses qu'à l'infinité de fonctions polynomiales

[invite1237a629]

MiMoi > La deuxième écriture utilise les coefficients multinominaux (le cas où m = 2 donne le coefficient binominal).

Edit suite au message suivant de Zweig : merci, c'est bon now =)

@Universus : apparemment, ça n'existe pas...ai essayé de trouver sur internet.

[invite2220c077]

Mince, pas eu le temps d'éditer, toujours pour MiMoi :

La deuxième écriture utilise les coefficients multinominaux (le cas où m = 2 donne le coefficient binominal) :



avec

[invite43bf475e]

excusez, j'ai oublier un s à commutatifS! oups!

[invite93e0873f]

Eh bien, je pense pouvoir à présent travailler avec le multinôme de Newton, chose que je ne m'attendais pas à découvrir ici ; merci beaucoup Zweig.

Pour ce qui est du binôme généralisé, j'en ai 'entendu parlé' pour la première fois sur wikipédia (on en traite aussi dans l'article anglais (évidemment)) :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%...%A9ralis%C3%A9

On y fait mention de certains critères à respecter, mais bon... ça me cause tout de même des problèmes.

Amicalement

[invite1237a629]

J'en apprends de belles aussi

J'suis déjà rouillée pour les séries, mais c'est vrai que c'est envisageable ^^

Bon, l'heure de la pause on dirait XD

Merci pour tout Zweig

[Flyingsquirrel]

J'aimerais savoir de quelle façon la formule de Newton peut s'appliquer à autres choses qu'à l'infinité de fonctions polynomiales

Une utilisation classique : le calcul des puissances de matrices comme où A est de taille n. Comme précisé par MILAS, ça marche ici parce que la matrice identité commute avec toutes les autres...

[invite93e0873f]

Merci, c'est une application que j'ignorais de cette formule (en fait, vous voyez que j'ignore bien des choses...).