Bonjour,
Je voudrais vérifier avec vous mon résultat que je trouve étrange:
On nous demande de calculer pour k =< n la somme A(n,k) suivante :
A(n,k) =
Je pose alors (1 - ex)n =
(d'après la formule du binôme de Newton);
Et en dérivant l'expression précédente k fois on trouve :
((1 - ex)n)(k) =
Donc :
A(n,k) = ((1 - e0)n)(k) = 0.
Est-ce correct ??
Si non, comment peut on calculer cette somme ? Merci d'avance.
Je dois réctifier et préciser que ce n'est valable que si k est différent de 0.
Si k = 0 alors A(n,k) = - 1 puisque la derivee 0 c'est la fonction elle même
Désolé j'ai fait une grosse erreur ici;Envoyé par Gunboy
L'écriture correcte serait : A(n,k) = (((1 - ex)n)(k)) (0) qui ne me donnerait rien lol
Essaie de faire un developpement limité de (1-exp(x))^n à l'ordre k en 0 ca te donnera A(n,k).
Merci pour ta réponse,
Mais comment ça me donnerai A(n,k) ?
Et en plus je ne sais pas comment le faire car on a à peine commencer ce chapitre.. Comment calculer ce DL ?
Merci.
Voilà j'éspère que j'ai réussi à trouver;
Je le mets ici pour vérifier, et pourque la solution reste pour quiconque tombera sur cet exercice :
Posons :
D'où en dérivant k fois :
Et par suite :
1/ Pour k = 0;
2/ Pour k entre 1 et n-1;
Montrons par récurrence sur k que Pk : "où P(e^x) est un polynôme en e^x." :
- Pour k = 1 :
- Soit k dans [1 , n - 2] , Supposons Pk et montrons Pk+1 :
On a :
D'où :
CQFD.- Donc, quelquesoit k dans [1 , n - 1] :
3/ Pour k = n;
Montrons par récurrence sur n Pn : "
- Pour n = 1, A(1,1) = -1.
- Soit n>= 1, supposons Pn et montrons Pn+1 :
CQFD.- D'où quelquesoit n >= 1;
Exercice 1. Calcul de sommes
Calculer
Pn
k=0
kCk
n et
Pn
k=0
Ck
n
k + 1.
Exercice 2. Calcul de sommes
Soient n, p 2 N avec n > p.
1) V´erifier que Ck
nCp
k = Cpn
Ck−p
n−p pour p 6 k 6 n.
2) Calculer
Pn
k=0
(−1)kCk
nCp
k .
3) En d´eduire
Pn
k=0
(−1)kCk
nkp = 0 si p < n.
Exercice 3. Calcul de sommes
Soient n, p 2 N. Simplifier
Pp
k=0
(−1)kCk
n.
Exercice 4. Sommes de cardinaux
Soit E un ensemble fini de cardinal n. Calculer
P
AE
card(A),
P
A,BE
card(A \ B),
P
A,BE
card(A [ B).
Exercice 5. Sommes d’entiers
Soit n 2 N. Calculer
P
i+j=n
ij et
P
i+j+k=n
ijk.
Exercice 6. Combinaisons avec r´ep´etitions
Soient n, p 2 N. On note ��p
n le nombre de n-uplets (x1, . . ., xn) 2 Nn tels que x1 + . . . + xn = p.
1) D´eterminer ��0
n, ��1
n, ��2
n, ��n2
.
2) D´emontrer que ��p+1
n+1 = ��p
n+1 +��p+1
n (on classera les (n+1)-uplets tels que x1 + . . . +xn+1 = p+1 suivant que
x1 = 0 ou non).
3) En d´eduire que ��p
n = Cp
n+p−1.
Exercice 7. Sommes de coefficients du binˆome
Soient n, p 2 N. Montrer que
Pn
k=0
Cp
p+k = Cp+1
p+n+1.
Exercice 8. Cpn
maximal
Soit n 2 N fix´e. D´eterminer pour quelle valeur de p le nombre Cpn
est maximal (on ´etudiera le rapport Cpn
/Cp+1
n ).
Exercice 9. Parit´e de Cpn
Soit p 2 N, et n = 2p.
1) Soit k 2 {1, . . ., n − 1}. V´erifier que kCk
n = nCk−1
n−1.
2) En d´eduire que : 8 k 2 {1, . . ., n − 1}, Ck
n est pair.
3) En d´eduire que : 8 k 2 {0, . . ., n − 1}, Ck
n−1 est impair.
Exercice 10. Formule de Vandermonde
Soient a, b, c 2 N. D´emontrer que
Pc
k=0
Ck
aCc−k
b = Cc a+b . . .
1) En calculant de deux mani`eres (1 + x)a(1 + x)b.
2) En cherchant le nombre de parties de cardinal c dans E[F, o`u E et F sont des ensembles disjoints de cardinaux
a et b.
3) Application : Soient n, p, q 2 N. Montrer que
Pq
k=0
Ck
q Cp+k
n = Cp+q
n+q.
Exercice 11. Formule d’inversion
Soit (xn) une suite de r´eels. On pose yn =
Pn
k=0
Ck
nxk. Montrer que (−1)nxn =
Pn
k=0
(−1)kCk
nyk.
Exercice 12. Suite de Fibonacci
Soit un =
Pn
p=0
Cp
n−p. Montrer que u0 = u1 = 1 et : 8 n 2 N, un+2 = un+1 + un (suite de Fibonacci). dsl mais pas trop l'temps de develloper pi dis moi
