Binôme de Newton avec coefficients non entiers

Deeprod · 27/01/2007 - 16h15

Bonjour à tous,

Je dois apprendre les developpements limitées en 0 des fonctions "classiques" et je bute sur une notation de mon professeur.
Car en ce qui concerne le dl de (1+x)^a, on peut exprimer les coefficients du polynômes avec le binôme de Newton. Mais notre professeur l'utilise aussi avec un a rationnelle, (notament avec a = 1/2 et -1/2 pour les dl de sqrt(1+x) et 1/sqrt(1+x)).
Il nous a bien prevenu que ca ne s'utilisait pas, que c'était simplement pour apprendre moins de formule.

Cependant je vois pas comment calculer C(n,1/2).
Quelqu'un a une idée ?

Merci

indian58 · 27/01/2007 - 16h53

Oui, c'est qu'une convention d'écriture:

C(n,a)=a*(a-1)*...*(a*n+1)/n!

Duke Alchemist · 27/01/2007 - 18h21

Bonsoir.

... On oublie... j'ai mal lu ! désolé

Duke.

Ledescat · 27/01/2007 - 18h25

Oui, c'est vrai que...c'est déroutant

Deeprod · 29/01/2007 - 17h32

Pour informations, j'ai demandé à mon professeur et il m'a repondu ceci :

On peut généraliser le binôme de Newton C(n,a) avec un a rationel, cependant on ne peut plus l'ecriture avec la forme "factoriel sur factoriel" mais comme ceci :

C(n,a) = a(a-1)(a-2)...(a-(n-1)) / n!
Comme l'avais montré Indian.

Et d'après lui, on peut généraliser encore avec a et n dans... C !
Cela permettrait de savoir la meilleur façon de trouver e chaussette dans pi

Apparement c'est plus utile que ça en a l'air d'après mon professeur.

Donc on peut n'apprendre qu'une formule pour (1+x)^a, avec a dans R

jozog47 · 29/01/2007 - 18h12

C'est une bonne chance parce que les formules de DL, c'est quand même assez chiant à apprendre sinon...

martini_bird · 30/01/2007 - 05h28

Salut,

la généralisation s'écrit
$(x+y)^n=\sum_{k=0}^{ \infty} \left(\begin{array}n\\ k\end{array}\right) x^k y^{n-k}$

avec $\left(\begin{array}n\\ k\end{array}\right)= \frac{ \Gamma (n+1) }{\Gamma (k+1) \Gamma (n-k+1)}$ où $\Gamma$ est la fonction gamma d'Euler.

Cordialement.

invite986312212 · 30/01/2007 - 10h39

dans le développement en série de $(1+x)^\alpha$ c'est les coefficients $C_\alpha^k$ qui interviennent, avec $k$ entier, et comme on peut les écrire $C_\alpha^k=\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)/k!$ il n'y a pas de difficulté particulière (ou bien quelque-chose m'échappe?)

martini_bird · 30/01/2007 - 10h44

il n'y a pas de difficulté particulière

Non bien sûr, sinon que $C_n^k$ c'est le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments : mieux vaut donc changer de notation. Et l'usage de la fonction gamma est naturel puisqu'elle généralise la factorielle. Enfin c'est du détail bien sûr.

Cordialement.

invite986312212 · 30/01/2007 - 10h48

on peut même écrire $(x+y)^n=\sum_{k=0}^\infty C_n^kx^ky^{(n-k)}$ qui reste vrai dans le cas $n$ entier puisqu'alors les $C_n^k$ s'annulent pour $k>n$ et comme ça on n'a qu'une formule à apprendre. ouais, bof.

indian58 · 01/02/2007 - 17h14

Comme le l'ai dit, C(n,a) n'est qu'une convention d'écriture (si on l'écrit sous forme développée sans les factorielles). donc a peut être n'importe quoi (ou presque). a peut très bien être l'élément d'un corps quelconque dont les lois sont notées + et *.