Exponentielles et logarithmes

[invitea250c65c]

Bonjour à tous,

Je suis en TS, j'ai fini le chapitre sur les exponentielles, logarithmes, j'ai bien compris pas de probleme mais je recherche quelques informations supplémentaires sur ces fonctions :

On nous a introduit l'exponentielle comme étant l'unique fonction solution du problème différentiel : y'=y et y(0)=1 et la logarithme néperien comme étant la bijection réciproque de cette fonction.
J'ai vu cependant qu'il y avait plusieurs facons d'introduire ces fonctions : par exemple, on peut dire que le logartithme est solution de l'équation fonctionnelle f(ab)=f(a)+f(b) en imposant des conditions, on peut également le définir comme étant la primitive F de la fonction inverse sur ]0;+infini[ telle que F(1)=1, ou encore que l'exponentielle vérifie l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)f(y) ... .

Je me demandais comment est ce qu'on a "découvert" ces fonctions historiquement. On m'a dit que le logarithme (népérien) était apparu avant et que l'exponentielle fut définie comme étant sa fonction réciproque.

J'ai lu que les logarithmes étaient utilisés pour simplifier des calculs, qu'on pouvait les utiliser pour extraire des racines carrées. Pouvez vous me donner des exemples car je ne vois pas trop comment on peut faire. Un autre exemple : sur la copie du bac d'einstein : http://forums.futura-sciences.com/thread123455.html , on trouve des "logsin", ca servait donc aussi en trigo ?
Il semblerait donc que les logarithmes jouaient un grand role dans les calculs, c'est sur que travailler sur des exposants nécessite la manipulation de nombres moins grands, j'immagine qu'ici c'est un peu le même principe.

Voila, c'était donc pour avoir d'autres applications des logarithmes et exponentielles que celles qu'on voit en cours, pour savoir comment on faisait avant les ordis, parce que nous en cours en gros l'exponentielle sert a résoudre des équa diff (physique, ...) et le logarithme néperien en est la fonction réciproque.

Merci d'avance.
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[invite71a2f53b]

bonjour,

pour ce qui est de exponentielle, elle a été definie comme la limite de la somme des :



ainsi,



ça s'appelle le développement en séries entières de l'exponentielle, mais c'est plutôt niveau BAC+2...

Quant au ln, il est effectivement pratique pour les calcul de produits ou avec des exposants fractionnaires :

ou pour ton exemple de racine,

je ne connais par contre pas l'origine du ln, a part comme etant la reciproque du exp, donc avis a tous ceux qui veulent completer ce message...

[invite1237a629]

Salut,

J'ai vu cependant qu'il y avait plusieurs facons d'introduire ces fonctions : par exemple, on peut dire que le logartithme est solution de l'équation fonctionnelle f(ab)=f(a)+f(b) en imposant des conditions, on peut également le définir comme étant la primitive F de la fonction inverse sur ]0;+infini[ telle que F(1)=1,

Petite erreur, c'est F(1)=0

Pour l'origine de l'exponentielle, je crois qu'on peut aller faire un tour chez Euler, mais je ne sais plus...moi et l'histoire, ça fait 2.

En ce qui concerne les séries entières, je pense plutôt que ça découle de : exp est solution de l'équadiff y'=y, mais bon ^^

[invite7a018f1a]

Salut,
Si je me rappelle bien, Neper (mathématicien écossais) a un lien avec le logarithme (qui lui a pris son nom d'ailleurs) - j'crois bien qu'il l'a inventé mais... (wikipedia me donne raison, mais c'est wikipedia quoi...)
Si je me rappelle bien, il cherchait effectivement une fonction qui, appliquée sur un produit, donne une somme (f(ab) = f(a) +f(b)).
Quant à ses applications... en chimie log sert partout (-log[] de tout et n'importe quoi- -log[H₃O⁺], -log[HO^-], -log(Ks), ...) ; et ln sert à trouver la forme de la solution d'une équa diff du premier ordre ; après....

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[invitea250c65c]

Bonsoir et merci,

bonjour,

pour ce qui est de exponentielle, elle a été definie comme la limite de la somme des :

Oui mais ca c'est plutot apparu après, non ? Par exemple, les fonctions sinus et cosinus ont été d'abord définies comme on nous les a défini en seconde, parce que c'était pratique (relations dans les triangles, ...), puis ensuite sont venues les définitions rigoureuses avec les series. J'immagine qu'ici c'est la même chose, non ?

Petite erreur, c'est F(1)=0

Oui en effet merci petite erreur .

Salut,
Si je me rappelle bien, Neper (mathématicien écossais) a un lien avec le logarithme (qui lui a pris son nom d'ailleurs) - j'crois bien qu'il l'a inventé mais... (wikipedia me donne raison, mais c'est wikipedia quoi...)
Si je me rappelle bien, il cherchait effectivement une fonction qui, appliquée sur un produit, donne une somme (f(ab) = f(a) +f(b)).
Quant à ses applications... en chimie log sert partout (-log[] de tout et n'importe quoi- -log[H3O+], -log[HO-], -log(Ks), ...) ; et ln sert à trouver la forme de la solution d'une équa diff du premier ordre ; après....

C'est vrai qu'aujourd'hui ces fonctions sont un peu partout utilisées parce que c'est pratique (en chimie par exemple c'est en effet plus pratique de parler de pH=7 que de [H3O+]=mol/L, ou de parler d'intensité sonore en décibels ...), mais je veux dire au niveau des maths et des calculs qu'est ce que ca a apporté, en dehors de la résolution des équa diff (enfin c'est deja énorme mais comme c'est le logarithme qui a d'abord été introduit on peut se demander si le but était la résolution des équa diff, ou alors il fallait penser a l'avance qu'une telle fonction admettrait comme reciproque une fonction qui se derive en elle même etc) ?
Pour reprendre l'exemple de la racine en effet comme , si on sait passer facilement de a et a (sans calculatrice) ca permet par exemple le calcul rapide de racines carrées (ou n-ièmes) : on determine le logarithme du nombre dont on souhaite extraire la racine carrée, on le divise par 2 (ou n pour la racine n-ièeme) et hop on a le logarithme de la racine carrée, y'a plus qu'a reprendre l'exponentielle pour obtenir la racine (au lieu d'extraire la racine on fait juste en fait une division par 2 mais il y a en plus les conversions avec logarithmes et exponentielles ...). Encore faut-il pouvoir calculer les logarithmes et exponentielles facilement ... et ca a priori ca a pas l'air évident (pas plus que d'extraire une racine ...) ; par exemple pour l'exponentielle on peut utiliser les series entieres mais je ne sais pas si ca existe depuis très longtemps, ou bien on peut dire que mais bon grosses puissances a calculer a la main pas facile non plus ... .

Il y a dans mon livre de maths un texte dans lequel Neper dit que grace aux logarithmes il a pu résoudre en quelques semaines (je crois) un probleme qui lui aurait sinon mis plusieurs mois a résoudre, mais sans plus de détails.


Encore merci pour vos réponses, je vais un peu chercher de mon côté, et puis si vous avez d'autres infos c'est avec plaisir .

[invitea3eb043e]

J'ai lu que les logarithmes étaient utilisés pour simplifier des calculs, qu'on pouvait les utiliser pour extraire des racines carrées. Pouvez vous me donner des exemples car je ne vois pas trop comment on peut faire. Un autre exemple : sur la copie du bac d'einstein : http://forums.futura-sciences.com/thread123455.html , on trouve des "logsin", ca servait donc aussi en trigo ?
Il semblerait donc que les logarithmes jouaient un grand role dans les calculs, c'est sur que travailler sur des exposants nécessite la manipulation de nombres moins grands, j'immagine qu'ici c'est un peu le même principe.

Les calculettes ne sont apparues que vers 1970. Auparavant on utilisait des tables de logarithmes pour faire des multiplications, divisions et fonctions trigonométriques (pas les additions ni soustractions). Pour extraire une racine carrée, on cherchait le logarithme du nombre dans la table, on divisait par 2 et on cherchait dans la table le nombre dont c'était le logarithme. Avec de l'entraînement on allait presque aussi vite qu'avec une calculette mais pour remplir un tableau c'était la galère, comme avec une calculette non programmable. La table donnait aussi les logarithmes des sinus, cosinus, etc... ce qui permettait de calculer des fonctions du genre A*cos(X)/tg(Y).