Cherchez la faille

[Médiat]

Cherchez la faille

Tout ce qui suit la ligne de tirets ci-dessous peut être remis en cause, même ce que je baptise théorème (il suffit, par exemple, d'oublier une hypothèse), à vous de trouver l'erreur.
Merci de répondre avec la balise spolier (homotopie, Gwyddon, God's Breath (...), ne répondez pas trop vite , même sous spoiler).

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Théorème : un plongement surjectif est un isomorphisme
Théorème : deux modèles isomorphes sont élémentairement équivalents (vérifient les mêmes formules du premier ordre)
Théorème : toute théorie consistante admet un modèle
Théorème : Une théorie T -catégorique (tous les modèles dénombrables sont isomorphes) est complète.

Soit et 2 modèles dénombrables de l'arithmétique de Peano
Soit l'application de dans telle que et
est un plongement (trivial puisque les deux lignes de définition de sont celles d'un plongement)
est surjectif : démonstration, soit une propriété des éléments de définie par : alors , donc grâce à l'axiome de récurrence adapté à , on en déduit , autrement dit est surjective, donc est un isomorphisme, donc deux modèles dénombrables de Péano sont isomorphes, donc l'arithmétique de Péano est complète contrairement à ce que prétend le théorème de Gödel.
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[invite4ef352d8]

Bonjour !

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j'en suis pas absoluement sur (mes souvenir de logique et théorie des modèles sont déja loin apperement...), mais il y a deux points qui me gène :
1)rien n'assure l'existence d'une telle application f
2) P n'est pas une propriété qui peut s'écrire dans B, et donc l'axiome de récurence adapté n'existe pas

[invited749d0b6]

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n'est pas un prédicat de l'arithmétique de Peano

[Médiat]

D'abord : Ksilver et G13.
Ensuite : on aurait pu me reprocher de citer des théorèmes incomplets, puisque je ne précise pas qu'il s'agit de logique classique du premier ordre, mais ce reproche n'est pas (entièrement) recevable, puisque cette logique est la logique par défaut quand on ne précise pas le contraire, et aussi puisque je cite l'arithmétique de Peano qui est bien une théorie du premier ordre (mais voire ci-dessous pourquoi ce point est important néanmoins).
Les vraies failles sont donc bien :
f n'est pas une application (je n'ai pas démontré que Dom(f) = A, j'aurais pu le faire avec la même méthode que pour montrer que Im(f) = B, donc avec le même défaut.
la propriété P n'est pas un prédicat de l'arithmétique de Péano (même avec les constantes de B) et n'a donc aucune raison de vérifier l'axiome de récurrence.
Une remarque : dans cette pseudo démonstration l'hypothèse "dénombrable" n'est pas utilisée, le résultat était donc en contradiction avec le théorème de Gödel mais aussi avec celui de Lowenheim-Skolem.

A part le pur plaisir d'em ... bêter le monde avec cette question, j'avais d'autres motifs pour la poster :

1. Montrer à tous ceux qui ont cherché, mais pas trouvé que ce qui ressemble à une démonstration n'en est pas forcément une, imaginer que j'ai présenté les choses non comme une faille à rechercher mais comme une démonstration que Gödel s'était trompé, j'aurais peut-être pu convaincre certains d'entre vous ... (j'étais au palais de la découverte samedi et le mathématicien présent me disait que le palais recevait encore plusieurs démonstration par an de la quadrature du cercle (démontré comme impossible en 1882))
2. Montrer le danger à interpréter le théorème de Gödel en mathématique sans prendre beaucoup de précautions, et par conséquence l'inanité des tentatives de récupération dans d'autres domaines (pour autre chose que de faire une analogie assumé en tant que telle).
3. Montrer qu'en changeant "un peu" les hypothèses, le théorème de Gödel disparaît (ce qui renforce le point 2), en effet si on passe en logique du deuxième ordre, et que l'on remplace le schéma d'axiomes de récurrence par un axiome du deuxième ordre (on remplace la propriété P(n) par n'importe quel sous-ensemble), alors la "démonstration" ci-dessus fonctionne bien (en la complétant par un argument de même nature pour Dom(f)) : l'arithmétique du deuxième ordre est donc complète. Ce dernier point enterre donc les arguments du genre "Le théorème de Gödel signe la mort des mathématiques".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Jolie démonstration.

PS : je parle évidemment des trois points du dernier post.