Cherchez la faille
Tout ce qui suit la ligne de tirets ci-dessous peut être remis en cause, même ce que je baptise théorème (il suffit, par exemple, d'oublier une hypothèse), à vous de trouver l'erreur.
Merci de répondre avec la balise spolier (homotopie, Gwyddon, God's Breath (...), ne répondez pas trop vite, même sous spoiler).
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Théorème : un plongement surjectif est un isomorphisme
Théorème : deux modèles isomorphes sont élémentairement équivalents (vérifient les mêmes formules du premier ordre)
Théorème : toute théorie consistante admet un modèle
Théorème : Une théorie T-catégorique (tous les modèles dénombrables sont isomorphes) est complète.
Soitet
2 modèles dénombrables de l'arithmétique de Peano
Soitl'application de
dans
telle que
et
est un plongement (trivial puisque les deux lignes de définition de
sont celles d'un plongement)
est surjectif : démonstration, soit
une propriété des éléments de
définie par :
alors
, donc grâce à l'axiome de récurrence adapté à
, on en déduit
, autrement dit
est surjective, donc est un isomorphisme, donc deux modèles dénombrables de Péano sont isomorphes, donc l'arithmétique de Péano est complète contrairement à ce que prétend le théorème de Gödel.
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