0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!
Salut,
voilà une petite colle que je trouve assez instructive:
je pose F5=Z/5Z et je considère P=X10-X5 un polynôme de F5[X].
Grâce au petit théorème de Fermat, je peux écrire que P=x2 -X. (car, pour tout X de F5, X4 =1)
Dérivons maintenant les deux expressions de P à l'aide de la dérivation usuelle ( (Xn)'=nXn-1 ):
P'=10X9-5X4=0 d'une part, et
P'=2X-1 d'autre part.
En calculant P'(1), je trouve 0=1.
Sauriez-vous expliquer rigoureusement quelle erreur j'ai commise?
Cordialement.
Dernière modification par deep_turtle ; 25/02/2005 à 11h17. Motif: carré converti en X[exp]2[/exp]
Alala... on a pas le droit de dériver usuellement dans Z, ou en tout cas pas comme dans R...
Dans le meme style:
n^2 = n + n + n + n + ... + n <- n termes
on derive par rapport a n:
2n = 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n
=> 2 = 1
Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs
Bonjour,
Mmm, dans un corps fini (ou de caractéristique non nulle) c'est pas parceque 2 polynomes prennent les mêmes valeurs qu'ils sont égaux, on peut pas confondre polynome et fonction polynome comme on le veut gaillardement dans IR (ou Q ou C).
Du coup P=X²-X n'est pas vrai (de toute façon ils n'ont pas le même degré déjà).
je crois que la dérivation n'est pas fausse en soit (F_5 est un corps, et c'est une dérivation polynômiale, qui n'est pas nécessairement la même que la dérivation sur IR), mais comme le dit µµtt il n'y pas égalité des polynômes...
En fait, l'on n'a pas X^4 = 1, car il y a ici confusion entre X qui désigne une suite dans F_5[X] et "la valeur prise par X quand on fait X=x dans F_5" ; il n'y a pas plus isomorphisme entre le polynôme et la fonction polynômiale associée.
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Moi je ne vois pas du tout ce que peut signifier une dérivation sur un corps fini.Envoyé par 09Jul85
Que signifie lim [(f(x)-f(x0))/(x-x0)] quand x tend vers x0, pour une fonction à valeurs dans Z/5Z ?
Bonjour,
C'est une dérivation "formelle" qui ne s'exprime pas en termes de limite (cf par ex http://perso.wanadoo.fr/mathprepa/cours1/polyfrac.pdf page 8).
excusez du doublon, mais pour ne pas nécessairement aller lire le lien
où d est le degré de mon polynôme.
Rien ne m'empêche de consdiérer le polynôme Q suivant :
Ou encore écrit autrement :
Pour un polynôme de degré 1,
J'ai ainsi défini une application de K[X] dans K[X] qui à P associe Q, et je la nomme dérivation, et je note Q = P'.
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Je n'arrive pas à lire le document.
Acrobat reader trouve une erreur.
En attendant que je trouve un moyen de le lire, peux-tu me donner quelques infos ?
D'après ce que je comprends, c'est une dérivation qui n'a donc rien à voir avec la dérivation de fonctions numériques.
Est-ce que c'est une opération qui ne concerne que les polynômes et qui permet de garder les relations usuelles entre un polynôme et son dérivé (genre x racine d'ordre a+1 d'un polynôme => x racine d'ordre a du polunôme dérivé) ?
Merci, on a posté en même temps et je n'avais pas vu le post de 09Jul85.
Ah ok, autant pour moi, ce vocabulaire et ces notations me dépassent ! Mais j'aurais essayé
En tout cas j'ai jeté un oeil sur le pdf, et c'est ca que vous faites en prépa ?
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Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!
De toute façon a chaque fois qui existe une égalité alors 1 = 0 dans sa globalité :
Je prends un exemple :
Simplifions :
Ce qui donne :
Ce qui donne :
Simplifions :
Ce qui donne :
En gros, chaque fois que l’on a un (multiple ou fraction) ont obtiens une égalité du genre 1=1.
Et a chaque fois que l’on a une (addition ou soustraction) ont obtient une égalité du genre 0=0.
Et si ont a une égalité avec des additions et des multiplications, ont obtient alors plusieurs façons de simplifier ce qui selon les cas de simplification ont obtient 0=0 ou 1=1 et comme toute les façons sont valable pour résoudre, dans la globalité ont obtient forcément 0=1.
Après ont peut avancer que la simplification a une loi qui veut que l’on commence par les multiplications et finisse par les additions (ou vise versas je me souvient plus), mais au nom de quoi ce règlement éthique, la facilité ? Sinon ont peut dire aussi que l’on arrête la simplification quand ont obtient un résultat satisfaisant ! A bon ce n’est pas un peut arbitraire cela ?
PS : A vous de voir si la Philosophie peut faire partie des maths dans sa globalité, sinon laissez tomber ce message. (jespère que j'évite la modération encore une foi en dissant cela)
Dernière modification par Madarion ; 25/02/2005 à 12h40.
T'es sur que tu parles de maths ? Sinon donne moi 1000 euros ca changera rien a ton compte comme 1000=0...
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ni de maths, ni de philosphie ....
1=0 sa ressemble pas a la dualité expliqué en philosophie ?
Quand tu commenceras à comprendre toi-même ce que tu dis, tu pourras commencer à faire de la phoiosophie.
Sinon un seul commentaire : à mort les sophistes
Soi plus précis stp, je n'arrive pas à te comprendre !
Qu'est ce que j'ai fais de faux ?
Tu n'as rien fait de faux tant que tu écris des choses évidentes du style 1=1 ou 0=0. Mais 1/ il n'y a aucune philosophie la-dedans (regarde dans un dictionnaire pour la définition de ce mot), 2/ ça n'est pas le sujet du fil, il s'agit ici de trouver une erreur subtile dans un raisonnement, et 3/ ton intervention ne présente absolument aucun intérêt. Si tu n'as pas suivi le dit raisonnement merci de ne pas polluer le fil... Une discussion n'est pas une foire ou on dit n'importe quoi sur tout et rien.
Merci d'avance de respecter ce fil qui avait bien commencé...
PS : et ne me parle pas de mon manque de psychologie stp, je n'essaie même pas, à ce stade...
Salut,
bravo à µµtt et 09Jul85: un polynôme est effectivement un objet bien distinct de la fonction polynômiale associée. Une erreur classique mais parfois redoutable!
Cordialement.
NB: Désolé pour le titre: il a fallu que du soi-disant paradoxe naisse un engouement d'épancher des âneries.
[Mode=désobligeant] Il y a fort à parier que si le titre eût été "arithmétique dans F5", le fil n'aurait pas pris cette tournure.
Madarion, il existe des structures algébriques (des anneaux), dans lesquels 1=0. Ces anneaux sont d'un intérêt... très limité!
si j'ai bien compris, un polynome c'est une sorte d'opérateur ?!
K(X) sans préciser le X
Alors que la fonction polynomiale est ???
pfff j'ai jamais fait ca moi !
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Je ne sais pas ce que tu entends par opérateur (pour moi, un opérateur, c'est une application entre deux espaces de fonctions...).si j'ai bien compris, un polynome c'est une sorte d'opérateur ?!
K(X) sans préciser le X
Alors que la fonction polynomiale est ???
pfff j'ai jamais fait ca moi !
Un polynôme est un objet à part entière, auquel on associe (souvent) une fonction. Mais un polynôme n'est pas une fonction...
Si personne ne l'a fait avant moi, je reviendrai avec des réfs.
Cordialement.
Tu peux définir un polynôme sur un corps IK comme une suite à éléments dans IK nuls à partir d'un certain rang. C'est à dire comme la suite de ses coefficients.
Tu peux ensuite lui associer une fonction polynômiale qui à tout x associe a0 + a1x + .....
j'ai lu un peu le pdf joint un peu avant...
Bon, de ce que j'ai compris, et ce qu'a souligné Matthias, c'est que un polynome est finalement juste une liste de coefficient ? non ?
Ensuite la fonction polynomiale renvoit une puissance de x pondérée a un certain coefficient !
Pourquoi est-ce qu'on a besoin de faire la disctinction entre un polynome et une fonction polynomiale ?
alala si j'avais su j'aurais fait math...
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car un polynôme n'est PAS une fonction, c'est une entité mathématique qui est une suite presque nulle.
La fonction polynômiale par contre EST une fonction
On a besoin de faire la différence entre les deux dans des cas comme celui soulevé dans ce fil, quand le corps de référence est de caractéristique non nulle (c'est à dire qu'il existe un entier n tel que 1+ 1+ 1 +... + 1 n fois soit égal à 0)
Dernière modification par Gwyddon ; 25/02/2005 à 15h52. Motif: incomplet
A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.
