Voici une question de proba, j'avoue que je bloque dessus mais je ne suis pas loin....
Je vous la soumets car elle me parait intéressante :
Soitdes variables aléatoires réelles indépendantes de même loi uniforme sur
On pose
Montrer que
Et bien et bien, ne vous précipitez pas tous sur le sujet!
Bon voilà une façon de procéder. Prenons
Regardons l'événement
En langage normal, le fait que
En langage probabilistes ça s'écrit
Ici il faut faire gaffe : S et Y_k sont indépendantes pas hypothèses mais S et S + Y_k ne le sont pas, donc pas question de couper cette proba en produit! On va donc sortir l'artillerie habituelle : transfert, densité, indépendance de S et Y_k.
Par hypothèse la densité de Y_k c'est
Attention c'est parti pour les probas
Ca c'est la définition de P, maintenant on transfère :
où
et maintenant les densités :
On arrange un peu avec les fonctions caractéristiques et on sort le h(y) de l'intégrale en x.
On calcule l'intégrale du milieu en faisant des petites considérations d'intervalles : pour 0<y<1 fixé, on veut que y+x>1, ie x>1-y. cette intégrale calcule donc la mesure (de lebesgue) de l'ensemble des x entre 1-y et 1, ca ferait pas y par hasard? SI!
On touche au but :
On peut montrer à coup de convolution et autres que la densité h de S est, au moins sur l'intervalle [0,1], égale à
Maintenant on peut enfin calculer l'espérance de X (qui peut prendre toutes les valeurs entières strictement positive) :
C'est pas mignon tout ça? Au moins autant qu'une jolie fille.
Bonjour, j'ai une autre petite question, je bloque sur le calcul d'esperance suivant:
avec
où
où
où
où
Est-ce faisable? Si oui, on complexifie un peu (1ere etape):
Idem avec des distribution complexes-gaussiennes (puissances
Enfin, une question est de minimiser cette esperance en choisissant le
Si jamais qqu'un a une ideeMerci d'avance!!
Désolé pour une erreur de click au message précédent...
Guyem, suivant ton calcul pour k=2 h(y)=y or on a dans ce cas S2=Y1 donc on devrait retrouver la densité uniforme sur [0 1] cad h(y)=1. Il n'y aurait pas un pb d'indice ?
Parce que dans ce cas on ne retrouve pas exactement l'exponentielle, le k ne peut plus se simplifier avec du k! car on se retrouve avec du (k-1)!... De plus X ne semble pas pouvoir prendre la valeur 1, il faut donc sommer à partir de 2 pour calculer l'espérance, non ?
Merci pour votre aide
Bonjour,Envoyé par dazhoid
En calculant directement, j'arrive à E(X)=e-1 mais je peux m'être planté
As-tu une autre méthode de calcul ?
Personnellement avec ce décalage d'indice j'obtiens du 2e-1...
Désolé, comme prévu je me suis planté, c'est bien E(X)=e
je vois pas mon erreur, je trouve la densité
où est le problème ??
merci...
Erreur d'intégration :je vois pas mon erreur, je trouve la densité
où est le problème ??
merci...
et
merci beaucoup, j'avais recopié la formule écrite par Guyem en k=k-1 sans faire moi-même le calcul... désolé!
Zut, mais d'un coup tu me fais peur ; X ne peut effectivement pas prendre la valeur 1 et donc mon espérance déconne. Où me suis-je trompé ?
Non tu t'es un peu emmêlé dans les bornes en transcrivant tes résultats mais l'espérance est bien e
Merci tu me rassures.
Mais je me pose encore une question : pourquoi j'ai l'impression que cette espérance devrait être 2 ? Je m'explique : si on y va heuristiquement, chaque Y_i étant uniforme sur [0,1], on avance en moyenne à chaque tirage de 1/2. Donc pour avancer de 1, il va falloir en moyenne 2 tirages. Mais apparement le résultat heuristique n'est pas le même que le théorique.
C'est étrange parce que avec le même problème pour les dés ça marche : on lance pleins de fois un dé à 6 faces équilibré et on ajoute les résultats, on fixe un entier n. En moyenne au bout de combien de coup va-t-on dépasser l'entier n ? Il me semble que la réponse est n*2/7.
Des commentaires ?
Bonjour,
Si tu réalises une simulation de ton expérience tu vas obtenir X={2,3,2,2,4...} jamais 1 puisque que la proba que Y1=1 est nulle.
L'espérance de X ne peut donc qu'être supérieure à 2
Pour les dés, je pense que ce n'est pas 2n/7 mais plus
le cas des dés est très différent des uniformes, puisque pour le dé, on a non seulement un nombre minimum de lancers, mais aussi un nombre maximum. On ne peut par exemple obtenir e comme probabilité puisque cela signifierait qu'on peut calculer e par des procédés finis.
Si je comprends bien tu dis que, si on pouvait trouver e comme espérance, cela voudrait par exemple dire que E est rationnel puisque la somme qui définit l'espérance n'a qu'un nombre fini de termes, tous rationnels ?
Que penses-tu de l'espérance que j'ai donné au pif pour le temps d'atteinte d'un nombre n par des lancers de dés ?
Pour l'espérance, ton chiffre au pif n'est pas mal si n est grand, Pour petit on est loin du compte (avec n=1, l'espérance est 1)
J'ai trouvé une formule de récurrence
E(n)=1+E(n-1)+[E(n-2)...+E(n-6)]/6
A suivre
Ah oui tu as raison, il est peut-être un peu osé de dire que mon pif marche pour tout n. Par contre il y a fort à parier que E(n) est équivalent à 2n/7 quand n tend vers l'infini.
En effet, une récurrence d'ordre 6 semblera donner le résultat, encore faut-il avoir les 6 premières valeurs. Le calcul de E(2) est déà bordélique ...
Pour n<8 E(n)=(7/6)^(n-1)
En fait la relation de récurrence marche partout en posant E(n)=0 si n<1
Après, ça se complique...
Comme limite je parie pour
PS en prenant la formule exacte pour n<8 et celle donnée ci dessus pour n plus grand, on fait une erreur maxi de 5 pour mille
pourquoi +0.48 ?
moi je parie pour 2n/7 (il me semble que c'est ce que donne le théorème du renouvellement)
bon d'accord, +0.48 ne change rien! quel âne....
Pourquoi +0.48 ne change rien ? Il me semblait aussi que le renouvellement donnait 2n/7...
En fait je n'ai pas compris ce qu'est le K dans le message de zinia.
K, c'était la VA, tu peux remplacer par E(n).
Quand n tend vers infini, le 0,48 ne change pas vraiment la valeur de l'espérance. Ca ne contredit pas le th du renouvellement
Mais juste avant d'arriver à l'infini...
Bonsoir
Je remonte ce fil car j'ai doute sur cela :
Pour n fixé on a bien un nombre mini et maxi de lancers et donc une proba et espérance rationnelles.
Mais quand on passe à la limite quand n->infini, on devrait pouvoir atteindre un irrationnel, non ?
Je pense que oui, mais quand n tend vers l'infini seulement.
Dans le cas des variables uniformes sur [0,1], on cherchait à atteindre n=1, et on ne faisait pas tendre n vers l'infini ; on trouvait pourtant un irrationnel.
une question qu'on peut se poser c'est : quels sont les nombres qu'on peut atteindre comme proba ou disons comme espérance par passage à la limite dans un certain type d'expérience aléatoire. Pour fixer les idées, on peut se limiter aux tirages de dés à 6 faces.
Bonne soirée
Dans notre expérience, comme, Guyem l'a fait remarquer, on va obtenir une récurrence d'ordre 6. En posant que les proba élémentaires sont rationnelles (mais pas forcément de 1/6) la limite sera au pire solution d'une équation du sixiéme degré à coef rationneles.
Donc, je dirais que notre limite sera rationnelle ou algébrique mais pas transcendante.
Bon tout cela est un peu intuitif et pas trop rigoureux mais est-ce bien cela que tu veux dire ambrosio ?
