Soit E un-espace vectoriel de dimension finie et F un
-espace vectoriel.
Soient. Montrer les inégalités
Soienttelles que
et
est inversible.
Montrer que![]()
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Soit E un-espace vectoriel de dimension finie et F un
-espace vectoriel.
Soient. Montrer les inégalités
Soienttelles que
et
est inversible.
Montrer que![]()
Salut !
Je tente la première question :
Prouvons queest un sev de
.
Par définition, ce sont deux.
Il suffit donc de montrer que:
Commeet
, on a :
Ainsi :.
est donc bien un sev de
Par conséquent :
Or
donc
.
De là on déduit que :
Il est clair que. En effet :
En posant, on a
donc
i.e
. On montre de la même manière que
. On en conclut que
et donc que
.
On a par conséquent :
[TEX]rg f \leqslant rg(f+g) + rg g \leftrightarrow rg f - rg g \leqslant rg(f+g)/TEX]
On montre de la même façon que :
.
Finalement, on peut conclure que :
![]()
Désolé j'ai dû faire des erreurs, je corrige le message
Salut !
Je tente la première question :
Prouvons queest un sev de
.
Par définition, ce sont deux.
Il suffit donc de montrer que:
Commeet
, on a :
Ainsi :.
est donc bien un sev de
Par conséquent :
Or
donc
.
De là on déduit que :
Il est clair que. En effet :
En posant, on a
donc
i.e
. On montre de la même manière que
. On en conclut que
et donc que
.
On a par conséquent :
On montre de la même façon que :
.
Finalement, on peut conclure que :
![]()
Salut !
Je tente la première question :
Prouvons queest un sev de
.
Par définition, ce sont deux.
Il suffit donc de montrer que:
Commeet
, on a :
Ainsi :.
est donc bien un sev de
Par conséquent :
Or
donc
.
De là on déduit que :
Il est clair que. En effet :
En posant, on a
donc
i.e
. On montre de la même manière que
. On en conclut que
et donc que
.
On a par conséquent :
On montre de la même façon que :
.
Finalement, on peut conclure que :
![]()
Désolé pour mes posts ratés, mais c'est la première fois que j'utilise latex sur le forum!
Ca m'a l'air bon.
Me revoilà pour le deuxième exercice :
Montrons d'abord qu'une et une seule des deux applications est forcément constamment nulle. Pour cela raisonnons par l'absurde :
- d'abord le cas trivial où les deux applications sont nulles : ceci est impossible dans la mesure oùest inversible
- ensuite, supposonset
non constamment nulles. Remarquons qu'alors les deux applications s'annulent plus d'une fois (
) mais qu'elles ne s'annulent jamais en même temps (excepté en
) : dans le cas contraire, on aurait
}[/TEX] ce qui est impliquerait que
n'est pas injective mais c'est impossible car
est inversible.
Par conséquent il existetel que :
.
Mais alors, on a :
.
Ceci est absurde car. On en conclut que l'on ne peut pas avoir
et
non constamment nulles.
Ainsi, on a soitsoit
constamment nulle.
Quitte à changer le rôle deet de
, on peut maintenant supposer que
.
Dès lors, on a :. On peut même écrire que :
.
Orest inversible donc c'est une bijection. On en déduit que
donc que
.
Commeest une bijection, on a :
d'où
Ainsi :
Q.E.D.
Petite erreur à la ligne 9 : il faut lire que le noyau de l'application linéaire est différent de l'ensemble {}.
Tu es en train de multiplier des vecteurs là ?Envoyé par Bloud
.
Pour des endomorphismes, la composition est souvent notée multiplicativement. Ici fg désigne donc fog ...
Au temps pour moi. C'est une erreur bête! C'est à cause de l'habitude de travailler dans. Je vais me repencher sur le problème.