d(variable) dans les intégrales

[invite3c81b085]

A quoi sert le d(variable) dans les intégrales??
Que cela représente-t-il??
Pourquoi la dérivée du fonction f(variable) = df/d(variable)

Merci de me répondre.
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[Cyp]

Ba en fait ça dépend de ce que tu as vu en maths...
Si tu es en terminale, le plus simple est de considérer que le dx dans une intégrale t'indique rapport à quelle variable tu intègres. Ici ca veut dire que tu intègres par rapport à x. Pour une fonction d'une variable (comme c'est le plus souvent le cas en terminale) on peut penser que ca sert à rien de mettre le dx mais dès que les fonctions sont à plusieurs variables ca devient incompréhensible si tu le fais pas. En gros tu peux considérer çà comme une convention d'écriture (mais à respecter lol).

C'est un peu la même chose pour df/dx=f ' Pour m'être longtemps posé la question avant toi, je peux te dire que c'est pas la peine d'essayer d'avoir une justification "claire" au niveau du lycée. Cette notation est surtout utilisée en physique où on te dit que c'est une convention d'écriture mais c'est en fait bien plus que çà ; tu le verras en maths quand tu feras l'étude des fonctions de plusieurs variables.

Enfin si tu veux chercher plus d'infos sur internet, cherche "formes différentielles" mais c'est pas trivial comme sujet
++ Cyp

[zoup1]

Il correspond à une petite variation de la variable. Par exemple dx est une petite variation de la variable x.
Le signe intégrale correspond à une somme sur cette variable x. C'est la somme de dx par la fonction à intégrer f(x) pour x variant de de à par pas de .

[martini_bird]

Salut,

zoup1 t'as donné une (bonne) réponse de physicien.

En maths le fait est qu'on n'intègre pas des fonctions mais des formes différentiellesn comme l'a suggéré Cyp.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[zoup1]

Oui tu as raison, mais on ne fait que ce que l'on sait faire... J'ai bien vu que le message était posté dans le forum mathématiques, mais ceal ne fait pas forcément de mal de voir les choses de maths avec cet oeil là...

[martini_bird]

ceal ne fait pas forcément de mal de voir les choses de maths avec cet oeil là...

Je suis tout à fait d'accord avec toi: Newton ou Leibniz pensaient-ils aux formes différentielles quand ils ont élaborés le calcul intégral?

[Bleyblue]

Dites j'ai une petite question (pas fort en rapport mais tant pis)
Si on doit le calcul intégrale à Newton et Leibniz pourquoi appel-on les intégrales intégrales "de Riemann" ?

Les sommes de Riemann c'est aussi dut à Newton et Leibniz ?

Et les intégrales curvilignes qui les a inventées ? Les elliptiques c'est Weierstrass je pense ...

merci

[martini_bird]

Riemann a donné une construction rigoureuse de l'intégrale alors que l'on se contentait auparavant d'une notion intuitive de l'aire donnée sous une courbe (la notion de limite n'était pas formalisée).

Weierstrass a laissé son nom à une fonction dite "P" qui permet de paramétrer les courbes elliptiques. Les intégrales elliptiques tirent leur nom de la rectification de l'ellipse bien sûr (on peut faire remonter ce problème au moins à Euler - et Bernoulli il me semble).

Quant aux intégrales curvilignes, je crois qu'elles viennent de l'analyse complexe et des travaux de Cauchy, mais il faudrait vérifier.

Cordialement.

[Cyp]

Concernant la notion de limite d'une fonction, il me semble que c'est Cauchy qui a donné la définition formelle qu'on utilise aujourd'hui
++ Cyp

[invitea77054e9]

Riemann a donné une construction rigoureuse de l'intégrale alors que l'on se contentait auparavant d'une notion intuitive de l'aire donnée sous une courbe (la notion de limite n'était pas formalisée).

Ce n'est pas Cauchy qui le premier a donné une définition rigoureuse de l'intégrale (pour les fonctions continues) ?


En réponse à Bleyblue, on parle d'intégrale de Riemann parce que c'est sa construction qu'on présente en premier lieu. Mais il y a d'autres constructions possibles (Lebesgue, Riesz and co.).

[martini_bird]

Cauchy a en effet beaucoup travaillé pour faire reposer le calcul infinitésimal sur des bases rigoureuse: on lui doit entre autres les fameuses suites dites aujourd'hui de Cauchy.

Mais à la même époque il faut aussi citer les travaux de Bolzano qui tente de formuler une théorie des nombres réels.

[invitea77054e9]

Concernant la notion de limite d'une fonction, il me semble que c'est Cauchy qui a donné la définition formelle qu'on utilise aujourd'hui
++ Cyp

Pas tout à fait celle qu'on utilise aujourd'hui. Les raisonnements en "pour epsilon, il existe..." ne sont apparu qu'après. Mais dans l'idée, c'est bien Cauchy qui le premier a essayé de définir rigoureusement les notions de limite et tous ses avatars.

[Brikkhe]

Il correspond à une petite variation de la variable. Par exemple dx est une petite variation de la variable x.
Le signe intégrale correspond à une somme sur cette variable x. C'est la somme de dx par la fonction à intégrer f(x) pour x variant de de à par pas de .

C'était donc ca... (3 mois après avoir fait ce chapitre en physque et s'etre tapé des notes pourries la dessus en khôlles, DS...

Merci! et dsl d'avoir fait un petit HS.

@pluche!

[invitea77054e9]

Mais à la même époque il faut aussi citer les travaux de Bolzano qui tente de formuler une théorie des nombres réels.

En fait, on dit de Cauchy qu'il est le premier à avoir tenté d'apporter de la rigueur en analyse, mais il ne faut pas oublier Bolzano (pourtant oublié par ses contemporains!). Le succès des travaux de Cauchy est dû, entre autre, au fait qu'il fut professeur à l'école royale Polytechnique de Paris, alors "capitale" de la science mondiale. (J'avoue, j'ai passé toute la journée à rédigé un mémoire d'Histoire des maths, j'en ai plein la tête ).

[Bleyblue]

D'accord merci pour vos réponses !

[martini_bird]

il ne faut pas oublier Bolzano (pourtant oublié par ses contemporains!).

C'est bien pour ça que j'en parle.

Paris, alors "capitale" de la science mondiale.

Pour ce qui est des mathématiques, Göttingen commençait à jouir d'une certaine notoriété.

(J'avoue, j'ai passé toute la journée à rédigé un mémoire d'Histoire des maths, j'en ai plein la tête ).

Noble occupation!

Pour ce qui est de la construction de l'intégrale, il me semble que Cauchy a surtout travaillé sur les intégrales de fonctions complexes et on lui doit aussi la valeur principale de Cauchy pour une intégrale divergente. Mais à ma connaissance il ne me semble pas qu'il ait abouti à une formulation rigoureuse de l'intégrale à laquelle le nom de Riemann est traditionnellement attaché.

Cordialement.

[zoup1]

C'était donc ca... (3 mois après avoir fait ce chapitre en physque et s'etre tapé des notes pourries la dessus en khôlles, DS...

C'est donc vrai que cela sert à quelque chose de dire des trucs qui semble aussi "élémentaires". Alors si cela doit vraiment servir, il faudrait ajouter : dans la limite où dx tend vers 0.
J'essaye une écriture plus mathématique, mais je risque de me faire taper sur les doigts par les matheux :

avec dans la limite où

[invitea77054e9]

Pour ce qui est de la construction de l'intégrale, il me semble que Cauchy a surtout travaillé sur les intégrales de fonctions complexes et on lui doit aussi la valeur principale de Cauchy pour une intégrale divergente. Mais à ma connaissance il ne me semble pas qu'il ait abouti à une formulation rigoureuse de l'intégrale à laquelle le nom de Riemann est traditionnellement attaché.

Cordialement.

C'est mon prof de calcul intégral qui m'avait présenté l'intégrale de Cauchy des fonctions continues. J'en ai donc déduit que cette construction était dû à...Cauchy.
Je vais essayer d'en savoir plus .

[martini_bird]

J'essaye une écriture plus mathématique, mais je risque de me faire taper sur les doigts par les matheux

Pour la plupart des fonctions, ta définition fonctionne bien. Mais on est pas obligé de prendre une subdivision régulière de l'intervalle et pour définir le dx, ça devient plus dure.

A noter que ta présentation est danc l'esprit celle de l'intégrale de Riemann et que l'intégrale de Lebesgue permet de généraliser cette dernière (modulo quelques complications avec l'axiome du choix et les fonctions non mesurables).

[invitea77054e9]

A cette adresse...
http://serge.mehl.free.fr/chrono/Cauchy.html

...on peut trouver le texte suivant:

"Intégration selon Cauchy :
Entre 1814 et 1825, Cauchy travaille sur la notion d'intégrale. Il formalise l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle fermé (se détachant ainsi du lien direct avec la dérivation) proche de celle que Riemann généralisera aux fonctions bornées. L'intégrale de Riemann coïncide avec celle de Cauchy pour les fonctions continues."

C'est toujours bon à savoir .

[martini_bird]

Autre source:

Cauchy was the first to make a rigorous study of the conditions for convergence of infinite series in addition to his rigorous definition of an integral. His text Cours d'analyse in 1821 was designed for students at École Polytechnique and was concerned with developing the basic theorems of the calculus as rigorously as possible.

On en apprend tous les jours. Reste à préciser ce que Riemann a apporter de neuf pour que la paternité de la construction lui revienne...

[Cyp]

zoup1>je trouve que d'un point de vue physique en tout cas c'est très clair
++ Cyp

[invitea77054e9]

Tant que j'y suis, j'ai une question (qui sort du cadre du sujet de ce post).

J'ai essayé de comprendre une démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss. Le problème, c'est que cette démonstration fait intervenir la théorie des fonctions d'une variable complexe (intégrale d'une fonction de la variable complexe, fonction holomorphe), pour aboutir au théorème de Liouville dont le théorème de d'Alembert-Gauss se déduit facilement. Mais j'ai un peu de mal à digérer cette théorie d'un trait, d'un seul.
J'aimerais donc savoir s'il existe des démonstrations de d'Alembert-Gauss ne faisant pas appel à l'analyse complexe?

Merci.

[invite3c81b085]

C'est donc vrai que cela sert à quelque chose de dire des trucs qui semble aussi "élémentaires". Alors si cela doit vraiment servir, il faudrait ajouter : dans la limite où dx tend vers 0.
J'essaye une écriture plus mathématique, mais je risque de me faire taper sur les doigts par les matheux :

avec dans la limite où

que représente le i?

[zoup1]

A noter que ta présentation est danc l'esprit celle de l'intégrale de Riemann

Alors je suis satisfait, l'objectif était simplement de rendre parlant la notation continu en utilisant une somme discrète.

Je me demande toujours devant des étudiants (en L1 physique) si il est nécessaire de détailler le sens du signe intégrale, ou le passage d'une somme discrète à une une écriture continue.
Par exemple quand on définie le centre d'inertie, ou un moment d'inertie. On le fait avec des systèmes de points matériels, puis on passe plus ou moins brutalement à des systèmes continus. Je n'ai jamais bien su combien de temps il fallait consacrer à ce passage...

[invitea77054e9]

que représente le i?

Heu...c'est l'indice de la somme...

[martini_bird]

J'aimerais donc savoir s'il existe des démonstrations de d'Alembert-Gauss ne faisant pas appel à l'analyse complexe?

Oui: Gauss en a donné plusieurs démonstrations avant le développement de l'analyse complexe.

D'une manière générale, l'ingrédient essentiel est surtout de nature topologique.

Mais je n'en ai pas sous la main, désolé.

[zoup1]

que représente le i?

c'est l'indice de la sommation. c'est un somme pour i variant de 0 à N (par pas de 1)

[Cyp]

evariste_galois>ici http://tanopah.jo.free.fr/epilogues/alembert.pdf cette démonstration me semble plutôt compréhensible
++ Cyp

[Cyp]

evariste_galois>ça t'aide... ?