TIPE sur la trajectographie d'une micro-fusée. Problème de résolution des équations avec maple.

[Edouard62]

Bonsoir,
Je suis actuellement en classes préparatoires de deuxième année dans la filière PSI. Je réalise mon TIPE sur la stabilité et la trajectographie des micro-fusées. Cependant, je rencontre une difficulté sur la résolution des équations régissant le mouvement... J'aimerais obtenir la trajectographie grâce à Maple. J'obtiens dont ce système de 6 équationsà 6 inconnues:
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6)

Voilà le système très complexe... Les angles correspondent aux angles d'inclinaisons de la fusée et (u,v,w) correspondent aux vitesses de la fusée sur ses différents axes dans le repère lié à la fusée. Les équations sont réalisées à vent nul et un propulseur à poussée constante pour l'instant. Conditions initiales : (v,w)(0)=0,u(0) différent de 0 sinon "arcsin" n'est pas défini... C'est d'ailleurs bizarre car la vitesse initiale de la fusée est nulle selon chaque composante théoriquement...psi(0)=0,theta (0)=60°,phi(0)=0 et les dérivées initiales nulles. J'ai essayé avec la fonction dsolve de maple mais il me dit que les conditions initiales ne sont pas bonnes... Est-il possible de résoudre de telles équations avec maple ? Si quelqu'un a une modélisation plus simple des équations du mouvement d'une fusée en 3D je suis intéressé. Je vous remercie de votre aide.
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[Franzzzzzzzz]

Bonjour,

ça me semble très compliqué tout ça. Y'a plusieurs questions/réflexions qui me viennent comme ça pour éventuellement essayer d'y voir plus clair ...
- Je suis assez étonné que tu ais comme variable les vitesses et leurs dérivées. Pour avoir une trajectoire, d'habitude on a plutôt les coordonnées x,y,z et leurs dérivées, ce qui donne des équations du second degré donc une condition initiale sur la position et une sur la vitesse.
- J'ai l'impression qu'on pourrait simplifier un peu en ne gardant que 2 angles pour la fusée, la rotation de celle-ci sur elle même ne me semblant pas très importante.
- De manière plus générale, je pense que tu devrais essayer de commencer à simplifier ton système pour voir si au moins l résultat est correcte pour ceux là : par ex. fusée verticale toujours propulsée par derrière, tir balistique etc.
- Si tu n'arrives pas à appliquer une condition initiale à l'équation, c'est qu'il y a un problème, soit dans la dérivation de l'équation, soit dans la physique derrière. Étant donné que je ne vois pas trop quel problème physique pourrait survenir ici, j'imagine qu'il y a un problème dans les équations ...
- Espérer résoudre analytiquement un système de 6 équations différentielles avec Maple me semble pour le moins osé, surtout au vu du système. Éventuellement une résolution numérique ?...

[Edouard62]

Bonsoir,
Je vous remercie de votre réponse. Je vais d'abord m'intéresser à la trajectographie en 2D et j'élargirais à la 3D si tout se passe bien. Je rencontre cependant encore quelques problèmes... En effet, voici ma démarche :
- J'étudie la trajectographie dans le repère de la fusée (procédé plus simple je pense) puis je reviens au repère terrestre par simple changement de base. Soit x le vecteur dirigé du centre de masse de la fusée vers l'ogive de la fusée, et z le vecteur orienté perpendiculairement à x vers le bas. theta représente l'angle entre la fusée et la terre (xo,x).
- Je considère un vent nul pour l'instant. Je note u la vitesse de la fusée dans le repère de la fusée, orienté selon x, et w la vitesse de la fusée dans son repère, orienté selon z.
- Il y a donc trois forces s'appliquant sur la fusée:le poids, le propulseur, les forces aérodynamiques. J'applique donc 2 équations en résultante et 1 équation en moment.
Je pense que mon problème vient de la modélisation de la force aérodynamique. En effet, dans mon cas, la force de trainée, de portance et le moment de tanguage, dans le repère de la fusée, s'expriment-t-ils ainsi ?
Xa=(-1/2)*rho*(u)^2*Cx*S (en projection sur x)
Za=(-1/2)*rho*(u)^2*Cz*S1 (en projection sur z)
Ma=(1/2)*rho*(u)^2*Cz*lz*S1
avec : -lz: distance entre le CPA et le CDG
-Cx,Cz: les coefficients dépendant de l'inclinaison(alpha) face au vent, sin(alpha)=(-w/sqrt((u^2+w^2)))
-S et S1 respectivement surface de trainée et surface de référence.
De plus, dans ces équations précédentes, peut-on considérer que le CPA est fixe au cours du temps, car j'ai fait des recherches et certains documents disent qu'il faut le prendre en compte.
Cela fait beaucoup de questions et je vous remercie d'avance.
Edouard

[Franzzzzzzzz]

Je vous remercie de votre réponse. Je vais d'abord m'intéresser à la trajectographie en 2D et j'élargirais à la 3D si tout se passe bien.

Je pense que c'est une bonne idée !

- J'étudie la trajectographie dans le repère de la fusée (procédé plus simple je pense) puis je reviens au repère terrestre par simple changement de base. Soit x le vecteur dirigé du centre de masse de la fusée vers l'ogive de la fusée, et z le vecteur orienté perpendiculairement à x vers le bas. theta représente l'angle entre la fusée et la terre (xo,x).

Un peu bizarre je trouve, mais pourquoi pas. J'aurais personnellement pris theta par rapport à la verticale mais bon...

- Je considère un vent nul pour l'instant. Je note u la vitesse de la fusée dans le repère de la fusée, orienté selon x, et w la vitesse de la fusée dans son repère, orienté selon z.

Heu ... La vitesse de la fusée est nulle dans le repère de la fusée, par définition.

Personnellement je définirais un peu différemment les choses : (x,z) la position et (u,v) la vitesse du centre de masse de la fusée par rapport à la terre, theta l'angle entre la fusée et la direction de la vitesse (dtheta/dt la vitesse de rotation de la fusée).

Je pense que mon problème vient de la modélisation de la force aérodynamique. En effet, dans mon cas, la force de trainée, de portance et le moment de tanguage, dans le repère de la fusée, s'expriment-t-ils ainsi ?
Xa=(-1/2)*rho*(u)^2*Cx*S (en projection sur x)
Za=(-1/2)*rho*(u)^2*Cz*S1 (en projection sur z)
Ma=(1/2)*rho*(u)^2*Cz*lz*S1
avec : -lz: distance entre le CPA et le CDG
-Cx,Cz: les coefficients dépendant de l'inclinaison(alpha) face au vent, sin(alpha)=(-w/sqrt((u^2+w^2)))
-S et S1 respectivement surface de trainée et surface de référence.

Hum, oui ça après je suis pas un spécialiste non plus, tout dépend ce qu'on met sur les Cx et Cz...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Edouard62]

Bonjour,
Merci de votre réponse, j'ai résolu les problèmes précédents. Cependant, je voulais vous poser une autre question.
Lorsque l'on écrit l'équation de moment ( En 2D pour l'instant), il faut bien sûr faire apparaître le moment de portance mais doit-on rajouter un autre terme proportionnel à dAlpha/dt (alpha est l'angle d'incidence par rapport au vent relatif) ? En effet, j'ai vu ça sur un site. De plus, quand je rajoute du vent sur ma procédure Maple, ma fusée devient instable sans ce terme et reste stable avec ce terme. Savez-vous d'où il vient ? Si oui, comment le calcule-t-on ? Merci.