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Entropie statistiques pour les empilements granulaires

  1. gatsu

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    septembre 2003
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    Entropie statistiques pour les empilements granulaires

    Bonjour a tous,

    Je ne fais pas cela souvent car parler de sa recherche est souvent trop technique pour etre interessant.

    Dans le cas present je souhaite presenter un travail que nous avons publie recemment dans Phys. Rev. Lett..

    Le but du travail est "simplement" de compter le nombre d'empilements (a deux dimensions ici mais la methode est generale) mecaniquement stables qui peuvent etre generes avec N particules dans un volume V donne et de voir si le logarithme de ce nombre a les bonnes proprietes pour eventuellement definir une bonne entropie (au sens thermodynamique du terme) pour les milieux granulaires.

    Il y a differents resultats dans l'article mais le plus important pour ce site est celui portant sur le fait que pour des raisons pratiques et aussi par soucis de realisme, nous utilisons un systeme polydisperse c'est a dire dont la taille des particules est tiree aleatoirement dans une distribution de probabilite continue.
    Pourtant, lorsqu'on regarde le logarithme du nombre d'arrangements mecaniquement stables (inspire du fameux ), on voit directement que l'entropie ainsi definie n'est pas extensive.
    Si l'on retranche de cette definition le logarithme de N!, a contrario, on obtient une entropie qui est extensive avec la taille du systeme.

    A premiere vue cela ne mange pas de pain mais si on se rappelle quelle est l'origine du N! dans nos chers cours de physique statistique, alors on voit dans ces derniers que cela a a voir avec l'indiscernabilite des particules et plus encore; l'indiscernabilite au sens quantique du terme !

    Or ici, on a un systeme completement classique avec aucune particule qui n'est exactement comme sa voisine et pourtant obtenir une entropie extensive recquiert de soustraire un log de N! .

    L'explication la plus pragmatique que l'on propose suggere qu'il faut revenir a l'experience de pensee de Gibbs qui a conduit au paradoxe de thermodynamique statistique qui porte son nom aujourd'hui :

    "Considerons un systeme ferme scinde en deux compartiments de meme taille disons. Chaque compartiment contient N particules granulaires dont la composition en taille est statistiquement identique. Si je souhaite avoir une "entropie granulaire" jouant un role analogue a l'entropie thermodynamique quant a l'evolution spontanee de mon systeme vers un etat macroscopique plus desordonne, je dois recquerir qu'enlever la paroi entre les deux compartiments separant deux systemes granulaires macroscopiquement identiques doit conduire a avoir une variation d'entropie granulaire nulle. Techniquement, la solution usuelle consiste a soustraire log(N!) a la definition standard de l'entropie pour n'importe quel systeme "; fin de l'histoire.

    Il n'y a aucun debat sur cette resolution technique du probleme, le seul debat reste sur l'interpretation de l'origine de ce N!; et ce que notre etude montre est qu'il est tres tres survendu comme point de vue de dire que ce N! est d'origine quantique car manifestement ce n'est pas le cas.

    On peut etendre les reflexions sur les implications de ce travail a la physique statistique en general et se demander avoir un systeme dont l'entropie satisfait le troisieme de la thermodynamique n'est pas plus l'exception que la regle comme cela a ete brivement suggere par mon ancien chef ici.

    Enfin une version preprint (avec une faute de frappe qu'il faut que je corrige) peut etre trouvee ici.

    -----

    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck
     


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  2. toothpick-charlie

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    Re : Entropie statistiques pour les empilements granulaires

    bonjour,

    je ne connais absolument rien à la physique statistique, mais le fait que tu trouves surprenant, à savoir que tes particules de tailles différentes se comportent comme des particules indiscernables, me fait penser que tu es peut-être tombé sur un cas de distribution dite "sans mémoire". Si par exemple tu as pris des diamètres tirés dans une loi exponentielle ça pourrait être le cas. Il serait intéressant de voir si le phénomène perdure en prenant d'autres lois (c'est juste une intuition, je n'ai pas regardé ton papier).
     

  3. gatsu

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    septembre 2003
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    Re : Entropie statistiques pour les empilements granulaires

    Citation Envoyé par toothpick-charlie Voir le message
    bonjour,

    je ne connais absolument rien à la physique statistique, mais le fait que tu trouves surprenant, à savoir que tes particules de tailles différentes se comportent comme des particules indiscernables, me fait penser que tu es peut-être tombé sur un cas de distribution dite "sans mémoire". Si par exemple tu as pris des diamètres tirés dans une loi exponentielle ça pourrait être le cas. Il serait intéressant de voir si le phénomène perdure en prenant d'autres lois (c'est juste une intuition, je n'ai pas regardé ton papier).
    Merci mais pour ton commentaire mais je ne suis pas certain de voir ou tu veux en venir.
    A partir du moment ou j'ai un systeme polydisperse continu, cela implique que la probabilite que deux particules soient exactement les memes est rigoureusement nulle. Ainsi, si je pars d'une configuration donnee et que je permute deux particules, j'obtiens un etat different point barre.

    Tout le probleme reside ensuite dans la formule que l'on choisit pour l'entropie :

    Usuellement on ecrit



    ou compte le nombre d'etats microscopique distincts.

    Lorsqu'on a des particules indiscernables, il se trouve que l'on a

    ou compte le nombre d'etats microscopiques distincts pour des particules discernables. Ceci est enseigne comme etant un resultat exact provenant de la mecanique quantique pour des particules indiscernables au sens quantique du terme (fermions ou bosons)...et il est interessant de noter que certains chercheurs ont montre que pourtant ce resultat n'etait peut etre meme pas vrai.

    Ainsi, l'ecriture colle toujours avec la definition .

    Dans ce que l'on a fait, on montre que meme pour des particules discernables, la "bonne" entropie doit s'ecrire ...d'ailleurs ce point a deja ete mentionne a diverses reprises par des gens effectuant des simulations Monte Carlo de spheres dures par exemple dans lesquelles les particules sont clairement discernables (car on leur affecte un label) et pourtant on doit diviser le nombre d'etats par .

    Je ne suis pas certain de savoir ce que tu appelles "sans memoire" car il n'y a pas de notion de memoire qui intervienne normalement ici. En revanche cela peut peut etre interprete dans le contexte des systemes desordonnes dits "quenched". Chaque realisation de la distribution de taille est unique et differe avec probabilite 1 de toute autre realisation de cette distribution de taille pour un systeme de taille fini.

    Je vais devenir un peu technique ici mais en principe il faudrait donc generer un ensemble statistique correspondant a differentes realisations de la distribution de taille, appliquer la physique statistique sur chacune d'entre elle et effectuer une statistique des resultats de physique statistique dans cet ensemble de distribution de tailles.
    Ce qu'il se passe lorsque la taille du systeme est suffisament importante est que les fluctuations statistiques (des resultats de physique statistique pour une compisition donnee) observees dans l'ensemble des distribution de tailles vont etre negligeables devant les valeurs moyennes, les proprietes physiques deviennent alors ce qu'on appelle auto-moyennantes et je pense que c'est la raison profonde (peut etre un mot un peu trop pretencieux ici) pour laquelle on doit mettre ce .

    Cela etant, meme si tout ceci a l'air tres theorique et assez non important, ce type de considerations sur comment traiter proprement l'entropie dans les systemes polydisperses thermodynamiques (aussi granulaires evidemment mais c'est juste un autre type de monstre a dompter) est au coeur de recherche intenses pour predire les phases thermodynamiques dans lesquelles peut etre un melange contenant plus d'une dizaine de solutes differents.
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck
     

  4. illusionoflogic

    Date d'inscription
    janvier 2015
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    Re : Entropie statistiques pour les empilements granulaires

    Salut Gatsu, j'ai suivi de loin vos discussions avec freemp, mais là le temps me manque alors juste une question sur le théorème H, ce sont des simulations de Lanford avec changement de phases ? C'est marrant un champ de sphères dures distinctes homéomorphe à IR3 et un champ de sphères dures indiscernables : c'est toute la difficulté, prévoir un "théorème de la discernabilité à l'échelle ..." quand ça tient ... bon là c'est mes yeux qui seront cernés demain ... enfin je pense à un groupe dont on tend vers la limite de Boltzmann-Grad ?
    Dernière modification par illusionoflogic ; 01/03/2015 à 00h52.
    Lisez mes propos. Je suis pas là.
     

  5. Dora_lExploratrice

    Date d'inscription
    février 2015
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    11

    Re : Entropie statistiques pour les empilements granulaires

    Bonsoir à tous,

    Question d'une "non initiée", je m'intéresse de près à la science, et je découvre chaque jour de nouveaux concepts...pouvez-vous svp m'aider à comprendre ce qu'est l’entropie en général et plus particulièrement "l’entropie thermodynamique" ? J'ai fait quelques recherches, et j'ai plus ou moins compris que la thermodynamique avait deux principes : la conservation et dissipation de l'énergie et qu'il y avait échange d'énergie et de travail entre l'énergie et son environnement, et j'ai cru comprendre vaguement que l’entropie c'est ce qui expliquait que l'univers évoluait de l'ordre vers le désordre ou de l'organisation vers le chaos. Je vous saurais gré de m'arrêter de suite si je me trompe ou si j'ai mal assimilé ces concepts.

    Merci d'avance pour vos réponses !


    Dora
     


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  6. gatsu

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    septembre 2003
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    Re : Entropie statistiques pour les empilements granulaires

    Citation Envoyé par illusionoflogic Voir le message
    Salut Gatsu, j'ai suivi de loin vos discussions avec freemp, mais là le temps me manque alors juste une question sur le théorème H, ce sont des simulations de Lanford avec changement de phases ? C'est marrant un champ de sphères dures distinctes homéomorphe à IR3 et un champ de sphères dures indiscernables : c'est toute la difficulté, prévoir un "théorème de la discernabilité à l'échelle ..." quand ça tient ... bon là c'est mes yeux qui seront cernés demain ... enfin je pense à un groupe dont on tend vers la limite de Boltzmann-Grad ?
    Desole je n'ai pas compris la question...le théorème de Landford s'applique dans le cas d'un gaz de spheres dures infiniment diluées (limite de Boltzmann-Grad) avec des collisions élastiques. Ce n'est pas tout a fait l'objet des travaux dont je parle ici. Par ailleurs, il n'y ait jamais question de melange ou d'identité des particules (dans ce théorème en tout cas)...ou du reste c'est mis a la main avec la forme particulière que l'on donne a la fonction H de Boltzmann et l'existence d'une fonction densité .
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck
     

  7. gatsu

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    septembre 2003
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    Re : Entropie statistiques pour les empilements granulaires

    Citation Envoyé par Dora_lExploratrice Voir le message
    Bonsoir à tous,

    Question d'une "non initiée", je m'intéresse de près à la science, et je découvre chaque jour de nouveaux concepts...pouvez-vous svp m'aider à comprendre ce qu'est l’entropie en général et plus particulièrement "l’entropie thermodynamique" ? J'ai fait quelques recherches, et j'ai plus ou moins compris que la thermodynamique avait deux principes : la conservation et dissipation de l'énergie et qu'il y avait échange d'énergie et de travail entre l'énergie et son environnement, et j'ai cru comprendre vaguement que l’entropie c'est ce qui expliquait que l'univers évoluait de l'ordre vers le désordre ou de l'organisation vers le chaos. Je vous saurais gré de m'arrêter de suite si je me trompe ou si j'ai mal assimilé ces concepts.

    Merci d'avance pour vos réponses !


    Dora
    Salut,

    L'entropie thermodynamique est une grandeur qui a du être introduite au XIXe siècle pour caractériser des phénomènes qui ne se produisent que dans un sens (spontanément). L'exemple de base est le fait que lorsqu'on met deux corps a des temperatures différentes en contact, la chaleur va aller du corps chaud vers le corps froid de telle sorte que le corps froid va se réchauffer et le corps chaud va se refroidir jusqu'a ce que leur temperature soit la meme. Tout se passe comme si une loi de la Nature empêchait le film de pouvoir se dérouler dans le sens inverse de manière spontanée (a contrario, si je lâche une balle de ping pong sur le sol, le mouvement de la chute a l'aller est exactement l'inverse du trajet rebond retour; les deux sens se produisent naturellement).

    On aurait très bien pu se limiter a une loi du genre "la chaleur va du chaud au froid" mais les gens qui ont développé la thermodynamique ont assez vite compris que cette irreversibilite de certains phénomènes était plus une règle qu'une exception qu'il fallait formaliser de manière très générale.

    Pour ce faire, rien de plus simple, il suffit de dire qu'il existe une grandeur qui depend de l'état thermodynamique du système (cet état étant décrit par des variables telles que le champ de temperature, de pression, de densité etc...) et que cette grandeur, pour un système isole (grosso modo un système pour lequel on peut faire la distinction entre "spontanément" et "effectue par un opérateur extérieur") ne peut que croitre ou rester la meme. Cette grandeur est l'entropie thermodynamique et cette loi s'appelle le second principe de la thermodynamique.

    Ainsi, si on nous donne deux "images" prises a des instants différents de deux corps en contact a des temperatures distinctes ou on nous indique leurs temperatures respectives et qu'on nous demande de dire dans quel ordre ces photos ont été prises, il nous suffit d'estimer l'entropie du système forme par ces deux corps dans chaque cas et on pourra répondre a la question. A contrario, dans le cas de la balle de ping pong, si on te donne deux cliches ou on ne voit que ta main avec la balle s'en approchant ou s'en éloignant, il n'est pas possible de dire dans quel ordre ont été prises ces photos.

    La connexion entre l'entropie et la notion intuitive de désordre (cette connexion n'est pas rigoureuse mais peut servir en tant que representation mentale) vient du fait qu'une augmentation d'entropie pour un système thermodynamique est souvent associée a un transfert de chaleur d'un système a un autre. Si on reprend le cas des deux corps a des temperatures différentes mis en contact, l'idée intuitive est qu'un corps qui a une temperature élevée a une énergie "d'agitation désordonnée" plus importante qu'un corps identique avec une temperature plus basse et est donc, dans ce sens très vague, plus "désordonné". Un transfer de chaleur du chaud au froid veut donc littéralement dire "le désordre préfère se propager du plus désordonné au moins désordonné jusqu'a ce que les deux systèmes aient le meme niveau de désordre". Comme le second principe stipule que l'entropie doit croitre dans ce cas, on en déduit intuitivement que l'entropie est une sorte de mesure du désordre d'un système thermodynamique qui est telle que S(T1)+S(T2) < 2S((T1+T2)/2). Ce type d'inégalités que doit satisfaire l'entropie permet de sélectionner certaines formules pour la calculer explicitement et réfléchir sur ce qu'elle mesure vraiment.

    Bon je pense que pour une intro y a pas mal de choses a digérer. Bon courage .
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck
     

  8. illusionoflogic

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    Re : Entropie statistiques pour les empilements granulaires

    Bonjour Dora, je sais pas si je vais être pédagogique sur cette question mais j'essaie : l'entropie en thermo, est une fonction d'état qui caractérise la "réversibilité intrinsèque" d'un système avec son environnement (la plupart du temps on parle de cycle thermo avec les transformations associées, comme celui de Carnot en disant: les grandeurs d'états qui ne varient pas idéalement, isobare, isochore, compression adiabatique,détente isotherme, donc un cycle isentropique est dit "réversible") ; en thermo on utilise des fonctions d'états telles que l'enthalpie (qui absorbe ou dégage de la chaleur), l'enthalpie libre de Gibbs (l'énergie que l'on transforme idéalement en énergie plus noble comme l'électricité, voir exergie), l'énergie interne du système, l'énergie libre (dévoyé en énergie gratuite : rien à voir), et l'entropie ...

    En fait à notre échelle on ne "capte" pas directement les atomes, mais leurs propriétés de groupe comme une réaction chimique, on a que des variables résultantes comme la pression (nb d'atomes qui cognent sur une paroie du récipient), la température (agitation des molécules, atomes, collisions entre eux, libre parcours moyen), la densité ou masse volumique, les capacités calorifiques. Les fonctions d'états dépendent de ces variables d'états intensives et extensives. Le premier principe à abouti à la conservation de l'énergie et à la notion de rendement théorique, le second à celui d'entropie d'où le Lavoisier revisité "Rien ne se perd, rien ne se créé, tout se déforme ()".

    PS : merci Gatsu, je reviens d'ici peu ....
    Dernière modification par illusionoflogic ; 03/03/2015 à 21h35. Motif: Texte écrit y'a un bout de temps re-use
    Lisez mes propos. Je suis pas là.
     

  9. Dora_lExploratrice

    Date d'inscription
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    Re : Entropie statistiques pour les empilements granulaires

    Citation Envoyé par gatsu Voir le message
    Salut,

    L'entropie thermodynamique est une grandeur qui a du être introduite au XIXe siècle pour caractériser des phénomènes qui ne se produisent que dans un sens (spontanément). L'exemple de base est le fait que lorsqu'on met deux corps a des temperatures différentes en contact, la chaleur va aller du corps chaud vers le corps froid de telle sorte que le corps froid va se réchauffer et le corps chaud va se refroidir jusqu'a ce que leur temperature soit la meme. Tout se passe comme si une loi de la Nature empêchait le film de pouvoir se dérouler dans le sens inverse de manière spontanée (a contrario, si je lâche une balle de ping pong sur le sol, le mouvement de la chute a l'aller est exactement l'inverse du trajet rebond retour; les deux sens se produisent naturellement).

    On aurait très bien pu se limiter a une loi du genre "la chaleur va du chaud au froid" mais les gens qui ont développé la thermodynamique ont assez vite compris que cette irreversibilite de certains phénomènes était plus une règle qu'une exception qu'il fallait formaliser de manière très générale.

    Pour ce faire, rien de plus simple, il suffit de dire qu'il existe une grandeur qui depend de l'état thermodynamique du système (cet état étant décrit par des variables telles que le champ de temperature, de pression, de densité etc...) et que cette grandeur, pour un système isole (grosso modo un système pour lequel on peut faire la distinction entre "spontanément" et "effectue par un opérateur extérieur") ne peut que croitre ou rester la meme. Cette grandeur est l'entropie thermodynamique et cette loi s'appelle le second principe de la thermodynamique.

    Ainsi, si on nous donne deux "images" prises a des instants différents de deux corps en contact a des temperatures distinctes ou on nous indique leurs temperatures respectives et qu'on nous demande de dire dans quel ordre ces photos ont été prises, il nous suffit d'estimer l'entropie du système forme par ces deux corps dans chaque cas et on pourra répondre a la question. A contrario, dans le cas de la balle de ping pong, si on te donne deux cliches ou on ne voit que ta main avec la balle s'en approchant ou s'en éloignant, il n'est pas possible de dire dans quel ordre ont été prises ces photos.

    La connexion entre l'entropie et la notion intuitive de désordre (cette connexion n'est pas rigoureuse mais peut servir en tant que representation mentale) vient du fait qu'une augmentation d'entropie pour un système thermodynamique est souvent associée a un transfert de chaleur d'un système a un autre. Si on reprend le cas des deux corps a des temperatures différentes mis en contact, l'idée intuitive est qu'un corps qui a une temperature élevée a une énergie "d'agitation désordonnée" plus importante qu'un corps identique avec une temperature plus basse et est donc, dans ce sens très vague, plus "désordonné". Un transfer de chaleur du chaud au froid veut donc littéralement dire "le désordre préfère se propager du plus désordonné au moins désordonné jusqu'a ce que les deux systèmes aient le meme niveau de désordre". Comme le second principe stipule que l'entropie doit croitre dans ce cas, on en déduit intuitivement que l'entropie est une sorte de mesure du désordre d'un système thermodynamique qui est telle que S(T1)+S(T2) < 2S((T1+T2)/2). Ce type d'inégalités que doit satisfaire l'entropie permet de sélectionner certaines formules pour la calculer explicitement et réfléchir sur ce qu'elle mesure vraiment.

    Bon je pense que pour une intro y a pas mal de choses a digérer. Bon courage .
    l'idée intuitive est qu'un corps qui a une temperature élevée a une énergie "d'agitation désordonnée" plus importante qu'un corps identique avec une temperature plus basse et est donc, dans ce sens très vague, plus "désordonné".
    Merci beaucoup pour cette réponse, c'est plus clair dans mon esprit, même si l'idée que l'entropie est une grandeur qui ne peut qu'augmenter (ou rester égale) peut-être effrayante, cela voudrait dire dire que l'univers court fatalement à sa perte au chaos grandissant ? Par ailleurs, cela ne m'étonne pas qu'un corps à une température élevée a une énergie "d'agitation désordonnée", il n 'y a qu'à voir les humains en été, ils sont bien plus agités et dissipés qu'en hiver


    Merci encore !
     

  10. Dora_lExploratrice

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    11

    Re : Entropie statistiques pour les empilements granulaires

    Oui en somme, la physique quantique c'est comme l'amour, on ne voit rien de tangible, tout se mesure à des réactions chimiques qui prouvent l'existence d'un objet malgré son invisibilité. On ne voit pas réellement une flèche de Cupidon venir traverser notre coeur (et tant mieux^^) mais on ressent les effets de l'amour (coeur qui palpite, papillons dans le ventre etc).

    Merci pour vos réponses !
     

  11. gatsu

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    Re : Entropie statistiques pour les empilements granulaires

    Citation Envoyé par Dora_lExploratrice Voir le message
    Merci beaucoup pour cette réponse, c'est plus clair dans mon esprit, même si l'idée que l'entropie est une grandeur qui ne peut qu'augmenter (ou rester égale) peut-être effrayante, cela voudrait dire dire que l'univers court fatalement à sa perte au chaos grandissant ?
    Si c'est le cas ca va prendre beaucoup beaucoup beaucoup de temps et sinon, il se trouve que les systèmes gravitationnels sont assez particuliers et peuvent augmenter l'entropie de l'univers en se contractant; par ailleurs, personne ne s'accorde vraiment sur la nature (statistique ou mecanique) du second principe et du coup, il se peut qu'il ne soit pas entièrement vérifié a toutes les échelles. Et enfin, meme si l'univers arrivait a l'équilibre, il existe toujours des fluctuations qui plus elles sont importantes, plus elles sont rares, mais ca ne me derange pas d'imaginer un système solaire comme "fluctuation d'equilibre" de l'univers .
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck
     

  12. Dora_lExploratrice

    Date d'inscription
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    Re : Entropie statistiques pour les empilements granulaires

    Citation Envoyé par gatsu Voir le message
    Si c'est le cas ca va prendre beaucoup beaucoup beaucoup de temps et sinon, il se trouve que les systèmes gravitationnels sont assez particuliers et peuvent augmenter l'entropie de l'univers en se contractant; par ailleurs, personne ne s'accorde vraiment sur la nature (statistique ou mecanique) du second principe et du coup, il se peut qu'il ne soit pas entièrement vérifié a toutes les échelles. Et enfin, meme si l'univers arrivait a l'équilibre, il existe toujours des fluctuations qui plus elles sont importantes, plus elles sont rares, mais ca ne me derange pas d'imaginer un système solaire comme "fluctuation d'equilibre" de l'univers .
    Si tel est le cas, alors peut-on penser qu'à l'inverse, l'énergie sombre (qui elle étire l'espace vide) tend à diminuer le phénomène entropique favorisé par les systèmes gravitationnels ? Et donc à de nouveau équilibrer les systèmes ou du moins à en limiter leurs "fluctuations" ?

    Merci encore
    Dernière modification par Dora_lExploratrice ; 04/03/2015 à 17h56.
     

  13. gatsu

    Date d'inscription
    septembre 2003
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    Re : Entropie statistiques pour les empilements granulaires

    Citation Envoyé par Dora_lExploratrice Voir le message
    Si tel est le cas, alors peut-on penser qu'à l'inverse, l'énergie sombre (qui elle étire l'espace vide) tend à diminuer le phénomène entropique favorisé par les systèmes gravitationnels ? Et donc à de nouveau équilibrer les systèmes ou du moins à en limiter leurs "fluctuations" ?

    Merci encore
    Je ne sais pas et je ne veux pas d'avantage m'aventurer sur ce sujet très très très très spéculatif et incompris. La dernière estimation en date de l'énergie sombre (par des calculs théoriques) était éloignée de la valeur expérimentale mesurée d'un facteur 10 puissance 500 ....donc personne n'y comprends rien et je pense qu'il est sage de s'arrêter la d'autant que ce n'est pas le sujet de ce fil ^^.
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck
     

  14. Dora_lExploratrice

    Date d'inscription
    février 2015
    Messages
    11

    Re : Entropie statistiques pour les empilements granulaires

    Au temps pour moi, je vous prie de m'excuser de m'être éloignée du sujet.

    Merci pour votre temps et bonne continuation dans vos recherches.
     


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