Problème de deux corps fixes et isolés

[hclatomic]

Bonjour,

Je cherche à savoir ce qui arrive à deux corps isolés de tout autre, laissés fixes l'un par rapport à l'autre, dans un référentiel d'inertie. Normalement la seule force existant dans ce système sera la force d'attraction gravitationnelle entre les deux corps. Je cherche donc à connaître comment leurs positions vont varier dans le temps à cause de cette force, c'est à dire que je cherche l'équation de leur trajectoire.

Peut-être pourrez-vous m'aider en vérifiant la validité de mes calculs, ou me dire si je me trompe, et dans ce cas me donner la bonne solution. Je vous soumets donc ma démonstration théorique.

Faisons l'expérience de pensée de deux corps de masses et , de rayon vecteur et par rapport au centre d'inertie du système, fixes l'un par rapport à l'autre, et très éloignés de toute autre masse. On impose au référentiel du système d'être d'inertie, c'est à dire qu'il n'est notamment pas en rotation. La seule force non négligeable existant alors dans ce système sera la force d'attraction de Newton.

A cause de cette force chaque corps est accéléré vers l'autre selon les formules suivantes :
et
où G est la constante de la gravitation et .

Au lieu de nous référer au centre d'inertie du système à deux corps, choisissons plutôt de placer au centre du repère de référence. La valeur absolue de l'accélération du corps dans ce repère est l'addition des valeurs absolues des deux accélérations précédentes. Puisque et sont colinéaires, elle vaut :


Nous obtenons donc l'équation différentielle à résoudre pour déterminer la trajectoire du corps par rapport au corps considéré fixe :


Sa solution analytique est connue :
ou encore avec

C'est l'équation de la trajectoire recherchée.

Voilà. Pouvez-vous me dire si ma démonstration est correcte ?

A vous lire
Cordialement
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[harmoniciste]

ϒ = G (m₁+m₂ / R² Jusque là, je suis d'accord.
Pour le reste, où est la démonstration?