triangle rectangle hyperbolique et la métrique de Schwarzschild

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
J'aurais une série de questions en rapport et de mises au point à faire avec la géométrie hyperbolique et la métrique de Schwarzschild.

Commençons par la métrique de Minkovski.

Voici le raisonnement soit un mobile allant à la vitesse V.
On définit pour R :
et pour R' :
Puis que la vitesse de la lumière est constante dans le référentiel du mobile R' et dans celui de lo'bservateur fixe R je peux écrire :




d'où
on pose

on a donc

si
puis-je affirmer :

où ?

cordialement,
Zefram
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[Zefram Cochrane]

Bonjour,
soit un triangle rectangle avec pour hypothénuse dS de coté adjacent CdT' et de coté opposé dR'

On peut construire un triangle hyperbolique tel que dS² = C²dT'² - dR'² = dS² [(CdT'/dS)² - (dR'/dS)²] = dS²( cosh²(o) - sinh²(o) )

Pour me représenter ce triangle rectangle dans le référenciel de R, on me dit de le dessiner sur un cône et de mesuré sa projection sur un plan.
Est ce que quelqu'un connaîtrait la méthode?
Si je prends dS² = C²dT'² - dR'² = C²dT²/X² - X²dR² comment dois je choisir mon cône (génératrice et longueur de la base)?
Si je pose mon cône sur une table, quelle projection dois-je choisir, celui de la table u celui du mur?

Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Salut,

Tu m'as mis la puce à l'oreille, une représentation de ds² ça m’intéresserait !
J'ai trouvé ça pour la géométrie hyperbolique http://vimeo.com/10239313 c'est très bien fait (pour qui parle déjà un peu chinois...)
Mais j'ai pas bien fait le lien avec ds²... l'hyperboloïde me fait penser à une surface de temps propre constant chez Minkowski mais sans conviction...
Bon courage... (personne pour un coup de pouce sioupli ?)

[Zefram Cochrane]

Je te remercie Mailou pour le lien, il est génial.
je ne suis pas contre non plus des remarques.
Je le regarderai plus assiduement plus tard, vue l'heure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mailou75]

Salut,

J'aurais besoin d'un coup de main car je bloque assez rapidement
En fait en repérage sphérique tout marche bien :
La longueur de l'arc est bien égale à L=arcos(N) où N est le produit scalaire des vecteurs OA et OB soit
N=X_AX_B+Y_AY_B ou N=OA.OB.cos
(Accessoirement l'aire est égale à L/2)
Mais quand on passe en hyperbolique alors on devrait avoir L=arcosh(N') où N' est le produit scalaire hyperbolique
soit N'=X_AX_B-Y_AY_B
et là ça ne marche plus du tout...

exemple :
on trace la fonction 1/x
on choisis deux points sur la courbe A(1;1) et B(3;0.333)
(le produit scalaire est N = 3,333)
le produit scalaire hyperbolique est N' = 2,6666
et la valeur arcosh(N') = 1,6368 n'est absolument pas la longueur de l'arc...

J'aurais donc une ou deux questions :
1. Me suis-je trompé quelque part ?
2. Existe-t-il une définition pour le produit scalaire hyperbolique du type OA.OB.cos (pour le produit scalaire) ? pour comparer...

Merci d'avance
Mailou

[Mailou75]

Salut,

Alors j'ai cherché un peu et je suis tombé sur des égalités plutôt sympathiques

La figure jointe se passe presque de commentaire, mais je vais en faire quelques uns :
- En abscisse on a z+1
- En ordonnée (bleu) on a 1/z+1
- L'aire du "triangle" OAB est , la rapidité
- En ordonnée (orange) on a ln(z+1) soit la même valeur :
- En vert on note des rapports de mesure : et (si l'autre cote =1)

Plusieurs remarques:
- Si on fait une homothétie de la figure telle que OA=1 (et non pas ),
alors le produit scalaire (non hyperbolique) des vecteurs OA et OB est égal à ,
la cote notée vaut vraiment cette valeur et celle notée vaut
soit w/c (vitesse propre) ou p/mc (p l'impulsion) et l'aire du "triangle" OAB vaut /2
- Ce schéma vérifie la relation montrée dans http://forums.futura-sciences.com/as...-propre-7.html (message 99)
la courbe z+1=e se retouve ici sous la forme =ln(z+1)
- Enfin, mon intuition quant à la similitude de l'hyperbole et d'une courbe de temps propre constant se vérifie :
Le schéma joint, avec une petite rotation adéquate se superpose à celui ci : http://forums.futura-sciences.com/as...ace-temps.html (message 1)
Dans le premier dessin à gauche, la courbe la plus basse (temps objet = temps observateur) EST une courbe type 1/x !!

Bref, tout ceci est plutôt amusant et intrigant... mais ça ne répond pas aux questions :
-Pourquoi est-ce que je ne trouve pas : longueur de l'arc AB = arcosh (produit scalaire hyperbolique OA.OB) ?
-Peut-on lire ds² quelque part ou je suis hors sujet ?

Merci d'avance pour votre aide
Mailou

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Très beau shéma et très beau travail de recherche. Je ne sais pas ce qu'en pense les pros mais pas mal du tout. Il faudra que je me replonge dans les discussions des liens que tu as rappelé.
pour le ds je pense que c'est la distance OB car si je me rappelle bien la vidéo du cours que tu a fourni au message #3 Z+1 correspond à la génératrice de l'hyperboloïde, AB à CdT et AO à dR.

Par contre je suis un peu étonné que tu puisse trouver que la rapidité soit l'aire de OAB tel, que décrit sur ton schéma (où OB est du droite) parce que si j'ai bien compris la vidéo, il faut projeter le triangle rectangle euclydien formé des segment CdT' dR' dS' sur l'hyperboloïde pour trouver CdT (AB) ; dR (AO) ; dS (OB) ; donc pour moi dS est courbe.
il se peut que je me plante complètement : peur:


Par contre je suis sur qu'il y a plein de chose à faire à partir de ton schéma et tu as bien dégrossit le travail

Zefram

[Mailou75]

Très beau shéma et très beau travail de recherche.

Merci

Je ne sais pas ce qu'en pense les pros mais pas mal du tout.

Je crois que c'est clair... on est en MP
Je renonce à comprendre ce qu'est un produit scalaire hyperbolique

Par contre je suis un peu étonné que tu puisse trouver que la rapidité soit l'aire de OAB tel, que décrit sur ton schéma (où OB est du droite)

Si on pend des points en 1 et 3 de l'abscisse, le "quadrilatère courbe" 1AB3 vaut l'intégrale de 1/z+1 de 1 à 3 soit ln(3)=1,09 (pour v/c=0.8)
L'égalité des surfaces avec le "triangle" OAB est démontrée à la minute 3:00 du lien (rappel http://vimeo.com/10239313 )
Or on a vu avec Phys4 que e=z+1, donc je me suis permis d'écrire =ln(z+1) pour cette surface
Je me remets aux maths là...

pour le ds je pense que c'est la distance OB car si je me rappelle bien la vidéo du cours que tu a fourni au message #3 Z+1 correspond à la génératrice de l'hyperboloïde, AB à CdT et AO à dR.
(...) si j'ai bien compris la vidéo, il faut projeter le triangle rectangle euclydien formé des segment CdT' dR' dS' sur l'hyperboloïde pour trouver CdT (AB) ; dR (AO) ; dS (OB) ; donc pour moi dS est courbe.
il se peut que je me plante complètement : peur:

Je ne crois pas que ds soit une courbe, m'enfin j'en sais trop rien
J'ai préparé quelques schémas pour expliquer comment je l'interprète... à suivre

Par contre je suis sur qu'il y a plein de chose à faire à partir de ton schéma et tu as bien dégrossit le travail

Une autre représentation de toujours la même chose : de la RR

[Mailou75]

Donc voilà la suite, je ne suis pas sur de mon interprétation mais bon...

Fig 1 :
Nous sommes en radians, la valeur de l'arc de cercle de rayon 1 est l'angle , l'aire correspondante (en bleu) vaut /2 (aucun intérêt pour l'instant...)
La ligne d'univers d'un objet propulsé à =v/c=0,8 intercepte le cercle (espace) et donne 1/=0,6
On note les égalités trigonométriques (cos, sin et tan), la ligne d'univers mesure
On obtient donc un triangle rectangle et Pythagore nous dit : ²+1/²=1²

Fig 2 :
Cette fois on est chez Minkowski, en vertical le temps, en horizontal (vert) l'espace et la courbe (type 1/x) de temps propre constant
On note les égalités hyperboliques (cosh, sinh et tanh)
On remarque que , contrairement à la première figure n'a pas une valeur d'angle mais uniquement de surface,
En fait /2 c'est de l'espace temps (ici 2D pour un espace 1D), voilà qui devrait faire plaisir à Amanuensis qui en cherchait la signification physique
De la première égalité (Fig 1) on en déduit une autre ²-²²=1
Cette relation parait absurde car elle donne un "Pythagore négatif" (coté adjacent)² - (coté opposé)² = (hypoténuse)² avec (hypoténuse)²=1
Et pourtant elle reste juste...

Fig 3 :
On transpose donc cette égalité dans le petit triangle et on note par analogie les valeurs respectives telles que :
s² = c²t² - d²
En gros ça revient à faire du Pythagore en considérant que ct est l’hypoténuse, que l'angle droit est déplacé...

Fig 4 :
Pour ma part je vois des égalités plus simples : Thalès marche beaucoup mieux !
On se passe de c (=1), de s et des ², on traite directement avec
On admet que la diagonale vaut en effet t=1 et ça donne = d/ = t/

Bon ça commence à glisser, mais doit y'avoir du bon (j'espère)
Mailou

[Mailou75]

²+1/²=1²

sin² + cos² = 1

²-²²=1

cosh² - sinh² = 1

pour les relations déjà verifiées

[Mailou75]

Les graphs suivants essayent de démontrer l'équivalence entre la figure de gauche et un Minkowski (toutes les échelles sont identiques)
Une expérience : à t=0 on propulse deux objets dans le vide à des vitesses de 0.5c et 0.8c, il conservent leur vitesse au cours du temps, on fait un état des lieux à t=1
(On peut aussi faire une analogie simple avec deux objets comobiles dans l'expansion de l'espace, avec moult réserves )

A droite on reconnait donc un Minkowski avec la particularité magnifique de d'être additif (merci Phys4)
Les surfaces notées /2 sont égales (voilà pourquoi je préférais représenter l'intégrale sous cette forme )
On vérifie ainsi que 0,5c + 0,5c = 0,8c !!
C'est donc, dans cette représentation, un moyen extrêmement simple d’additionner les vitesses relativistes !
On peut l'interprétrer comme le fait que l'espace temps est "incompressible" (Einstein a dit un truc du genre je crois...)

Grâce à ce nouveau fil (merci Zef) j'ai pu me rendre compte de plusieurs choses :
D'une part on peut lire le z+1 (décalage spectral) dans un Minkowski (ce qui n'est pas a priori évident... et pourtant c'est une simple parallèle au cône de lumière qui en donne la valeur)
D'autre part que l'âge auquel est observé l'objet propulsé (ou comobile ?) est la valeur : 1/z+1 !

Si la figure de gauche donne une meilleure représentation de l'expansion comme le ballon qui gonfle (voir http://forums.futura-sciences.com/as...ace-temps.html message #5 pour la figure complète),
elle n'a en revanche pas la qualité de celle droite pour l'additivité des vitesses (₁/2 et ₂/2 sont différents)
enfin j'ai pas trouvé (100$ pour celui qui me trouve comment j'additionne graphiquement les vitesses dans le schéma de droite )

Ensuite le cône de simultanéité (je préfère cette notation à cône de lumière ou cône passé qui laissent présager qu'il y aurait un temps de trajet sur cette courbe, ce qui n'est pas le cas)
est projeté dans l'univers euclidien de l'observateur qui confond les 3 courbes espace, temps et cône en une seule qu'il appelle "droite finie certainement bouclée à la pac man"
La projection est du type disque de Beltrami (ne pas confondre avec disque de Poincaré ), les géodésiques sont des droites (rayon lumineux) pour l'observateur
mais pas exactement car la projection (Beltrami) de l'espace (en vert) n'a pas vraiment de sens car il n'est pas observable tel quel !
C'est le cône qui doit être projeté pour représenter ce que voit réellement l'observateur :
Un objet projeté à presque c ne peut être vu plus loin que ct/2 (0,5 temps lumière) à un âge (1/z+1) quasi nul : c'est l'horizon de l'expérience !
Si on fait l'analogie avec l'expansion ça devient l'horizon visible (13.7GAL)

Cela étant, pour en revenir au titre de la question initiale, on est encore loin d'intégrer Schwarzschild à tout ça !
Il ne s'agit jusqu'ici que de RR, finalement dans ces modèles il n'y a pas (ne devrait pas y avoir chez Minkowski) de point inertiel, "référentiel" au déplacement, donc pas de paradoxe des jumeaux
En fait sans masse tout va à c !! Donc pour passer en RG il faut estimer la "courbure" (d'où nos derniers échanges sur Rs etc...)
Je t'avoue donc m'être posé la question et pour l'instant j'en arrive à Toy type demi-tore pour de la 2D (une demi-sphère avec un trou noir au milieu) mais c'est pas au point...
Ce dernier fil, qui fait le lien avec les z+1 devrait peut être m'aider

Pour revenir à ces représentations qui finalement veulent toutes dire la même chose (RR/expansion) tu as aussi celle là :
http://forums.futura-sciences.com/as...z-vitesse.html message #7
pour l'analogie avec le son mis en parallèle d'un Minkowski c'est assez sympa

Ou pour aller plus loin dans le modèle du ballon qui gonfle (figure de gauche) et une explication de "pourquoi ça boucle à la pac man" tu as :
http://forums.futura-sciences.com/as...ivistes-3.html message #35
Où l'anti-moi est en parfaite synchronisation avec moi : intersection de l'espace et des courbes de simultanéité, en temps négatif, bref

Bon ben voilà, comprend qui peut mon charabia...
Je ne suis pas contre un peu d'aide pour démêler tout ça
Merci d'avance,

Mailou

[Zefram Cochrane]

Merci



Je crois que c'est clair... on est en MP
Je renonce à comprendre ce qu'est un produit scalaire hyperbolique



Si on pend des points en 1 et 3 de l'abscisse, le "quadrilatère courbe" 1AB3 vaut l'intégrale de 1/z+1 de 1 à 3 soit ln(3)=1,09 (pour v/c=0.8)
L'égalité des surfaces avec le "triangle" OAB est démontrée à la minute 3:00 du lien (rappel http://vimeo.com/10239313 )
Or on a vu avec Phys4 que e=z+1, donc je me suis permis d'écrire =ln(z+1) pour cette surface
Je me remets aux maths là...



Je ne crois pas que ds soit une courbe, m'enfin j'en sais trop rien
J'ai préparé quelques schémas pour expliquer comment je l'interprète... à suivre



Une autre représentation de toujours la même chose : de la RR

bonjour,

Faut pas renoncer, ton schéma n'est qu'un début; une fois qu'on aura clairement identifié les termes, ce sera plus facile. Nous sommes en train de passer un niveau, c'est normal d'avoir un Gros Bill a affronter à la fin. dommage qu'il n'y ait pas de cheat code en Sciences.

Pour en revenir à notre sujet. hormis le fait qu'il me faudra un peu de temps pour digérer tès réponses.
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~o...s28_pythag.htm
Ce petit lien devrait peut être t'éclairer pour ce qui concerne la courbure de dS/ Il s'agit d'un disque de Poincaré
une hyperbloïde comme le cône comporte un génératrice (Z+1) des lignes médianes parallèles à la génératrice et des cercles perpendiculaires.

Si j'ai bien compris la vidéo, un triangle rectangle euclydien d'équation dS² = C²dT'² - dR'² dS est l'intervalle d'espace-temps défini par rapport aux coordonnées locales T' et R' devrait pouvoir être projeté en traçant des lignes parallèles à la génératrice sur l'hyperbloïde d'équation inconnue d'une manière que j'ignore.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperbolo%C3%AFde

Une fois que j'ai mon triangle rectangle tracé sur l'hyperboloïde, je dois le prjeter de nouveau sur un plan comment? pour obtenir mon triangle rectangle hyperbolique; c'est le disque de Poincaré. Les bords extérieurs du disque de Poincaré correspondent à une singularité, je pense qu'il s'agit du plan tangent au cercle de l'hyperboloïde (c'est à dire un cylindre dont la génératrice est parallèle à celle de l'hyperboloïde).
Pour moi dS du hypothénuse d'un triangle rectangle hyperboliqueest une droite si dS suit la ligne médiane de l'hyperboloïde.

Je me plante peut être totalement.
Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Salut,

Faut pas renoncer, ton schéma n'est qu'un début; une fois qu'on aura clairement identifié les termes, ce sera plus facile. Nous sommes en train de passer un niveau, c'est normal d'avoir un Gros Bill a affronter à la fin. dommage qu'il n'y ait pas de cheat code en Sciences.

Quand je vois ce genre de calcul http://physique.coursgratuits.net/re...-impulsion.php, je me dis que le boss de fin est encore loin,
sans doute pas à ma portée, à moins que je choppe des extra life
Pour toi qui aime les calculs, ce lien m'a l'air aussi sérieux que complet en tout cas (perso j'y comprend rien )

http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~o...s28_pythag.htm

Ok... j'avais pas tout compris, en fait ce dont je parle jusqu'ici c'est de la moitié d'une hyperboloïde à 2 nappe (donc 1 nappe en fait)
L'autre coté pourrait bien être le lieu de l'anti-matière ça se tiendrait (HS désolé)
En tout cas il existe une autre forme pour l’hyperboloïde genre sablier (ou château d'eau dans le lien) qui a surement d'autres propriétés intéressantes comme :
"On peut générer cette surface par rotation d'une droite autour d'un axe qui ne lui est pas coplanaire"
On trouve des droites sur cette surface courbe (renforts du château d'eau) !
(En fait c'est la même courbe initiale (temps propre constant) mais qui suivant l'axe choisi pour la rotation (x ou y) donne des surfaces de révolution différentes)

Donc en fait tu parles de quelle forme toi ?
(Sachant que tant qu'on bosse en espace 1D on peut ramener la surface à une courbe, les équations (ds² ou autre) devraient se vérifier)

(...) d'équation inconnue d'une manière que j'ignore.

tu m'aides pas là

Il s'agit d'un disque de Poincaré (...)

Erf la projection de Poincaré court-circuite mes neurones (je préfère celle de Beltrami-Klein)
Pour le fait de dessiner un triangle rectangle sur un cône puis le projeter, j'ai essayé mais j'arrive pas à grand chose de ce coté là.
Et comme je le dis plus haut on devrait pouvoir se passer de 3D (2D+t) dans un premier temps (et donc de projections de ce genre)

Bon y'a encore du taf, bonne chance de ton coté
A+
Mailou

[Zefram Cochrane]

Le cône, c'est l'hyperboloïde pour les nuls
Je pense que c'est l'hyperboloïde simplifiée adaptée pour la RR.
Cordialement,
Zefram
Bon courage à toi aussi.
Me semble que dS doit être parallèle à la médiane, je t'en reparlerai.

[phys4]

Les graphs suivants essayent de démontrer l'équivalence entre la figure de gauche et un Minkowski (toutes les échelles sont identiques)
Une expérience : à t=0 on propulse deux objets dans le vide à des vitesses de 0.5c et 0.8c, il conservent leur vitesse au cours du temps, on fait un état des lieux à t=1
(On peut aussi faire une analogie simple avec deux objets comobiles dans l'expansion de l'espace, avec moult réserves )

A droite on reconnait donc un Minkowski avec la particularité magnifique de d'être additif (merci Phys4)
Les surfaces notées /2 sont égales (voilà pourquoi je préférais représenter l'intégrale sous cette forme )
On vérifie ainsi que 0,5c + 0,5c = 0,8c !!
C'est donc, dans cette représentation, un moyen extrêmement simple d’additionner les vitesses relativistes !
On peut l'interprétrer comme le fait que l'espace temps est "incompressible" (Einstein a dit un truc du genre je crois...)

Grâce à ce nouveau fil (merci Zef) j'ai pu me rendre compte de plusieurs choses :
D'une part on peut lire le z+1 (décalage spectral) dans un Minkowski (ce qui n'est pas a priori évident... et pourtant c'est une simple parallèle au cône de lumière qui en donne la valeur)
D'autre part que l'âge auquel est observé l'objet propulsé (ou comobile ?) est la valeur : 1/z+1 !

Bonsoir,
Je ne comprends pas exactement ce que signifie toutes les grandeurs de ses graphiques. Une remarque : attention à la notion de comobile en astrophysique. Deux étoiles ou galaxies sont dites comobiles si elles ont le même age par rapport à l'univers considéré comme isotrope, ce sont donc deux étoiles qui ne se voient pas, elles pourront se voir mutuellement dans un futur lointain. Le décalage spectral ne s'applique donc pas à des étoiles comobiles.

enfin j'ai pas trouvé (100$ pour celui qui me trouve comment j'additionne graphiquement les vitesses dans le schéma de droite )

Je me demande, en effet, comment faire une addition graphique des vitesses par cette méthode. Il faudrait identifier une longueur dont la valeur serait ln(z+1). Ces longueurs seraient additives.
Bonne chance pour la suite.

[Zefram Cochrane]

Bonsoir, j'ai un truc qui va certainement faire avancer le Schmilblick.
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbo...odel?oldid=cur
Quand vous regardez la projection de la courbe de l'hyperboloïde sur le disque de Poincaré on voit bien que le seul moyen d'avoir une droite est que la courbe de l'hyperboloïde suit une médiane et que toute droite sur le disque de Poincaré suit obligatoirement une médiane et est par la même parallèle à la génératrice (axe Z central perpendiculaire au disque) et que le sommet de l'hyperboloïde qui touche l'axe à pour coordonnées (x = 0;y = 0; z = 1)
cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Une remarque : attention à la notion de comobile en astrophysique. Deux étoiles ou galaxies sont dites comobiles si elles ont le même age par rapport à l'univers considéré comme isotrope, ce sont donc deux étoiles qui ne se voient pas, elles pourront se voir mutuellement dans un futur lointain. Le décalage spectral ne s'applique donc pas à des étoiles comobiles.

Oui, oublions pour l'instant ce parallèle avec l'expansion, trop glissant...

Je me demande, en effet, comment faire une addition graphique des vitesses par cette méthode. Il faudrait identifier une longueur dont la valeur serait ln(z+1). Ces longueurs seraient additives.
Bonne chance pour la suite.

En fait j'ai fait une faute de frappe, les 100$ c'est pour le schéma de gauche
Mais tu as raison dans le sens où chez Minkowski (à droite donc) /2 n'est pas une méthode de construction mais plutot un resultat !

Bonsoir, j'ai un truc qui va certainement faire avancer le Schmilblick.
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbo...odel?oldid=cur

Ca n'apporte par vraiment de nouvel élément par rapport au premier lien proposé
Et le disque de Poincaré ne me parle décidément pas

Bonsoir,
Je ne comprends pas exactement ce que signifie toutes les grandeurs de ses graphiques.

Alors c'est là que je me rends compte que je n'arrive pas à communiquer le sens de mes graphs, et c'est sans doute pour cela que j'obtiens peu de réponses
Si c'est Gloubi qui m'a fait découvrir les relations hyperboliques c'est quand même toi qui m'as tout appris sur leur fonctionement (additivité de , correspondance avec z+1=e
Je vais donc essayer de décrire ce que j'ai fait plus rigoureusement :

Oublions pour l'instant le schéma de gauche et interessons nous uniquement au Minkowski (droite)
Première étape : on trace deux axes, le temps vertical vers le bas et l'espace horizontal vers la gauche
Les graduations normales sont 1s pour le temps et 300.000km pour l'espace (ou 1s lumière)
Ainsi la droite à 45° en pointillé représente la vitesse max (c) dans ce repère :
A 1s, un objet allant à c se trouve à 1s lumière

Dans ce repère nous pouvons tracer les lignes d'univers d'objets moins rapides que c
Interessons nous à l'objet allant à 0,8c (ligne de gauche en diagonale)
Cet objet se trouvera donc sur la droite horizontale verte qu'on nomme espace à une distance de 0,8s lumière au bout d'une durée de 1s

Jusqu'ici on pourait être en mécanique clasique
Mais que nous dit Lorentz : que lorsque cet objet se trouve à la position précédement indiquée sont temps propre n'est plus égal au mien : l'observateur compte jusqu'a 1s alors que l'objet voyageur ne compte que jusqu'à 0,6s !!

En faisant une règle de trois, on peut donc indiquer la position qu'il aurait s'il comptait jusqu'à 1s :
C'est sa position au delà de la droite verte, sur la courbe !
En reproduisant cette opération pour différentes vitesses on arrive à tracer une courbe complète
(Je sais depuis peu que c'est en fait une courbe de type 1/x)
Cette courbe est donc le lieu où tous les objets quelle que soit leur vitesse relative ont un temps prore égal : 1s
Elle est alors nommée courbe de temps propre constant (c'est pas moi qui l'invente)

Jusqu'ici c'est du pur Minkowski, je n'invente rien (après non plus d'ailleurs )
Sauf que d'une certaine façon, on peut faire disparaitre les échelle de temps et d'espace
En horizontal on note simplement le rapport des distances (0 à 1): = 0,8
En vertical le temps est l'axe 1/z+1 (0 à 1)

Maintenant les équivalences graphiques :
Si l'on projette l'intersection le la ligne d'univers et de la courbe de temps propre sur un axe vertical de graduation identique au temps, on obtient = 1,66
Si l'on projette ce même point à 45 ° sur un axe vertical on obtient z+1 = 3
Et pour une projection à 45° perpendiculaire à la dernière on trouve 1/z+1= 0,33
(Cette valeur est l'age auquel est observé l'objet voyageant à 0,8c)
Si l'on trace une courbe de temps propre constant passant par l'intersection de la ligne d'univers et de la droite d'espace (verte), cette courbe intercepte un axe vertical à la valeur 1/ = 0,6
Si on se réfère à la figure donnée au message #6 on peut donner une valeur à l'aire d'un "triangle courbe" : /2 = 1, 1/2

Si l'on trace maintenant la ligne d'univers d'un objet à 0,5c et toutes les équivalence citées précédement,
On trouve = 0,5 , =1,15 1/=0,86 z+1=1,73 1/z+1=0,57 et enfin /2=0,55/2

Voilà j'espère que c'est plus clair

A+
Mailou

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
J'essaierai de te faire un schéma mais c'est pas gagné.
Cordialement,
Zefram

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
j'ai essayé de faire un graphique mais je ne sais pas si ça à marché.
je me suis inspiré de ton schéma (message #6)
l'axe vertical est l'axe Z la surface de l'hyperboloïde coupe cet axe en Z= 1 que tu a choisi comme origine pour l'axe Z+1.
De gauche à droite de la figure JPEG tu as
le point O ; le point B ; puis le point A.

La première étape est de projeter le triangle rectangle qui est situé en bas sur l'hyperboloïde (j'ai l'image d'un saladier) pour il faut reporter les parallèle à l'axe Z sur la surface de l'hyperboloïde les segments OB et OA sont sur des médianes elles sont parallèles à l'axe Z. c'est pour cela que si on retourne l'hyperboloïde et qu'on dessine sur le couvercle du saladier ou dis autrement qu'on fait la projection sur le plan parallèle à l'axe j'obtiens ton schéma #6 où les segement OA et OB apparaissent de nouveau comme des droites mais que AB est courbe. Pour moi ton schéma est un disque de Poincaré sauf que les bords (les limites du cercle ou les bords de ton hyperboloïde ) n'y sont pas représentés.

Pour moi sur ton shéma OB, c'est dS ; OA , c'est CdT et AB c'est dR par contre je ne suis pas certain lequel des triangles celui du dessus ou celui de dessous correspond à dS² = C²dT'² - dR'² et dS² = C²dT²/X² - X²dR²

j'espère ne pas me planter.
cordialement,
Zefram

[Zefram Cochrane]

Salut Mailou,
Pourais tu faire un message incluant le schéma #6 de cette discussion avec celui du #99 de la discussion Vitesse Propre STP?
Je pense que cela nous serais utile par la suite.
En potassant Vitesse Propre et en révisant la notion de rapidité, je pense avoir pigé quelques bricoles.
dans la formule (dS')² = (CdT')² - (dR')²
Je pense que c'est le triangle rectangle OAB Euclidien classique rectangle en A et où tous les cotés sont des droites:
le segment [O;B'] = CdT'
le segment [O';A'] = dS
le segment [A';B'] = dR'

en RR, à partir des équations de Lorentz, tu vérifies que (dS)² = (CdT')² - (dR')² = (CdT)² - (dR)²

le segment [O;B] = CdT
le segment [O;A] = dS
le segment [A;B] = dR

Les cotés du triangle rectangle en A dS (car dS = dS') et CdT sont des droites dR ne peut l'être car on ne peut lui appliquer le théoère de Thalès(http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...de_Thal%C3%A8s).
on a CdT = Xv. CdT'
et on a dR = Xv. dR'

sur ton schéma#6 si tu trace la droite perpendiculaire en A par rapport au segment [O;A] coupant [O;B] en B', Mon p'tit doigt me dis que [O;B'] correspond à CdT' et que [A;B'] = dR' et que T = Xv.T' on trouve graphiquement que dR = Xv. dR'

La projection que j'avais faite de ton schéma correpond à priori à celle adpaté à la RR.

Pour la RG c'est un peu différent. le point O ne peut se trouver au sommet de la géodésique car si c'était le cas, la projection de CdT' serait sur une médiane, ce qui ne peut être possible. Parce que

D'après ce que j'ai révisé.
prenons le triangle O"A"B" triangle projeté de O'A'B' sur l'hyperboloïde (OAB est la projection de O"A"B" sur le disque de Poincaré)
Ce que je sais c'est que le triangle rectangle hyperbolique doit être rectangle en A. Ce dont je suis moins certain c'est sur la nécessité pour dS de se trouver sur une médiane, dS serait alors une droite sur le disque de Poincaré.

Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Salut,

Pour la compil des dessin, t’inquiète quelle est déjà faite
C'est simplement les fonctions inverse e->ln, cosh->csoh^-1 etc... je la mettrai au propre pour édit si tu veux

Pour la localisation de ds cdt et dr t'auras tout essayé
Je t'invite à relire ma réponse #9 (ce fil) : à la figure 3 ils sont indiqués,
simplement en hyperbolique la relation devient (hypoténuse)²= (coté adjacent)² - (coté opposé)²
(J'avais entendu E.Klein en parler dans une conf en ligne)
Ça revient à cosh²-sinh²=1 (figure 2) soit ²-²²=1 (tu peux vérifier )
Dans la figure 4, tu peux inverser les cotations 1 et dt, Thalès te donnera dt/d=
En fait OA (statique) est le chemin le plus court par rapport à une autre ligne d'univers mais c'est aussi le plus long (en temps)
car tout "détour" dans l'espace temps entre deux évènement demande une vitesse et raccourcit donc le temps propre du voyageur (cf Langevin)
Une petite confirmation serait pas de refus

Pour les diverses projections dont tu parles, je vais me répéter, mais nous ne devons pas avoir besoin d'une dimension supplémentaire pour retrouver cette égalité!
La figure de base (1D+t) est la génératrice de la forme d’hyperboloïde (2D+t) (surface de révolution de la courbe plongée dans un espace 3D)
en fait reste une surface 2D (espace x temps) même si tu rajoutes les deux dimensions spatiales manquantes !!

Pour la longueur de ton segment [OB'] le schéma message #6 te le dit : c'est
J'ai eu beau lire et relire tes deux derniers messages, j'ai beaucoup de mal à te suivre
(en même temps je bloque sans doute sur mon interprétation, je devrais prendre un peu de recul...)

A+
Mailou

[Zefram Cochrane]

Tu m'a l'air beaucoupn plus à l'aise que moi avec la géométrie hyperbolique, alors j'avance beaucoup moins rapidement que toi et je dis ce que je crois avoir compris.
J'ai un gros PB de compréhension la dessus mais je me soigne et je dois m'arrêter à chaque ligne pour essayer de comprendre. d'où mon retard dans le discussion de ce fil.
pour l'heure, j'en suis au schéma#6
Par exemple, question bête. C'est qu'oi l'axe des ordonnées?
DSL pour la question .
cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Tu m'as l'air beaucoup plus à l'aise que moi avec la géométrie hyperbolique (...)

Ne crois pas ça, j'ose même pas rajouter une deuxième dimension d'espace
C'est beaucoup de bidouille et quelques accidents sympas, mais qui n'en sont pas moins justes

Par exemple, question bête. C'est quoi l'axe des ordonnées?

En x on a z+1
En y ça dépend de la courbe que tu regardes :
- soit c'est 1/z+1 (courbe 1/x) en bleu
- soit ln(z+1) (courbe ln(x)) en orange

Accessoirement ln(x) est l'intégrale de 1/x
ln(x) est la surface comprise entre l'axe des x et la courbe 1/x (intégrale de 1 à x)
(elle peut être négative si l'objet s'approche : <0 , z+1<1 blueshift)
Et on peut montrer facilement que c'est aussi l'aire du triangle hachuré ()
(par une propriété qu'ont les triangles OA1 et OB2 d'être égaux, voir la vidéo du mess #3 à 3:00 pour la démonstration)
Et on sait que ln(z+1)= la fameuse rapidité : une surface (2D) d'espace temps additive dans les transfo de Lorentz !

A+
Mailou

[Mailou75]

Re ,

Fig gauche:
Pour aider à la lecture de tout ceci, je t'en propose une version simplifiée :
Le schéma principal est une reproduction de ceux qu'on peut trouver ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_jumeaux
On y retrouve les échelles d'origine de temps en ordonnée (1s) et d'espace en abscisse (1s.lumière=300.000km)
A l'issue d'un aller retour vers une destination située à 0,8sl (240.000km) à la vitesse de 0,8c,
le jumeau voyageur a compté jusqu'à 1,2s tandis que le jumeau sédentaire a compté jusqu'à 2s !
En vert tu peux lire =v/c=0,8 et en rouge =1,66
La courbe jaune est dite de temps propre constant car les jumeaux y ont le même âge (1s)
L'horizontale verte est ce qu'on peut appeler l'espace Euclidien (?)

Pour faire le parallèle avec les schémas du message #11,
Chez Minkowski, on a un espace droit et un temps hyperbolique
A gauche, on a un espace circulaire et un temps droit
Mais les deux formes de représentation donnent les mêmes résultats !

Fig droite:
B et C sont des objets propulsés respectivement à 0,5c et 0,8c depuis O à t=0 (A est l'observateur statique)
On se rend compte que la valeur de _0,5/2 est la surface du "triangle courbe" OAB
et _0,8/2 la surface de OAC et que _0,5 + _0,5 =_0,8
Toutes les surfaces colorées valent _0,5
(NB : est la rapidité définie par v/c==tanh)

Mais on se rend compte que "l'incompressibilité" de permet "faire glisser" la figure (un peu comme si était un liquide)
transformant ainsi les lignes d'univers des objets (OB et OC) en axe de temps, ce qui n'est autre chose qu'un changement de repère !
1. A voit B aller à 0.5c et C aller à 0.8c
2. B voit A aller à 0.5c et C aller à 0.5c
3. C voit B aller à 0.5c et A aller à 0.8c
(NB : voir http://forums.futura-sciences.com/as...ivistes-3.html #35 pour le changement temps / ligne d'univers de l'autre représentation)

Voilà j'espère que ça t'aidera à la lecture du reste
Car à ces schémas de l'espace temps il faut encore ajouter le cône de simultanéité, qui est ce que voit l'observateur (à 1s)!

[Mailou75]

Et la compil que tu voulais, mais c'est pas plus clair...

Note qu'en plus cette figure a comme différence de la précédente que l'espace représenté ici par l'axe en vert
prend une valeur positive/négative de part et d'autre de la ligne d'univers observateur (OA)
C s'éloigne dans un espace négatif à 0.5c = C s’approche de moi à 0.5c !
On peut lire _-0,5=-0,55 (surface négative...) et _0.8=1,1
Pour le reste c'est une symétrie de la figure #99 http://forums.futura-sciences.com/as...-propre-7.html,
je te laisse découvrir la suite

A+
Mailou

[Zefram Cochrane]

Par contre c'est joli
Je rapatrie tout cela sur l'ordi dont je me sert dans le train pour potasser ça tranquillement.
On a eu du mal à se comprendre parce qu'on parlais pas tout à fait de la même chose. Je m'en suis rendu compte quand j'ai réécrit ton message 6 sur du papier libre.

Ce que je voulais dire dans mes message du 7 et du 9
est que si tu es dans un espace Euclydien
que tu as un triangle OA'B' rectangle en A' tel que et que tous tes segments sont des droites.
que pour tracer ton triangle OAB rectangle en A, Aest confondu avec A' pour que mais que
mais que X>1 alors tu est obligé de courber ton segment [AB] de façon a pouvoir conserver l'angle rectangle en A et que Je suis à peu près certain que la longueur [AB] = K [AB'] (A confondu avec A').
C'est ce que me dit pour le moment ton shéma du message 6.

maintenant, si tu passes en géométrie hyperbolique,

pour un triangle OAB rectangle hyperbolique rectangle en A.
OB² = OA² - AB²
la longueur du segment [OA] est forcément supérieure à celle de [OB]
Donc pour que [OB] soit droit; il faut courber [OA] et [OB] si tu veux conserver ton angle droit en A.

J'espère avoir été plus clair.

une formule qui pourrais t'être utile :

P est la quantité de mouvement.
Je te l'écrit car j'ai un peu de retard dans le suivi appronfondi du fil. j'espère que cela pourrait t'être utile
cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Par contre c'est joli

C'est un peu le bordel quand même
et en plus j'ai oublié de noter la correspondance :
si on projette B ou C sur l'axe vert noté on lit la valeur (1,33 et -0,58)
(cf fig 2 du dessin message #9)

(...) si tu es dans un espace Euclydien
que tu as un triangle OA'B' rectangle en A' tel que et que tous tes segments sont des droites.
que pour tracer ton triangle OAB rectangle en A, Aest confondu avec A' pour que mais que
mais que X>1 alors tu est obligé de courber ton segment [AB] de façon a pouvoir conserver l'angle rectangle en A et que Je suis à peu près certain que la longueur [AB] = K [AB'] (A confondu avec A').

Si on est toujours en 1D+t et que je suis ce que tu dis alors oui on a OB=.OB'
Pour AB' ça dépend comment tu en lis la valeur (projection=, longueur de la ligne AB' ou de l'arc AB')
en tout cas il existe toujours un K pour vérifier l'égalité... ça dépend, c'est quoi K ?

maintenant, si tu passes en géométrie hyperbolique,
pour un triangle OAB rectangle hyperbolique rectangle en A.
OB² = OA² - AB²
la longueur du segment [OA] est forcément supérieure à celle de [OB]

Non c'est justement là que c'est intéressant, l'égalité est valable avec cette configuration, elle traduit justement le fait que :
Dans l'espace temps, le chemin le plus court en distance est le plus long en temps !!!
Dans l'exemple des jumeaux, celui qui fait un détour (chemin le plus long) est celui qui sera le plus jeune (temps propre le plus court) lors de l'évènement "retrouvailles"
Enfin, c'est ce que j'en comprends...

une formule qui pourrais t'être utile :

P est la quantité de mouvement.

Je l'ai déjà en stock c'est E_totale=mc²
Pour un objet immobile =1 et E=mc²
La courbe =cosh est l'énergie totale
Phys4 m'a même fait faire la démonstration :

cosh²=1+sinh²
Avec cosh= et sinh=p/mc
On a : ²=1+(p²/m²c²)
Et multiplié par m²c⁴...
²m²c⁴=m²c⁴+p²c²...=E²
D'où E=mc²

A bientôt
Mailou

[Zefram Cochrane]

En fait mon message était incomplêt
En fait on est toujours en 1D+t ( c'est déjà assez complexe pour moi), les coordonnées sphériques seront pour plus tard.

d'abord la petite correction K=X
est que si tu es dans un espace Euclydien
que tu as un triangle OA'B' rectangle en A' tel que et que tous tes segments sont des droites.
que pour tracer ton triangle OAB rectangle en A, Aest confondu avec A' pour que mais que
mais que X>1 alors tu est obligé de courber ton segment [AB] de façon a pouvoir conserver l'angle rectangle en A et que Je suis à peu près certain que la longueur [AB] = X [AB'] (A confondu avec A').
C'est ce que me dit pour le moment ton shéma du message 6.

maintenant, la géométrie hyperbolique, (Pour la RG)

pour un triangle OAB rectangle hyperbolique rectangle en A.
OB² = OA² - AB²
la longueur du segment [OA] est forcément supérieure à celle de [OB]
Donc pour que [OB] soit droit; il faut courber [OA] et [OB] si tu veux conserver ton angle droit en A.

je ne crois pas que ce que j'ai dit sois contradictoire avec ce que tu dis, il me sembre.
Car dS correspond au segment [OB] ; CdT au segment [OA]; dR au segment [AB] d'où la forme de l'équation des champs dS² = C²dT²/X² - X²dR². c'est une suggestion, pas une affirmation catégorique.

Pour la formule,

Merci d'avoir remis la démonstration je l'ignorais. je me demandais si on pouvait faire une analogie en dS et mc² = Eo
du genre Eo² = Etot² - c²P²
Ce qui peut être pratique puisque

Zefram

[Mailou75]

Salut,

Tu me refais un copié collé du dernier post...
Il va falloir que tu te fendes d'un schéma si tu veux qu'on arrête de tourner en rond

Je cite en corrigeant en bleu:

pour un triangle OAB rectangle en A dessiné dans un "espace hyperbolique" : OB² = OA² - AB²
(...) dS correspond au segment [OB] ; CdT au segment [OA]; dR au segment [AB]
d'où (...) l'équation (...) dS² = C²dT² - dR²

Oui voir réponse #9 de ce fil (fig3)
(Pour le reste -équation ds champs- j'en sais rien)

je me demandais si on pouvait faire une analogie en dS et mc² = Eo du genre Eo² = Etot² - c²P²

Pourquoi pas, si tu comprends ce que tu es en train de faire

Pour E_totale=Eo et Eo=mc²
Eo/E_totale= pas z+1
C'est voulu ?

A+
Mailou

[Zefram Cochrane]

Salut,
Voici un shéma.

Le segment rouge intersecte [OB] en B'
Je me demande si [OB]/[OB'] = [AB] / [AB'] et si ce rapport est lui même égal à Xv

pour 1+ z

pour l'énergie d'un photon est :

donc
En cas de reschift et en cas de blueschift
comment obtiens t'on ?

Zefram