triangle rectangle hyperbolique et la métrique de Schwarzschild

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
J'aurais une série de questions en rapport et de mises au point à faire avec la géométrie hyperbolique et la métrique de Schwarzschild.

Commençons par la métrique de Minkovski.

Voici le raisonnement soit un mobile allant à la vitesse V.
On définit pour R :
et pour R' :
Puis que la vitesse de la lumière est constante dans le référentiel du mobile R' et dans celui de lo'bservateur fixe R je peux écrire :




d'où
on pose

on a donc

si
puis-je affirmer :

où ?

cordialement,
Zefram

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
soit un triangle rectangle avec pour hypothénuse dS de coté adjacent CdT' et de coté opposé dR'

On peut construire un triangle hyperbolique tel que dS² = C²dT'² - dR'² = dS² [(CdT'/dS)² - (dR'/dS)²] = dS²( cosh²(o) - sinh²(o) )

Pour me représenter ce triangle rectangle dans le référenciel de R, on me dit de le dessiner sur un cône et de mesuré sa projection sur un plan.
Est ce que quelqu'un connaîtrait la méthode?
Si je prends dS² = C²dT'² - dR'² = C²dT²/X² - X²dR² comment dois je choisir mon cône (génératrice et longueur de la base)?
Si je pose mon cône sur une table, quelle projection dois-je choisir, celui de la table u celui du mur?

Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Salut,

Tu m'as mis la puce à l'oreille, une représentation de ds² ça m’intéresserait !
J'ai trouvé ça pour la géométrie hyperbolique http://vimeo.com/10239313 c'est très bien fait (pour qui parle déjà un peu chinois...)
Mais j'ai pas bien fait le lien avec ds²... l'hyperboloïde me fait penser à une surface de temps propre constant chez Minkowski mais sans conviction...
Bon courage... (personne pour un coup de pouce sioupli ?)

[Zefram Cochrane]

Je te remercie Mailou pour le lien, il est génial.
je ne suis pas contre non plus des remarques.
Je le regarderai plus assiduement plus tard, vue l'heure.

[Mailou75]

Salut,

J'aurais besoin d'un coup de main car je bloque assez rapidement
En fait en repérage sphérique tout marche bien :
La longueur de l'arc est bien égale à L=arcos(N) où N est le produit scalaire des vecteurs OA et OB soit
N=X_AX_B+Y_AY_B ou N=OA.OB.cos
(Accessoirement l'aire est égale à L/2)
Mais quand on passe en hyperbolique alors on devrait avoir L=arcosh(N') où N' est le produit scalaire hyperbolique
soit N'=X_AX_B-Y_AY_B
et là ça ne marche plus du tout...

exemple :
on trace la fonction 1/x
on choisis deux points sur la courbe A(1;1) et B(3;0.333)
(le produit scalaire est N = 3,333)
le produit scalaire hyperbolique est N' = 2,6666
et la valeur arcosh(N') = 1,6368 n'est absolument pas la longueur de l'arc...

J'aurais donc une ou deux questions :
1. Me suis-je trompé quelque part ?
2. Existe-t-il une définition pour le produit scalaire hyperbolique du type OA.OB.cos (pour le produit scalaire) ? pour comparer...

Merci d'avance
Mailou

[Mailou75]

Salut,

Alors j'ai cherché un peu et je suis tombé sur des égalités plutôt sympathiques

La figure jointe se passe presque de commentaire, mais je vais en faire quelques uns :
- En abscisse on a z+1
- En ordonnée (bleu) on a 1/z+1
- L'aire du "triangle" OAB est , la rapidité
- En ordonnée (orange) on a ln(z+1) soit la même valeur :
- En vert on note des rapports de mesure : et (si l'autre cote =1)

Plusieurs remarques:
- Si on fait une homothétie de la figure telle que OA=1 (et non pas ),
alors le produit scalaire (non hyperbolique) des vecteurs OA et OB est égal à ,
la cote notée vaut vraiment cette valeur et celle notée vaut
soit w/c (vitesse propre) ou p/mc (p l'impulsion) et l'aire du "triangle" OAB vaut /2
- Ce schéma vérifie la relation montrée dans Vitesse "propre" (message 99)
la courbe z+1=e se retouve ici sous la forme =ln(z+1)
- Enfin, mon intuition quant à la similitude de l'hyperbole et d'une courbe de temps propre constant se vérifie :
Le schéma joint, avec une petite rotation adéquate se superpose à celui ci : Courbures de l'espace-temps (message 1)
Dans le premier dessin à gauche, la courbe la plus basse (temps objet = temps observateur) EST une courbe type 1/x !!

Bref, tout ceci est plutôt amusant et intrigant... mais ça ne répond pas aux questions :
-Pourquoi est-ce que je ne trouve pas : longueur de l'arc AB = arcosh (produit scalaire hyperbolique OA.OB) ?
-Peut-on lire ds² quelque part ou je suis hors sujet ?

Merci d'avance pour votre aide
Mailou

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Très beau shéma et très beau travail de recherche. Je ne sais pas ce qu'en pense les pros mais pas mal du tout. Il faudra que je me replonge dans les discussions des liens que tu as rappelé.
pour le ds je pense que c'est la distance OB car si je me rappelle bien la vidéo du cours que tu a fourni au message #3 Z+1 correspond à la génératrice de l'hyperboloïde, AB à CdT et AO à dR.

Par contre je suis un peu étonné que tu puisse trouver que la rapidité soit l'aire de OAB tel, que décrit sur ton schéma (où OB est du droite) parce que si j'ai bien compris la vidéo, il faut projeter le triangle rectangle euclydien formé des segment CdT' dR' dS' sur l'hyperboloïde pour trouver CdT (AB) ; dR (AO) ; dS (OB) ; donc pour moi dS est courbe.
il se peut que je me plante complètement : peur:


Par contre je suis sur qu'il y a plein de chose à faire à partir de ton schéma et tu as bien dégrossit le travail

Zefram

[Mailou75]

Très beau shéma et très beau travail de recherche.

Merci

Je ne sais pas ce qu'en pense les pros mais pas mal du tout.

Je crois que c'est clair... on est en MP
Je renonce à comprendre ce qu'est un produit scalaire hyperbolique

Par contre je suis un peu étonné que tu puisse trouver que la rapidité soit l'aire de OAB tel, que décrit sur ton schéma (où OB est du droite)

Si on pend des points en 1 et 3 de l'abscisse, le "quadrilatère courbe" 1AB3 vaut l'intégrale de 1/z+1 de 1 à 3 soit ln(3)=1,09 (pour v/c=0.8)
L'égalité des surfaces avec le "triangle" OAB est démontrée à la minute 3:00 du lien (rappel http://vimeo.com/10239313 )
Or on a vu avec Phys4 que e=z+1, donc je me suis permis d'écrire =ln(z+1) pour cette surface
Je me remets aux maths là...

pour le ds je pense que c'est la distance OB car si je me rappelle bien la vidéo du cours que tu a fourni au message #3 Z+1 correspond à la génératrice de l'hyperboloïde, AB à CdT et AO à dR.
(...) si j'ai bien compris la vidéo, il faut projeter le triangle rectangle euclydien formé des segment CdT' dR' dS' sur l'hyperboloïde pour trouver CdT (AB) ; dR (AO) ; dS (OB) ; donc pour moi dS est courbe.
il se peut que je me plante complètement : peur:

Je ne crois pas que ds soit une courbe, m'enfin j'en sais trop rien
J'ai préparé quelques schémas pour expliquer comment je l'interprète... à suivre

Par contre je suis sur qu'il y a plein de chose à faire à partir de ton schéma et tu as bien dégrossit le travail

Une autre représentation de toujours la même chose : de la RR

[Mailou75]

Donc voilà la suite, je ne suis pas sur de mon interprétation mais bon...

Fig 1 :
Nous sommes en radians, la valeur de l'arc de cercle de rayon 1 est l'angle , l'aire correspondante (en bleu) vaut /2 (aucun intérêt pour l'instant...)
La ligne d'univers d'un objet propulsé à =v/c=0,8 intercepte le cercle (espace) et donne 1/=0,6
On note les égalités trigonométriques (cos, sin et tan), la ligne d'univers mesure
On obtient donc un triangle rectangle et Pythagore nous dit : ²+1/²=1²

Fig 2 :
Cette fois on est chez Minkowski, en vertical le temps, en horizontal (vert) l'espace et la courbe (type 1/x) de temps propre constant
On note les égalités hyperboliques (cosh, sinh et tanh)
On remarque que , contrairement à la première figure n'a pas une valeur d'angle mais uniquement de surface,
En fait /2 c'est de l'espace temps (ici 2D pour un espace 1D), voilà qui devrait faire plaisir à Amanuensis qui en cherchait la signification physique
De la première égalité (Fig 1) on en déduit une autre ²-²²=1
Cette relation parait absurde car elle donne un "Pythagore négatif" (coté adjacent)² - (coté opposé)² = (hypoténuse)² avec (hypoténuse)²=1
Et pourtant elle reste juste...

Fig 3 :
On transpose donc cette égalité dans le petit triangle et on note par analogie les valeurs respectives telles que :
s² = c²t² - d²
En gros ça revient à faire du Pythagore en considérant que ct est l’hypoténuse, que l'angle droit est déplacé...

Fig 4 :
Pour ma part je vois des égalités plus simples : Thalès marche beaucoup mieux !
On se passe de c (=1), de s et des ², on traite directement avec
On admet que la diagonale vaut en effet t=1 et ça donne = d/ = t/

Bon ça commence à glisser, mais doit y'avoir du bon (j'espère)
Mailou

[Mailou75]

²+1/²=1²

sin² + cos² = 1

²-²²=1

cosh² - sinh² = 1

pour les relations déjà verifiées

[Mailou75]

Les graphs suivants essayent de démontrer l'équivalence entre la figure de gauche et un Minkowski (toutes les échelles sont identiques)
Une expérience : à t=0 on propulse deux objets dans le vide à des vitesses de 0.5c et 0.8c, il conservent leur vitesse au cours du temps, on fait un état des lieux à t=1
(On peut aussi faire une analogie simple avec deux objets comobiles dans l'expansion de l'espace, avec moult réserves )

A droite on reconnait donc un Minkowski avec la particularité magnifique de d'être additif (merci Phys4)
Les surfaces notées /2 sont égales (voilà pourquoi je préférais représenter l'intégrale sous cette forme )
On vérifie ainsi que 0,5c + 0,5c = 0,8c !!
C'est donc, dans cette représentation, un moyen extrêmement simple d’additionner les vitesses relativistes !
On peut l'interprétrer comme le fait que l'espace temps est "incompressible" (Einstein a dit un truc du genre je crois...)

Grâce à ce nouveau fil (merci Zef) j'ai pu me rendre compte de plusieurs choses :
D'une part on peut lire le z+1 (décalage spectral) dans un Minkowski (ce qui n'est pas a priori évident... et pourtant c'est une simple parallèle au cône de lumière qui en donne la valeur)
D'autre part que l'âge auquel est observé l'objet propulsé (ou comobile ?) est la valeur : 1/z+1 !

Si la figure de gauche donne une meilleure représentation de l'expansion comme le ballon qui gonfle (voir Courbures de l'espace-temps message #5 pour la figure complète),
elle n'a en revanche pas la qualité de celle droite pour l'additivité des vitesses (₁/2 et ₂/2 sont différents)
enfin j'ai pas trouvé (100$ pour celui qui me trouve comment j'additionne graphiquement les vitesses dans le schéma de droite )

Ensuite le cône de simultanéité (je préfère cette notation à cône de lumière ou cône passé qui laissent présager qu'il y aurait un temps de trajet sur cette courbe, ce qui n'est pas le cas)
est projeté dans l'univers euclidien de l'observateur qui confond les 3 courbes espace, temps et cône en une seule qu'il appelle "droite finie certainement bouclée à la pac man"
La projection est du type disque de Beltrami (ne pas confondre avec disque de Poincaré ), les géodésiques sont des droites (rayon lumineux) pour l'observateur
mais pas exactement car la projection (Beltrami) de l'espace (en vert) n'a pas vraiment de sens car il n'est pas observable tel quel !
C'est le cône qui doit être projeté pour représenter ce que voit réellement l'observateur :
Un objet projeté à presque c ne peut être vu plus loin que ct/2 (0,5 temps lumière) à un âge (1/z+1) quasi nul : c'est l'horizon de l'expérience !
Si on fait l'analogie avec l'expansion ça devient l'horizon visible (13.7GAL)

Cela étant, pour en revenir au titre de la question initiale, on est encore loin d'intégrer Schwarzschild à tout ça !
Il ne s'agit jusqu'ici que de RR, finalement dans ces modèles il n'y a pas (ne devrait pas y avoir chez Minkowski) de point inertiel, "référentiel" au déplacement, donc pas de paradoxe des jumeaux
En fait sans masse tout va à c !! Donc pour passer en RG il faut estimer la "courbure" (d'où nos derniers échanges sur Rs etc...)
Je t'avoue donc m'être posé la question et pour l'instant j'en arrive à Toy type demi-tore pour de la 2D (une demi-sphère avec un trou noir au milieu) mais c'est pas au point...
Ce dernier fil, qui fait le lien avec les z+1 devrait peut être m'aider

Pour revenir à ces représentations qui finalement veulent toutes dire la même chose (RR/expansion) tu as aussi celle là :
Z comme vitesse message #7
pour l'analogie avec le son mis en parallèle d'un Minkowski c'est assez sympa

Ou pour aller plus loin dans le modèle du ballon qui gonfle (figure de gauche) et une explication de "pourquoi ça boucle à la pac man" tu as :
Expansion et additivité des vitesses relativistes message #35
Où l'anti-moi est en parfaite synchronisation avec moi : intersection de l'espace et des courbes de simultanéité, en temps négatif, bref

Bon ben voilà, comprend qui peut mon charabia...
Je ne suis pas contre un peu d'aide pour démêler tout ça
Merci d'avance,

Mailou

[Zefram Cochrane]

Merci



Je crois que c'est clair... on est en MP
Je renonce à comprendre ce qu'est un produit scalaire hyperbolique



Si on pend des points en 1 et 3 de l'abscisse, le "quadrilatère courbe" 1AB3 vaut l'intégrale de 1/z+1 de 1 à 3 soit ln(3)=1,09 (pour v/c=0.8)
L'égalité des surfaces avec le "triangle" OAB est démontrée à la minute 3:00 du lien (rappel http://vimeo.com/10239313 )
Or on a vu avec Phys4 que e=z+1, donc je me suis permis d'écrire =ln(z+1) pour cette surface
Je me remets aux maths là...



Je ne crois pas que ds soit une courbe, m'enfin j'en sais trop rien
J'ai préparé quelques schémas pour expliquer comment je l'interprète... à suivre



Une autre représentation de toujours la même chose : de la RR

bonjour,

Faut pas renoncer, ton schéma n'est qu'un début; une fois qu'on aura clairement identifié les termes, ce sera plus facile. Nous sommes en train de passer un niveau, c'est normal d'avoir un Gros Bill a affronter à la fin. dommage qu'il n'y ait pas de cheat code en Sciences.

Pour en revenir à notre sujet. hormis le fait qu'il me faudra un peu de temps pour digérer tès réponses.
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~o...s28_pythag.htm
Ce petit lien devrait peut être t'éclairer pour ce qui concerne la courbure de dS/ Il s'agit d'un disque de Poincaré
une hyperbloïde comme le cône comporte un génératrice (Z+1) des lignes médianes parallèles à la génératrice et des cercles perpendiculaires.

Si j'ai bien compris la vidéo, un triangle rectangle euclydien d'équation dS² = C²dT'² - dR'² dS est l'intervalle d'espace-temps défini par rapport aux coordonnées locales T' et R' devrait pouvoir être projeté en traçant des lignes parallèles à la génératrice sur l'hyperbloïde d'équation inconnue d'une manière que j'ignore.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperbolo%C3%AFde

Une fois que j'ai mon triangle rectangle tracé sur l'hyperboloïde, je dois le prjeter de nouveau sur un plan comment? pour obtenir mon triangle rectangle hyperbolique; c'est le disque de Poincaré. Les bords extérieurs du disque de Poincaré correspondent à une singularité, je pense qu'il s'agit du plan tangent au cercle de l'hyperboloïde (c'est à dire un cylindre dont la génératrice est parallèle à celle de l'hyperboloïde).
Pour moi dS du hypothénuse d'un triangle rectangle hyperboliqueest une droite si dS suit la ligne médiane de l'hyperboloïde.

Je me plante peut être totalement.
Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Salut,

Faut pas renoncer, ton schéma n'est qu'un début; une fois qu'on aura clairement identifié les termes, ce sera plus facile. Nous sommes en train de passer un niveau, c'est normal d'avoir un Gros Bill a affronter à la fin. dommage qu'il n'y ait pas de cheat code en Sciences.

Quand je vois ce genre de calcul http://physique.coursgratuits.net/re...-impulsion.php, je me dis que le boss de fin est encore loin,
sans doute pas à ma portée, à moins que je choppe des extra life
Pour toi qui aime les calculs, ce lien m'a l'air aussi sérieux que complet en tout cas (perso j'y comprend rien )

http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~o...s28_pythag.htm

Ok... j'avais pas tout compris, en fait ce dont je parle jusqu'ici c'est de la moitié d'une hyperboloïde à 2 nappe (donc 1 nappe en fait)
L'autre coté pourrait bien être le lieu de l'anti-matière ça se tiendrait (HS désolé)
En tout cas il existe une autre forme pour l’hyperboloïde genre sablier (ou château d'eau dans le lien) qui a surement d'autres propriétés intéressantes comme :
"On peut générer cette surface par rotation d'une droite autour d'un axe qui ne lui est pas coplanaire"
On trouve des droites sur cette surface courbe (renforts du château d'eau) !
(En fait c'est la même courbe initiale (temps propre constant) mais qui suivant l'axe choisi pour la rotation (x ou y) donne des surfaces de révolution différentes)

Donc en fait tu parles de quelle forme toi ?
(Sachant que tant qu'on bosse en espace 1D on peut ramener la surface à une courbe, les équations (ds² ou autre) devraient se vérifier)

(...) d'équation inconnue d'une manière que j'ignore.

tu m'aides pas là

Il s'agit d'un disque de Poincaré (...)

Erf la projection de Poincaré court-circuite mes neurones (je préfère celle de Beltrami-Klein)
Pour le fait de dessiner un triangle rectangle sur un cône puis le projeter, j'ai essayé mais j'arrive pas à grand chose de ce coté là.
Et comme je le dis plus haut on devrait pouvoir se passer de 3D (2D+t) dans un premier temps (et donc de projections de ce genre)

Bon y'a encore du taf, bonne chance de ton coté
A+
Mailou

[Zefram Cochrane]

Le cône, c'est l'hyperboloïde pour les nuls
Je pense que c'est l'hyperboloïde simplifiée adaptée pour la RR.
Cordialement,
Zefram
Bon courage à toi aussi.
Me semble que dS doit être parallèle à la médiane, je t'en reparlerai.

[phys4]

Les graphs suivants essayent de démontrer l'équivalence entre la figure de gauche et un Minkowski (toutes les échelles sont identiques)
Une expérience : à t=0 on propulse deux objets dans le vide à des vitesses de 0.5c et 0.8c, il conservent leur vitesse au cours du temps, on fait un état des lieux à t=1
(On peut aussi faire une analogie simple avec deux objets comobiles dans l'expansion de l'espace, avec moult réserves )

A droite on reconnait donc un Minkowski avec la particularité magnifique de d'être additif (merci Phys4)
Les surfaces notées /2 sont égales (voilà pourquoi je préférais représenter l'intégrale sous cette forme )
On vérifie ainsi que 0,5c + 0,5c = 0,8c !!
C'est donc, dans cette représentation, un moyen extrêmement simple d’additionner les vitesses relativistes !
On peut l'interprétrer comme le fait que l'espace temps est "incompressible" (Einstein a dit un truc du genre je crois...)

Grâce à ce nouveau fil (merci Zef) j'ai pu me rendre compte de plusieurs choses :
D'une part on peut lire le z+1 (décalage spectral) dans un Minkowski (ce qui n'est pas a priori évident... et pourtant c'est une simple parallèle au cône de lumière qui en donne la valeur)
D'autre part que l'âge auquel est observé l'objet propulsé (ou comobile ?) est la valeur : 1/z+1 !

Bonsoir,
Je ne comprends pas exactement ce que signifie toutes les grandeurs de ses graphiques. Une remarque : attention à la notion de comobile en astrophysique. Deux étoiles ou galaxies sont dites comobiles si elles ont le même age par rapport à l'univers considéré comme isotrope, ce sont donc deux étoiles qui ne se voient pas, elles pourront se voir mutuellement dans un futur lointain. Le décalage spectral ne s'applique donc pas à des étoiles comobiles.

enfin j'ai pas trouvé (100$ pour celui qui me trouve comment j'additionne graphiquement les vitesses dans le schéma de droite )

Je me demande, en effet, comment faire une addition graphique des vitesses par cette méthode. Il faudrait identifier une longueur dont la valeur serait ln(z+1). Ces longueurs seraient additives.
Bonne chance pour la suite.