Modèle mathématique en bio

[Romain-des-Bois]

Bonjour amis biologistes,

je suis étudiant en maths, et j'ai étudié une méthode d'estimation pour des systèmes dynamiques à temps discret qui sont bruités. J'ai également réalisé un programme qui réalise cette estimation. Bref, voilà pour le contexte.

Je cherche donc un exemple d'un système :
en biologie ou dans un domaine proche (je n'y connais pas grand chose...)
L'indice peut représenter le temps (qui passe) (en jours, en heures... par exemple)

Ce qui serait bien, c'est que ne soit pas linéaire.

Voilà, si vous avez des idées, même vagues, n'hésitez pas !

Romain
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[invite2f949375]

Très classiquement, tu as la suite logistique (je gère pas Latex mais une rapide recherche t'en donnera la définition) qui sous certains paramètres adopte un comportement chaotique... elle peut constituer un modèle de croissance de populations d'insectes, par exemple. Evidemment, si tu étudies les systèmes dynamiques tu as déjà du la voir ...

Sinon, tu peux peut-être essayer d'adapter au temps discret le modèle de Lotka-Volterra (proie/prédateur).

Enfin, un vieux lien sur la propagation des maladies:
http://www.dma.ens.fr/culturemath/ma....html#sommaire

Encore une fois, c'est à temps continu mais tu peux t'amuser à l'adapter!

Bonne continuation, tu bosses dans un domaine très intéressant...

[Romain-des-Bois]

Bonjour et merci de ta réponse.

Je précise que je n'étudie pas en particulier les systèmes dynamiques (je suis en master probas/stats).
Je me suis déjà intéressé aux équations de dynamique des populations "en temps continu" (Malthus, Lotka-Volterra) mais dans un autre cadre (changer de modèle de dynamique au bout d'un temps aléatoire).

Je connaissais les suites logistiques d'un point de vue maths, mais je ne savais pas qu'elles permettaient de décrire des choses en bio, je vais regarder ça de plus près.

Si d'autres gens ont d'autres idées... ça continue à m'intéresser !

Romain

[invite2f949375]

Sauf erreur de ma part, la suite logistique a été introduite fin XIX° par Verhulst dans le cadre d'une amélioration du modèle de Malthus. Il s'agit donc bien de démographie, et a fortiori de dynamique des populations

Si tu veux des modèles à temps discret, je te conseille de fouiner dans les sujets d'entrée à l'ENS concours BCPST, épreuve de maths. Les énoncés relèvent quasiment toujours des biomathématiques... (j'ai le souvenir d'un modèle où des suites sont utilisées pour étudier la colonisation de territoires par une population). Je peux retrouver le lien si tu veux.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Romain-des-Bois]

Bonsoir,

c'est exactement ça, le modèle de Verhulst améliore le modèle de Malthus en "faisant chuter le taux de natalité" quand la population devient trop importante.

Je veux bien le lien dont tu parles

Merci

Romain

[MaliciaR]

Salut,

Ca vaut ce que ça vaut, mais : tu peux avoir les (H)MM qui sont très utilisés pour tout ce qui est prédiction de gènes; tu peux aussi t'intéresser à des trucs super hard genre méthodes de reconstruction phylogénétiques probabilistes (surtout les machins Bayesiens qui font suer...) ou ceux de distances utilisant la chouette loi gamma combinée avec des matrices de transitions surtout dans le cas des modèles mixtes (CAT, je crois) qui incluent des changements de matrices de transition en fonction de la position considérée.

Hope that helps

[Romain-des-Bois]

Salut,

merci de ta réponse tout d'abord

je connais quelques modèles probabilistes en biologie et cela pourrait m'intéresser de m'orienter dans cette voie (d'un point de vue "études")...

... mais ici, pour recadrer les idées, je cherche simplement un "vrai" exemple pour programmer cette méthode d'estimation sur un cas réel plutôt que sur des exemples "virtuels" (que j'ai inventés moi-même *).

Pour préciser un tout petit peu plus : le filtre de Kalman et ses extensions (car c'est de cela qu'il s'agit) permettent d'estimer un signal dont le modèle d'évolution est bruité (bruit blanc gaussien) à partir de mesures partielles et bruitées (bruit blanc gaussien à nouveau).

* exemples que j'ai inventés moi-même... ou pas : j'ai par exemple étudié le cas (assez classique) du suivi de trajectoire d'un navire à partir de la mesure de l'azimut.

Bref, ici, je cherche un modèle déterministe comme prétexte à des simulations.

Romain

[Romain-des-Bois]

Une ébauche d'exemple :

on considère un modèle proie-prédateur (par exemple Lotka-Volterra) en temps discret (unité de temps = le jour par exemple).
représente le nombre de proies au jour
et représente le nombre de prédateurs au jour .

Le modèle nous donne des relations :



Pour je-ne-sais-quelle-raison (à vous de m'aider là-dessus), on mesure chaque jour uniquement la population des prédateurs. représente la mesure effectuée au jour et dans notre cas :

(mais ça pourrait être : on mesure la population totale : )

Comme le modèle est imparfait, on le bruite :



Et comme les mesures sont imparfaites, on les bruite aussi :


Le filtre de Kalman permet d'estimer à la fois et (et c'est le meilleur estimateur dans le cas linéaire).

Pour que ce soit proche de la réalité, il me faudrait un exemple de vraies populations qui peuvent être décrites par ce type de modèle, les populations initiales, l'expression des fonctions et les valeurs numériques de leurs paramètres.

Voilà, j'espère avoir été plus clair !

J'ajoute que j'ai déjà pas mal cherché sur Google, mais je n'ai rien trouvé de satisfaisant.

Merci à tous ceux qui pourront m'aider

Romain

[MaliciaR]

Comme ça, à chaud (= sans réfléchir ), je penserais aux cycles de vie. Mais à creuser pour voir si les matrices de transitions qu'on peut faire dans ce cadre-là soient un exemple de fonction désirée.

[invite2f949375]

J'ai retrouvé le sujet dont je parlais... après relecture, ça m'étonnerait qu'il te serve beaucoup, mais sait-on jamais:

[invitea93cf986]

effectivement, j'avais fait un modèle de ce genre pour le cycle cellulaire chez la droso.. C'est hyper intéressant. Les molécules réagissaient selon 1 certaine proba au sein d'une cellule discrétisée en cases. On arrivait à des résultats pas trop loin de se qui se passait..
Par contre, je ne me rappelle pas du tout des données qu'on avait pris et on avait calculé les proba de réaction en fonction des constantes KM etc...
Sinon, dans le même genre, on avait trouvé 1 modèle de glycolyse (je ne me rappelle plus la ref, mais ça peut être 1 bonne piste quand même. Je crois que le type s'appelait GIBBS, mais pas sûr). Dans ce modèle on tirait aléatoirement quand auront lieu les réactions et combien de réactions.. C'est impressionnant comme ce modèle (copié de la littérature était proche des résultats observés..) Ce qui m'a fait pensé à ça, c'est quand tu parlais du bruit car dans ce modèle, l'étude du bruit était particulièrement intéressant..

Si tu as trop de mal à en trouver, je pourrai toujours cherché ceux que j'ai fait à l'époque et te les donner

[invitea93cf986]

au fait tu modèle que tu proposes, tu le bruites de manière artificielle, je pense qu'il y a des manières plus élégantes de le faire, par exemple en jouant sur le fait qu'une proie a une proba de se faire manger qui dépend du nombre de prédateur et de proie. Plus il y a de prédateurs, et moins il y de proie, plus la proie a une de se faire manger proche de 1. Après, tu peux essayer plusieurs manières de modéliser cette proba, tant qu'elle varie de 0 à 1 en fonction des 2 paramètres. De cette manière, si tu as des résultats qui collent avec le modèle observé, tu sais que ton modèle est très proche de ce qu'il devrait être

[Romain-des-Bois]

Merci à tous les trois pour vos messages

@ Dick :

J'ai retrouvé le sujet dont je parlais...

Je l'ai regardé rapidement, c'est intéressant, mais ça ne rentre pas dans le cadre qui m'intéresse (évolution spatiale et non temporelle)


@ Davidoudou :

au fait tu modèle que tu proposes, tu le bruites de manière artificielle, je pense qu'il y a des manières plus élégantes de le faire, par exemple en jouant sur le fait qu'une proie a une proba de se faire manger qui dépend du nombre de prédateur et de proie. Plus il y a de prédateurs, et moins il y de proie, plus la proie a une de se faire manger proche de 1. Après, tu peux essayer plusieurs manières de modéliser cette proba, tant qu'elle varie de 0 à 1 en fonction des 2 paramètres. De cette manière, si tu as des résultats qui collent avec le modèle observé, tu sais que ton modèle est très proche de ce qu'il devrait être

Ce dont tu parles est pris en compte par le modèle de Lotka-Volterra (je crois).
Dans le filtre de Kalman dans sa version de base, on n'a pas trop le choix pour le bruit : il faut qu'il soit blanc et gaussien.


Je pense discrétiser le modèle de Lotka-Volterra dans un premier temps pour voir ce que ça donne


Romain